Tekst źródłowy strony Modularność

{{inne znaczenia|własności matematycznej|[[moduł]]}}
{{Dopracować|źródła=2016-05}}
{{spis treści}}
'''Modularność''' – własność [[algebra ogólna|obiektów algebraicznych]] pierwotnie zaobserwowana w [[teoria grup|teorii grup]] przez [[Richard Dedekind|Richarda Dedekinda]], stąd znana też jako ''prawo modularności Dedekinda''<ref group="uwaga">[[Leopold Kronecker|Kronecker]] „modułami” nazywał [[podgrupa|podgrupy]] [[grupa przemienna|grup abelowych]]; zob. [[moduł (matematyka)#Motywacja|moduł: ''Motywacja'']].</ref>, a następnie przeniesiona na grunt [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]] i [[moduł (matematyka)|teorii modułów]]<ref>Niem. ''Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen'' (1864), fr. ''Sur la théorie des nombres entiers algébriques'' (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.</ref>. Naturalnym kontekstem okazała się jednak [[Krata (matematyka)|teoria krat]] – kraty spełniające tę własność nazwano ''[[krata modularna|kratami modularnymi]]''.

== Grupy, pierścienie i moduły ==
{{osobny artykuł|krata podgrup}}
Dla dowolnych [[podgrupa|podgrup]] <math>A, B, C</math> danej [[grupa (matematyka)|grupy]], dla których <math>A \leqslant C</math> (<math>A</math> jest podgrupą <math>C</math>), zachodzi ''własność modularności''
: <math>AB \cap C = A(B \cap C),</math>

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza [[iloczyn kompleksowy]]; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać
: <math>(A + B) \cap C = A + (B \cap C),</math>

przy czym dodawanie <math>A + B</math> oznacza [[zbiór generatorów grupy|grupę generowaną]] przez <math>A \cup B.</math>

W tej postaci jest ona prawdziwa dla [[pierścień (matematyka)|pierścieni]], czy [[moduł (matematyka)|modułów]], gdy <math>A, B, C</math> oznaczają [[ideał (teoria pierścieni)|ideały]] danego pierścienia lub [[Moduł (matematyka)|podmoduły]] ustalonego modułu (przy założeniu <math>A</math> jest ideałem/podmodułem <math>C;</math> <math>A + B</math> oznacza ideał/moduł generowany przez <math>A \cup B</math>)<ref group="uwaga">W notacji addytywnej ([[grupa przemienna|grupy przemienne]], pierścienie lub moduły): niech <math>(A + B) \cap C = A + (B \cap C);</math> ponieważ <math>A \subseteq A + (B \cap C) = (A + B) \cap C \subseteq C,</math> to <math>A \subseteq C.</math><br />Odwrotnie: niech <math>A \subseteq C.</math> Jeśli <math>x \in (A + B) \cap C,</math> to <math>x \in C</math> i istnieją takie <math>b \in B, a \in A,</math> że <math>x = a + b.</math> Wówczas <math>b \in B</math> oraz <math>b = -a + x \in A + C = C</math> (ponieważ <math>A \subseteq C</math>), więc <math>b \in (B \cap C).</math> Stąd <math>x = a + b \in A + (B \cap C),</math> a zatem <math>(A + B) \cap C \subseteq A + (B \cap C).</math> Zawieranie przeciwne: jeśli <math>x \in A + (B \cap C),</math> to istnieją wtedy takie <math>y \in B \cap C</math> oraz <math>a \in A,</math> że <math>x = a + y.</math> Wtedy <math>x \in C,</math> ponieważ <math>y \in C, a \in A \subseteq C,</math> a więc <math>a + y \in C.</math> Skoro zaś <math>y \in B, a \in A,</math> to <math>x = a + y \in A + B.</math> Dlatego <math>x \in (A + B) \cap C,</math> co dowodzi <math>A + (B \cap C) \subseteq (A + B) \cap C.</math></ref><ref group="uwaga">O konieczności założenia <math>A \leqslant C</math> przekonuje następujący przykład: niech <math>D = 2\mathbb Z \leqslant \mathbb Z</math> oraz <math>A = 4\mathbb Z, B = 10\mathbb Z, C = 6\mathbb Z,</math> wtedy <math>(A + B) \cap C = D \cap C = C</math> oraz <math>A + (B \cap C) = A + 30\mathbb Z = D,</math> przy czym <math>C \ne D.</math></ref>. Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]].

