Tekst źródłowy strony Negacja

{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align:center;"
|+ Symbole negacji{{odn|Mostowski|1948|s=13}}{{odn|Rasiowa|1975|s=170}}
!autorzy
!zapis
|-
![[Arend Heyting|Heyting]]
|<math>\neg p</math>
|-
![[Ernst Schröder|Schröder]]<br>[[Charles Sanders Peirce|Peirce]]
|<math>p'</math>
|-
![[Giuseppe Peano|Peano]]<br>[[Bertrand Russell|Russell]]
|<math>\sim p</math>
|-
![[David Hilbert|Hilbert]]
|<math>\overline p</math>
|-
![[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]]
|<math>Np</math>
|}

'''Negacja''' (z [[Łacina|łac.]] ''negatio''<ref>Od ''negare'' ‘przeczyć’ ([http://web.archive.org/web/20061030092439/http://www.slownik-online.pl/kopalinski/1FEFBA0187E2DEEFC125659D0065B4D1.php ''Słownik Wyrazów Obcych'']).</ref>), '''zaprzeczenie''' – pojęcie [[Logika|logiki]] i [[Językoznawstwo|językoznawstwa]] o kilku znaczeniach:
* [[działanie jednoargumentowe]] na zbiorze [[Zdanie logiczne|zdań]] ([[funktor zdaniotwórczy]]), które każdemu zdaniu ''p'' przypisuje zdanie ''nie p''{{odn|Mostowski|1948|s=7–8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=166}};
* wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać ''nieprawda, że p'', gdzie ''p'' jest zdaniem;
* odpowiednią funkcję na zbiorze [[Wartość logiczna|wartości logicznych]];
* odpowiedni [[funktor]] na zbiorze [[Nazwa|nazw]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3946461 | tytuł = negacja | data dostępu = 2023-05-29}}</ref>.

W [[Logika|logice formalnej]], np. [[Rachunek zdań|rachunku zdań]], negacja ma różne zapisy:
* osobny symbol <math>(\neg p),</math>
* [[tylda]] <math>(\sim p),</math>
* [[prim]] <math>(p'),</math>
* [[Makron (znak diakrytyczny)|makron]] <math>(\overline p).</math>

Odczytuje się to ''nieprawda, że p''{{odn|Słupecki|Hałkowska|Piróg-Rzepecka|1999|s=13}} lub ''nie jest tak, że p''{{odn|Ajdukiewicz|1957|s=74}}. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako [[Funkcja boolowska|funkcji boolowskiej]] i [[Bramka logiczna|bramki logicznej]] – to angielska [[partykuła]] '''NOT'''.

== Definicja w [[Logika dwuwartościowa|logice dwuwartościowej]] ==
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align:center;"
|+ [[Tablica prawdy]] dla negacji{{odn|Rasiowa|1975|s=166}}
!width=30 height="30px"| <math>p</math>
!width=60| <math>\neg p</math>
|-
|0 || 1
|-
|1 || 0
|}

Niech <math>\mathbb{B}</math> będzie dwuelementowym zbiorem [[wartość logiczna|wartości logicznych]]: <math>\mathbb{B} = \{0, 1\}.</math> Negacja <math>\neg\,: \mathbb{B} \to \mathbb{B}</math> jest funkcją ze zbioru <math>\mathbb{B}</math> w zbiór <math>\mathbb{B},</math> określoną następująco:
: <math>\neg\,p = 1 - p</math>{{odn|Ross|Wright|1996|s=588}},

czyli
: <math>\neg\,0 = 1</math>
: <math>\neg\,1 = 0</math>{{odn|Mostowski|1948|s=7}}.

Negację zdania ''p'' uważa się za prawdziwą, gdy zdanie ''p'' jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie ''p'' jest prawdziwe{{odn|Mostowski|1948|s=7}}{{odn|Rasiowa|1975|s=166}}{{odn|Grzegorczyk|1975|s=67}}:
: 1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),
: 0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

== Własności ==
W [[Klasyczny rachunek zdań|klasycznym rachunku zdań]] negacja pojawia się w szeregu [[Tautologia (logika)|tautologii]], tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące [[dopełnienie zbioru]].

