Tekst źródłowy strony Operator nabla w różnych układach współrzędnych

Poniżej zestawiono listę formuł analizy wektorowej, gdy prowadzi się obliczenia w [[Współrzędne krzywoliniowe|układach współrzędnych krzywoliniowych]]. W przypadkach szczególnych, np. we współrzędnych kartezjańskich, poniższe wzory upraszczają się.

'''Uwagi'''
* Zastosowano tu typowe oznaczenia współrzędnych stosowane w fizyce. Np. dla współrzędnych sferycznych:

# <math>\theta</math> oznacza kąt między osią <math>z</math> a wektorem wodzącym łączącym początek układu z rozpatrywanym punktem
# <math>\phi</math> oznacza kąt pomiędzy rzutem wektora wodzącego na płaszczyznę <math>xy</math> a osią <math>x.</math>
# (W niektórych źródłach definicje <math>\theta</math> i <math>\phi</math> są zamienione, więc znaczenie należy wywnioskować z kontekstu.)

* Zamiast symbolu funkcji <math>\operatorname{arctg}(y/x)</math> używa się symbolu <math>\operatorname{arctg2}(y, x)</math> dla wskazania, że funkcja <math>\operatorname{arctg2}(y, x)</math> ma przeciwdziedzinę <math>(-\pi, \pi]</math> (podczas gdy funkcji <math>\operatorname{arctg}(y/x)</math> ma przeciwdziedzinę <math>(-\pi/2, +\pi/2)</math>)
* Wyrażenia na operator nabla we współrzędnych sferycznych mogą wymagać poprawy.

'''UWAGA: Niektóre symbole użyte w tabeli powtarzają się, mimo że odnoszą się do innych wielkości (ich znaczenie można odczytać z kontekstu)'''

{| class="wikitable" style="background: white"
|+ Tabela z operatorem nabla we współrzędnych walcowych, sferycznych oraz parabolicznych walcowych
<!-- Header -->
|-
! Operacja
! [[Układ współrzędnych kartezjańskich|Współrzędne kartezjańskie]] <math>(x,y,z)</math>
! [[Układ współrzędnych walcowych|Współrzędne walcowe]] <math>(\rho,\phi,z)</math>
! [[Układ współrzędnych sferycznych|Współrzędne sferyczne]] <math>(r,\theta,\phi)</math>
! [[Współrzędne paraboliczne walcowe]] <math>(\sigma,\tau,z)</math>

<!-- Definicje współrzędnych -->
|- align="center"
!rowspan="2" style="background: white"| Definicje<br />współrzędnych
| <math>\begin{matrix}
    \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\
    \phi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
       z & = & z \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    x & = & \rho\cos\phi \\
    y & = & \rho\sin\phi \\
    z & = & z \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    x & = & r\sin\theta\cos\phi \\
    y & = & r\sin\theta\sin\phi \\
    z & = & r\cos\theta \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    x & = & \sigma \tau\\
    y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\
    z & = & z \end{matrix}</math>
|- align=center
| <math>\begin{matrix}
    r & = & \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
    \theta & = & \arccos(z/r)\\
    \phi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    r & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\
    \theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\
    \phi & = & \phi \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \rho & = & r\sin(\theta) \\
    \phi & = & \phi\\
    z & = & r\cos(\theta) \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \rho\cos\phi & = & \sigma \tau\\
    \rho\sin\phi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\
    z & = & z \end{matrix}</math>

<!-- Definition of unit vectors -->
|- align="center"
!rowspan="2" style="background: white"| Definicje<br />wersorów
| <math>\begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = & \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \cos\phi\boldsymbol{\hat \rho}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\phi\boldsymbol{\hat \rho}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta \boldsymbol{\hat\theta}
    \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \sigma} & = & \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\tau} & = & \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}</math>
|- align=center
| <math>\begin{matrix}
    \mathbf{\hat r} & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho}
    \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \mathbf{\hat r} & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{ z}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z }{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & \boldsymbol{\hat\phi}
    \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & \boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta}
    \end{matrix}</math>
| &nbsp;

<!-- Definition of A -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Pole wektorowe]] <math>\mathbf{A}</math>
| <math>A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z}</math>
| <math>A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}</math>
| <math>A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}</math>
| <math>A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\phi\boldsymbol{\hat z}</math>

<!-- grad f -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Gradient (matematyka)|Gradient]] <math>\nabla f</math>
| <math>\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat x} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat y}
  + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat z}</math>
| <math>\frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho}
  + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}
  + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat z}</math>
| <math>\frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{\hat r}
  + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta}
  + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}</math>
| <math>\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}} \frac{\partial f}{\partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}} \frac{\partial f}{\partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat z}</math>

