Tekst źródłowy strony Operacja n-arna

{{Dopracować|źródła=2024-05}}

'''Operacja <math>n</math>-arna''' (działanie <math>n</math>-arne)<ref>{{cytuj książkę |autor = А.Г. Курош |autor link = |tytuł = Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года |wydawca = Наука |strony = 11 |wydanie = 1 |rok = 1974 |isbn = |data dostępu =}}</ref> <math>\omega</math> w zbiorze <math>G</math> – w [[Algebra|algebrze]], [[funkcja]], która dla ustalonego <math>n \ge 0</math> każdemu <math>n</math>-elementowemu [[Ciąg (matematyka)|ciągowi]] <math>(a_1, \dots, a_n)</math> elementów ze zbioru <math>G</math> przyporządkowuje pewien element <math>\omega(a_1, \dots, a_n)</math> także ze zbioru <math>G.</math> Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie  ze zbioru <math>G^n = G \times \dots \times G</math> (<math>n</math>-krotnego [[Iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]]) w zbiór <math>G.</math> 

Operacją 1-arną (unarną) jest każde odwzorowanie zbioru <math>G</math> w zbiór <math>G.</math> Operacja 0-arna ustala w zbiorze <math>G</math> pewien określony element.

Zamiast o operacjach <math>n</math>-arnych mówi się często o operacjach <math>n</math>-argumentowych lub działaniach <math>n</math>-argumentowych. Na przykład o [[działanie dwuargumentowe|działaniach dwuargumentowych]], trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja <math>n</math>-arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. [[Algebra ogólna|algebrami uniwersalnymi]] (krócej algebrami), zbiorami <math>A</math> wyposażonymi w pewien zbiór <math>\Omega</math> operacji <math>n</math>-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna ([[grupoid]], [[półgrupa]], [[Grupa (matematyka)|grupa]], [[Pierścień (matematyka)|pierścień]], [[Ciało (matematyka)|ciało]] itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

== Operacje ''n''-arne w arytmetyce ==
* [[Element neutralny|Elementy neutralne]] dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb [[Liczby całkowite|całkowitych]], [[Liczby wymierne|wymiernych]], [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[Liczby zespolone|zespolonych]] są operacjami 0-arnymi.
* Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją unarną na zbiorze <math>\mathbb{Z}.</math> Podobnie [[pierwiastek kwadratowy]] jest operacją unarną na zbiorze [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] dodatnich <math>\mathbb{R}_+</math> (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych <math>\mathbb{C}.</math>
* [[Element odwrotny]] jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów: <math>\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}, \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}, \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}.</math>
* Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów: <math>\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}.</math> Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów: <math>\mathbb{Q}^*, \mathbb{R}^*, \mathbb{Z}^*.</math>

== Operacje ''n''-arne w algebrze ==
* [[Półgrupa]] jest zbiorem z operacją 2-arną [[Łączność (matematyka)|łączną]]<ref>Kurosz, op. cit., s. 20–25.</ref>.
* [[Monoid]] jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
* [[Grupa (matematyka)|Grupa]] jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną ([[Działanie grupy na zbiorze|działanie grupy]]), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem)<ref>Kurosz, op. cit., s. 17–19.</ref>.
* Grupę <math>G</math> można rozpatrywać jako zbiór <math>G</math> ze zbiorem operacji 1-arnych
: <math>\{l_g\colon G \to G\colon \forall_{h \in G}\; l_g (h) = gh\},</math> gdzie <math>g \in G.</math>
* [[Pierścień (matematyka)|Pierścień]] jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania<ref>Kurosz, op. cit., s. 56.</ref>.
* [[Ciało (matematyka)|Ciało]] <math>K</math> jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze <math>K^*</math> określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

== Operacje ''n''-arne w geometrii ==
* [[Iloczyn mieszany]] trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Pogorełow |imię = Aleksiej |autor link = |tytuł = Geometria |wydawca = Nauka |miejsce = Moskwa |rok = 1983 |strony = 72–73 |język = ru}}</ref>.

== Mnożenie ''n''-arne macierzy ''n''-wskaźnikowych ==
Macierz <math>n</math>-wskaźnikowa <math>A</math> zawiera <math>n</math> wskaźników przebiegających <math>m</math> wartości. Taka macierz zawiera <math>m^n</math> elementów macierzowych o wartościach zespolonych,
: <math>a_{k_1,\dots,k_n}.</math>

Mnożenie (iloczyn) macierzy <math>n</math>-wskaźnikowych zdefiniowane jest jako '''<math>n</math>-arne działanie wewnętrzne''' dla dokładnie <math>n</math> macierzy, z których każda ma <math>n</math> wskaźników przebiegających <math>m</math> wartości. Każda macierz zawiera <math>m^n</math> wartości. Wynikiem jest również macierz <math>n</math>-wskaźnikowa.

Jeżeli <math>B=A^{(1)}A^{(2)},\dots, A^{(n-1)}A^{(n)},</math> a <math>b_{k_1,k_2,\dots,k_n}</math> oznacza element <math>B</math> na pozycji <math>(k_1,k_2,\dots,k_n),</math> to
: <math>b_{k_1,\dots,k_n} = \sum_{l_1,\dots, l_{n-1} =1}^m a^{(1)}_{k_1,l_1\dots,l_{n-1}}*a^{(2)}_{l_{n-1},k_2,l_1\dots,l_{n-2}}*\ldots *a^{(n-1)}_{l_2,\dots,k_{n-1},l_1}*a^{(n)}_{l_1,l_2,\dots,k_n}</math>

dla każdego wskaźnika <math>k_i, l_j,</math> dla których <math>1 \leqslant k_i \leqslant m</math> oraz <math>1 \leqslant l_j \leqslant m.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Pogorełow |imię = Aleksiej |autor link = |tytuł = Geometria |wydawca = Nauka |miejsce = Moskwa |rok = 1983 |strony = |język = ru}}
* {{cytuj książkę |autor = А.Г. Курош (Kurosz) |autor link = |tytuł = Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года |wydawca = Наука |strony = 11 |wydanie = 1 |rok = 1974 |język = ru}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebra uniwersalna]]