Tekst źródłowy strony Operator Hilberta-Schmidta

Operator <math>A</math> nazywamy operatorem [[David Hilbert|Hilberta]]-Schmidta, jeśli jest on [[Operator liniowy ograniczony|ograniczony]] na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] oraz dla pewnej [[baza ortonormalna|bazy ortonormalnej]] <math>\{a_n\}</math> zachodzi:

: <math>\operatorname{tr} |A|^2=\sum_n\|Aa_n\|^2<\infty,</math>

gdzie <math>\operatorname{tr} A</math> jest [[Ślad (algebra liniowa)|śladem]] operatora <math>A,</math> <math>\|A\|</math> [[norma|normą]] <math>A,</math> a <math>|A|=\sqrt{A^\star A}.</math>

Wielkość <math>\operatorname{tr} |A|^2</math> jest [[Kwadrat (potęga)|kwadratem]] tzw. '''normy Hilberta-Schmidta''', oznaczanej jako <math>\|A\|_{HS}.</math> Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta na przestrzeni <math>H</math> zapisuje się jako <math>\mathcal{B}_{HS}(H).</math>

== Własności ==
* Norma Hilberta-Schmidta jest normą.
* Przestrzeń <math>\mathcal{B}_{HS}(H)</math> jest [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]].
* <math>\|A\|_{HS}=\|A^\star\|_{HS}.</math>
* <math>\|\alpha A\|_{HS}=|\alpha| \|A\|_{HS}.</math>
* <math>\|A+B\|_{HS}\leqslant\|A\|_{HS}+\|B\|_{HS}.</math>
* <math>\| A\|\leqslant \|A\|_{HS}.</math>
* <math>A</math> jest operatorem ograniczonym i <math>B\in \mathcal{B}_{HS}(H),</math> to <math>\|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}</math> i <math>\|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}.</math>
* <math>\mathcal{B}_{HS}(H)</math> z [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] <math>\langle A, B\rangle=\operatorname{tr} A^\star B</math> jest przestrzenią Hilberta.
* Jeśli <math>A \in \mathcal{B}_{HS},</math> to A jest [[operator zwarty|operatorem zwartym]] na <math>H.</math>

== Zobacz też ==
* [[przestrzeń Banacha]]
* [[przestrzeń Hilberta]]
* [[operator zwarty]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Prugovecki|imię=E.|tytuł=Quantum Mechanics in Hilbert Space|miejsce=New York|wydawca=Academic-Press|rok=1983}}

[[Kategoria:Przestrzenie Hilberta]]