<!-- div A -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Dywergencja]] <math>\nabla \cdot \mathbf{A}</math>
| <math>\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}</math>
| <math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \left( \rho A_\rho \right)}{\partial \rho}
  + \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
  + \frac{\partial A_z}{\partial z}</math>
| <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left( r^2 A_r \right)}{\partial r}
  + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( A_\theta\sin\theta \right)
  + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}</math>
| <math>\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}\frac{\partial \left( A_\sigma \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} \right)}{\partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}\frac{\partial \left( A_\tau \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} \right)}{\partial \tau} + \frac{\partial A_z}{\partial z}</math>

<!-- rot A -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Rotacja]] <math>\nabla \times \mathbf{A}</math>
| <math>\begin{matrix}
  \displaystyle\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\
  \displaystyle\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\
  \displaystyle\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
  \displaystyle\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \phi}
    - \frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \displaystyle\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & + \\
  \displaystyle\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \left( \rho A_\phi \right)}{\partial \rho}
    - \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
  \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right)
    - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}
    - \frac{\partial}{\partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
  \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r} \left( r A_\theta \right)
    - \frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & \ \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
  \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \tau}
    - \frac{\partial A_\tau}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\
  \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \sigma}- \frac{\partial A_\sigma}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\
  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}}\left(\frac{\partial \left( \rho A_\phi \right)}{\partial \rho}
    - \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>

<!-- Laplasjan f -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Operator Laplace’a]] <math>\Delta f = \nabla^2 f</math>
| <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
| <math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right)
  + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
  + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
| <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right)
  \!+\!\frac{1}{r^2\!\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right)
  \!+\!\frac{1}{r^2\!\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}</math>
| <math>\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
\left( \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial \tau^2} \right) +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
</math>

<!-- vector Laplacian A -->
|- align=center
!style="background: white"| [[Operator Laplace’a|Laplasjan wektorowy]] <math>\Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A}</math>
| <math>\Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z}</math>
| <math>\begin{matrix}
  \displaystyle\left(\Delta A_\rho - \frac{A_\rho}{\rho^2}
    - \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \displaystyle\left(\Delta A_\phi - \frac{A_\phi}{\rho^2}
    + \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial A_\rho}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} & + \\
  \displaystyle\left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
|align=center| <math>\begin{matrix}
  \left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2}
    - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right)}{\partial\theta}
    - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta}
    + \frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta}
    - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
  \left(\Delta A_\phi - \frac{A_\phi}{r^2\sin^2\theta}
    + \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}
    + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} \end{matrix}</math>

<!-- Differentials displacement -->
|- align=center
!style="background: white"| Różniczka przesunięcia
| <math>d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z}</math>
| <math>d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat \rho} + \rho d\phi\boldsymbol{\hat \phi} + dz\boldsymbol{\hat z}</math>
| <math>d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi}</math>
| <math>d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}</math>

<!-- Differentials normal area -->
|- align=center
!style="background: white"| Różniczki powierzchni
| <math>\begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\
&dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\
&dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho\, d\phi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\
& d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \phi} + \\
& \rho \,d\rho d\phi \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\phi \,\mathbf{\hat r} + \\
& r\sin\theta \,dr\,d\phi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\
& r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \phi}
\end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\
& \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\
& \sigma^2 + \tau^2 d\sigma, d\tau \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix}</math>

<!-- Differentials volume -->
|- align=center
!style="background: white"| Różniczka objętości
| <math>dV = dx\,dy\,dz</math>
| <math>dV = \rho\, d\rho\, d\phi\, dz</math>
| <math>dV = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\phi</math>
| <math>dV = \left( \sigma^2 + \tau^2 \right) d\sigma d\tau dz,</math>
<!-- nabla’s on nabla’s -->
|-
|colspan=4| '''Nietrywialne reguły rachunkowe:'''

# <math>\operatorname{div} \, \operatorname{grad} f \equiv \nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f \equiv \Delta f</math> ([[Operator Laplace’a|Laplasjan]])
# <math>\operatorname{rot} \, \operatorname{grad} f \equiv \nabla \times \nabla f = \mathbf 0</math>
# <math>\operatorname{div} \, \operatorname{rot} \mathbf{A} \equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>
# <math>\operatorname{rot} \, \operatorname{rot} \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})
= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}</math> (stosując formułę Lagrange’a na [[iloczyn wektorowy]])
# <math>\Delta (f g) = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f</math>
|}

== Zobacz też ==
* [[operator nabla]]
* [[współrzędne krzywoliniowe]]

[[Kategoria:Układy współrzędnych]]
[[Kategoria:Rachunek wektorowy]]