Tekst źródłowy strony Miara zupełna

'''Miara zupełna''' – [[miara (matematyka)|miara]] <math>\mu</math> określona na [[przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnej]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> jest zupełna, gdy podzbiory [[Zbiór miary zero|zbiorów miary zero]] są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Innymi słowy, jeśli <math>A \in \mathcal{A},</math> <math>\mu(A)=0</math> i <math>E\subseteq A,</math> to <math>E\in \mathcal{A}.</math>

[[Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)|Twierdzenie o rozszerzeniu miary]] mówi, że dla każdej miary <math>\mu</math> określonej na przestrzeni mierzalnej <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> istnieje taka miara zupełna <math>\nu</math> określona na najmniejszym [[σ-ciało|σ-ciele]] zawierającym <math>\mathcal{A}</math> i wszystkie podzbiory zbiorów miary <math>\mu</math>-zero, która pokrywa się z <math>\mu</math> na <math>\mathcal{A}.</math>

== Przykłady ==
* [[Miara Lebesgue’a]] i [[miara Dieudonnégo]] są zupełne.
* Przykładem miary, która nie jest zupełna jest [[miara Lebesgue’a]] obcięta do rodziny [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] na prostej.
* [[Miara produktowa]] miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli <math>V</math> jest [[zbiór niemierzalny|niemierzalnym]] podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue’a <math>l_1</math>), to zbiór <math>\{1\}\times V</math> zawarty jest w zbiorze <math>\{1\}\times \mathbb{R}</math> dla którego <math>(l_1\otimes l_1)(\{1\}\times \mathbb{R})=0\cdot \infty=0,</math> ale sam zbiór <math>\{1\}\times V</math> nie jest <math>(l_1\otimes l_1)</math>-mierzalny.

== Zobacz też ==
* [[przestrzeń metryczna]]
* [[przestrzeń zupełna]]
* [[zupełność]]

[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Zupełna]]