=== [[Zasada niesprzeczności]] ===
Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności{{odn|Ajdukiewicz|1957|s=75}}) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe{{odn|Mostowski|1948|s=27}} (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe{{odn|Rasiowa|1975|s=173}}):
: <math>\neg(p\,\land\,\neg\,p)</math>{{odn|Mostowski|1948|s=27}}{{odn|Rasiowa|1975|s=173}},

gdzie <math>\land</math> jest znakiem [[koniunkcja (logika)|koniunkcji]] (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:
* Niech <math>p</math> będzie zdaniem ''Mam ciastko''.
* Wówczas <math>\neg\,p</math> ma postać: ''Nie mam ciastka''.
* Ich koniunkcja <math>p\,\land\,\neg\,p</math> to ''Mam ciastko i nie mam ciastka'' (jest to zdanie fałszywe).
* Zaprzeczenie tej koniunkcji <math>\neg(p\,\land\,\neg\,p)</math> (''Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka'') jest zdaniem prawdziwym.

=== [[Prawo wyłączonego środka]] ===
Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe{{odn|Ajdukiewicz|1957|s=75}}:
: <math>p\,\lor\,\neg\,p</math>{{odn|Mostowski|1948|s=26}}{{odn|Rasiowa|1975|s=173}},

gdzie <math>\lor</math> jest znakiem [[alternatywa|alternatywy]] (oznacza spójnik ''lub'').

Przykład:
* Niech zdanie <math>p</math> ma postać: ''Jutro będzie padał deszcz''.
* Wówczas <math>\neg\,p</math> to ''Jutro nie będzie padał deszcz''.
* Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
* Ich alternatywa <math>p\,\lor\,\neg\,p</math> (''Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz'') jest zawsze prawdziwa.

=== [[Prawo podwójnego przeczenia]] ===
Złożenie dwóch negacji jest [[Równoważność|równoważne]] wyjściowemu zdaniu{{odn|Mostowski|1948|s=26}}:
: <math>\neg\,(\neg\,p) \Leftrightarrow p.</math>
{{Cytat
 |treść = Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: ''duplex negatio affirmat'', tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie{{odn|Ajdukiewicz|1957|s=75}}.
}}

Przykład:
* Niech zdanie <math>p</math> oznacza: ''Warszawa jest stolicą Polski'' (jest to zdanie prawdziwe).
* Wówczas <math>\neg\,p</math> ma postać: ''Warszawa nie jest stolicą Polski'' (jest to zdanie fałszywe).
* Natomiast <math>\neg\,(\neg\,p)</math> można zapisać: ''Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski'' (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu <math>p</math>).

=== Inne ===
Negację zawierają też [[prawo kontrapozycji]] i [[prawa De Morgana]].

== Zobacz też ==
{{wikibooks2|książka=Logika dla prawników|rozdział=Negacja|link=Logika dla prawników/Negacja}}
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Logika|link=Matematyka dla liceum/Logika#Negacja}}
{{wikisłownik|negacja}}
* [[algebra Boole’a]]
* [[bramka NOT]]
* [[kwantyfikator]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ajdukiewicz |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Ajdukiewicz |tytuł = Zarys logiki |wydawca = Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych |miejsce = Warszawa |data = 1957 |oclc = 749403627 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Grzegorczyk |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Grzegorczyk |tytuł = Zarys logiki matematycznej |wydanie = 4 |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |data = 1975 |oclc = 749328557 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Mostowski |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Mostowski |tytuł = Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki |url = http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-de14868e-95a7-43a2-8e96-0a88c8960431 |miejsce = Warszawa |data = 1948 |seria = Monografie matematyczne t. 18 |oclc = 250092935 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena |autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |wydanie = 5 |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |data = 1975 |oclc = 749626864 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 30 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ross |imię = Kenneth A. |nazwisko2 = Wright |imię2 = Charles R.B |tytuł = Matematyka dyskretna |inni = E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.) |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 1996 |isbn = 83-01-12129-7 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Słupecki |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Słupecki |tytuł = Logika matematyczna |wydanie = 2. popr. i uzup |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |data = 1999 |isbn = 83-01-12958-1 |nazwisko2 = Hałkowska |imię2 = Katarzyna |nazwisko3 = Piróg-Rzepecka |imię3 = Krystyna |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{SEP | url = negation/ | autor = Laurence R. Horn, Heinrich Wansing | tytuł = Negation | data = 2020-02-20 | data dostępu = 2020-02-21}}

{{Klasyczny rachunek zdań}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Działania jednoargumentowe]]
[[Kategoria:Funkcje boolowskie]]
[[Kategoria:Rachunek zdań]]