Tekst źródłowy strony Operator Fredholma

'''Operator Fredholma''' – w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]], [[Operator liniowy ograniczony|ograniczony]] [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]] pomiędzy dwiema [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]], którego [[jądro (algebra liniowa)|jądro]] i [[Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|kojądro]] są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od [[Erik Ivar Fredholm|Erika Ivara Fredholma]], który rozważał takie operatory w teorii [[równanie całkowe|równań całkowych]].

== Twierdzenie Atkinsona ==
Niech <math>X</math> i <math>Y</math> będą przestrzeniami Banacha oraz niech <math>T\colon X \to Y</math> będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że <math>T</math> jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator <math>S\colon Y \to X,</math> że operatory
: <math>I_X - ST,\quad I_Y - TS</math>

są [[operator zwarty|zwarte]]{{odn|Abramovich|Aliprantis|2002|s=161}}.

== Indeks Fredholma ==
Dla danego operatora Fredholma <math>T\colon X \to Y</math> definiuje się jego indeks Fredholma <math>\operatorname{ind} T</math> wzorem
: <math>\operatorname{ind} T := \dim \ker T - \operatorname{codim} T(X),</math>

czyli innymi słowy,
: <math>\operatorname{ind} T = \dim \ker T - \dim\,\operatorname{coker} T,</math>

gdzie coker <math>T</math> oznacza [[Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|kojądro]] <math>T.</math> Indeks Fredholma jest zatem [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]].

== Własności ==
* Z [[twierdzenie o odwzorowaniu otwartym|twierdzenia o odwzorowaniu otwartym]] wynika, że obraz operatora Fredholma jest [[zbiór domknięty|domknięty]]{{odn|Lindenstrauss|Tzafriri|1977|s=77}}.

* Rodzina <math>\Phi(X, Y)</math> złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z <math>X</math> do <math>Y</math> jest [[zbiór otwarty|otwartym podzbiorem]] [[norma operatorowa|przestrzeni wszystkich operatorów]] z <math>X</math> do <math>Y.</math> Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma <math>T_0 \colon X \to Y</math> istnieje taka liczba <math>\varepsilon > 0</math> że dla każdy operator ograniczony <math>T\colon X \to Y</math> o tej własności, że <math>||T - T_0 || < \varepsilon</math> jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co <math>T_0</math>{{odn|Abramovich|Aliprantis|2002|s=163–166}}.

* Jeżeli <math>T\colon X \to Y</math> i <math>U\colon Y \to Z</math> są operatorami Fredholma, to złożenie <math>UT\colon X \to Z</math> jest również operatorem Fredholma oraz
:: <math>\operatorname{ind} (UT) = \operatorname{ind}(U) + \operatorname{ind}(T)</math>{{odn|Abramovich|Aliprantis|2002|s=162}}.

* [[Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)|Operator sprzężony]] do operatora Fredholma <math>T</math> jest również operatorem Fredholma oraz <math>\operatorname{ind}(T^*) = -\operatorname{ind}(T)</math>{{odn|Abramovich|Aliprantis|2002|s=167}}. Takie same relacje zachodzą dla [[operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)|operatorów sprzężonych]] do operatorów Fredholma działających między [[przestrzeń Hilberta|przestrzeniami Hilberta]]{{odn|Conway|2010|s=350}}.

* Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli <math>T\colon X \to Y</math> jest operatorem Fredholma, a <math>K\colon X \to Y</math> jest operatorem zwartym, to <math>T+K</math> jest również operatorem Fredholma oraz <math>\operatorname{ind}(T) = \operatorname{ind}(T+K).</math> Ogólniej, jeżeli <math>T\colon X \to Y</math> jest operatorem Fredholma a <math>S\colon X \to Y</math> jest [[operator ściśle singularny|operatorem ściśle singularnym]], to <math>T+S</math> jest również operatorem Fredholma oraz <math>\operatorname{ind}(T) = \operatorname{ind}(T+S)</math><ref>T. Kato, ''Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators'', „J. d’Analyse Math” '''6''' (1958), s. 273–322.</ref>.

== Przykład ==
Niech <math>H</math> będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną <math>(e_n)</math> indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech <math>S\colon H \to H</math> będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.
: <math>S(e_n) = e_{n+1} \quad (n \geqslant 0).</math>

Wówczas <math>S</math> jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra <math>S</math> wynosi 0 (<math>S</math> jest ponadto [[izometria|izometryczny]]) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc <math>S</math> jest operatorem Fredholma o indeksie <math>\operatorname{ind}(S) = -1.</math> Kolejne potęgi <math>S^k, k \geqslant 0</math> są operatorami Fredholma o indeksie <math>-k.</math> Operatorem sprzężonym do <math>S</math> jest operator przesunięcia w lewo:
: <math>S^*(e_0) = 0, \ \ S^*(e_n) = e_{n-1} \quad (n \geqslant 1).</math>

Operator <math>S^*</math> jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1{{odn|Conway|2010|s=349–350}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, ''An Invitation to Operator Theory'', American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
* {{cytuj książkę |nazwisko=Conway |imię=John B. |tytuł=A Course in Functional Analysis |seria=Graduate Texts in Mathematics 96 |wydanie=Second Edition |isbn=1441930922 |wydawca=Springer-Verlag |miejsce=New York |rok=2010}}
* [[Joram Lindenstrauss]], Lior Tzafriri, ''Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces'', Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha]]