== Kraty ==
Dla [[Krata (matematyka)|krat]] własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów <math>a, b, c</math> zachodzi
: <math>((a \wedge c) \vee b) \wedge c  = (a \wedge c) \vee (b \wedge c).</math>

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów <math>a, b, c,</math> przy czym <math>a \leqslant c,</math> zachodzi
: <math>(a \vee b) \wedge c  = (a \wedge c) \vee (b \wedge c) = a \vee (b \wedge c).</math>

Sformułowania są równoważne, gdyż <math>a \leqslant c</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a \wedge c = a.</math> Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność
: <math>((a \wedge c) \vee b) \wedge c \geqslant (a \wedge c) \vee (b \wedge c),</math>

jako że tak <math>(a \wedge c) \vee b,</math> jak i <math>c</math> są większe lub równe od <math>a \wedge c</math> oraz <math>b \wedge c,</math> to prawo modularności jest równoważne
: <math>((a \wedge c) \vee b) \wedge c \leqslant (a \wedge c) \vee (b \wedge c).</math>

Kraty [[krata rozdzielna|rozdzielna]], [[krata projektywna|projektywna]], czy [[krata metryczna|metryczna]] są kratami modularnymi.

== Przykłady ==
Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty [[podgrupa normalna|podgrup normalnych]] ([[podgrupa permutowalna|permutowalnych/quasi-normalnych]])<ref group="uwaga">Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.</ref> danej [[grupa (matematyka)|grupy]], krata [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni]] danej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] ([[liniowa niezależność#Przestrzeń rzutowa zależności liniowych|podprzestrzeni]] danej [[przestrzeń rzutowa|przestrzeni rzutowej]]), krata [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]] danego [[pierścień (matematyka)|pierścienia]], czy krata podmodułów danego [[moduł (matematyka)|modułu]]. We wszystkich tych przypadkach [[Częściowy porządek|porządkiem częściowym]] w tych kratach jest [[podzbiór#Zawieranie|zawieranie]]. [[Kresy dolny i górny|Kres dolny]] to [[część wspólna]] zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; [[Kresy dolny i górny|kres górny]] dowolnego zbioru <math>X</math> elementów definiuje się jako <math>\bigvee X = \bigcap\ \{y\colon x \subseteq y\ \mathrm{dla\,wszystkich}\ x \in X\}.</math>
W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł [[zbiór generatorów|generowane przez wszystkie elementy]] należące do sumy <math>\bigcup X.</math>

Niech <math>G</math> będzie grupą, a <math>H</math> oraz <math>K</math> jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których <math>H \leqslant K \leqslant G.</math> Jeżeli <math>N</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] w <math>G,</math> to <math>NH = KN</math> oraz <math>H \cap N = K \cap N,</math> pociągają <math>H = K.</math> Z prawa modularności wynika bowiem <math>H = H (H \cap N) = H (K \cap N) = K \cap NH = K \cap KN = K;</math> założenie normalności <math>N</math> jest niezbędne w celu zagwarantowania, że <math>NH = KN</math> ma strukturę grupy (jako [[iloczyn kompleksowy|iloczyny półproste]]).

== Zobacz też ==
* [[pierścień Dedekinda|dziedzina Dedekinda]]
* [[dziedzina Prüfera]]
* [[grupa Iwasawy|grupa modularna]] (Iwasawy)
* [[lemat Zassenhausa]]
* [[krata podgrup|podgrupa modularna]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Modular_lattice Modular lattice]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Teoria grup]]
[[Kategoria:Podzbiory pierścieni]]
[[Kategoria:Teoria modułów]]
[[Kategoria:Przestrzenie liniowe]]
[[Kategoria:Teoria krat]]