Tekst źródłowy strony Operator pędu

'''Operator pędu''' – jeden z [[Operator (fizyka)|operatorów]] wprowadzanych przez [[Mechanika kwantowa|mechanikę kwantową]]; [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] tego operatora określają możliwe wartości [[Pęd (fizyka)|pędu]] cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest [[Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)|operatorem hermitowskim]] ([[Sprzężenie hermitowskie macierzy|samosprzężonym]]) zdefiniowanym na [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].

== Reprezentacja pędowa operatora pędu ==
Operator pędu <math>\hat{p}</math> definiuje się następująco: działając na [[Wektory i wartości własne|stan własny]] <math>|p\rangle</math> operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę <math>p,</math> zwaną [[Wektory i wartości własne|wartością własną]]
: <math>\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle.</math>

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności
: <math>p(x)=\langle x|p \rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}px\right).</math>

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż
: <math>\int\limits^\infty_{-\infty} p(x)^*p(x) \mathrm dx = +\infty.</math>

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości <math>|p\rangle</math> jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów <math>|p\rangle</math> może być traktowany jak [[baza ortonormalna]], przy czym [[iloczyn skalarny]] dowolnych wektorów <math>|p'\rangle,|p\rangle</math> spełnia zależność
: <math>\langle p'|p\rangle=\delta(p-p'),</math>

gdzie <math>\delta</math> – [[delta Diraca]].

(Ściśle wektory <math>|p\rangle</math> nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{R})</math> całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór <math>\{ |p\rangle | p\in \mathbb{R}\}</math> jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się <math>|p\rangle</math> jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan <math>|\psi\rangle</math> przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco
: <math>|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits^\infty_{-\infty} \mathrm dp'|p'\rangle\langle p'|\psi\rangle.</math>

Wielkość <math>\psi(p') \equiv \langle p'|\psi\rangle</math> jest [[funkcja falowa|funkcją falową]] [[stan kwantowy|stanu]] <math>|\psi\rangle</math> w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu <math>p'.</math>

Korzystając z bazy <math>\{|p'\rangle\}</math> wektorów własnych działanie danego operatora <math>\hat p</math> na stan <math>|\psi\rangle</math> możemy obliczyć następująco:
: <math>\hat{p}|\psi\rangle \equiv |\psi'\rangle = \hat{p}\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits^\infty_{-\infty}\mathrm dp'\ |p'\rangle\langle p'|\psi\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits^\infty_{-\infty} \mathrm dp'\ \hat{p}|p'\rangle\langle p'|\psi\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits^\infty_{-\infty} \mathrm dp'\ p' |p'\rangle\langle p'|\psi\rangle 
=\int\limits^\infty_{-\infty}\mathrm dp'\ \mathrm\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\ \langle p'|\psi\rangle\ p'|p'\rangle.</math>

Stan <math>|\psi\rangle</math> pod wpływem działania operatora <math>\hat p</math> przechodzi więc w inny stan <math>|\psi'\rangle,</math> który jest sumą (całką) po stanach <math>|p'\rangle</math> z amplitudami <math>\frac{1}{2\pi\hbar}p'\langle p'|\psi\rangle.</math> Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie <math>|\psi\rangle</math> otrzyma się wartość pędu <math>p'</math> z gęstością prawdopodobieństwa
: <math>P(p')=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\langle p'|\psi\rangle\right|^2.</math>

== Reprezentacja położeniowa operatora pędu ==
'''1)''' Powyżej podany wzór <math>\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle</math> oznacza, że działanie składowej <math>\hat{p}_i, i=x,y,z</math> operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez <math>p_i.</math>

'''2)''' W reprezentacji położeniowej składowa <math>\hat{p}_i</math> operatora pędu ma postać
: <math>\hat{p}_i = - \mathrm 
 i\hbar\frac{\partial}{\partial {x_i}}.</math>

'''3) Wektorowy operator pędu''' <math>\boldsymbol \hat{p}</math> definiuje się jako [[wektor]] utworzony z operatorów <math>\hat{p}_i,</math> tj.
: <math>\boldsymbol \hat{p} = [\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z].</math>

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:
: <math>\boldsymbol \hat{p} = -\mathrm i\hbar{\nabla},</math>

gdzie:
: <math>\nabla = \left[\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right]</math>

jest [[operator nabla|operatorem nabla]] ([[gradient (matematyka)|gradientu]]).

== Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu ==
Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z [[operator położenia|operatorem położenia]]. Operatory te spełniają relację komutacyjną
: <math>[\hat x_i, \hat p_j] = \mathrm i\hbar \delta_{ij}.</math>

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem [[zasada nieoznaczoności|zasady nieoznaczoności]]. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów <math>\hat x_i,\hat p_i</math> musi być operatorem nieograniczonym.

== Zobacz też ==
* [[obserwabla]]
* [[Operator Hamiltona|operator energii całkowitej (operator Hamiltona)]]
* [[Moment pędu#Operator momentu pędu|operator momentu pędu]]
* [[operator położenia]]
* [[Spin (fizyka)#Operator spinu|operator spinu]]

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]