Tekst źródłowy strony Metryka Lévy’ego-Prochorowa

'''Metryka Lévy’ego-Prochorowa''' – [[przestrzeń metryczna|metryka]] określona na rodzinie [[Przestrzeń probabilistyczna|miar probabilistycznych]] w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez [[Związek Socjalistycznych Republik Radzieckich|sowieckiego]] matematyka [[Jurij Prochorow|Jurija Prochorowa]] jako uogólnienie [[metryka Lévy’ego|metryki Lévy’ego]].

== Definicja ==
Niech <math>(M, d)</math> będzie [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]] z σ-ciałem [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] <math>\mathfrak{B} (M).</math> Ponadto niech <math>\mathcal{P} (M)</math> będzie rodziną wszystkich [[Przestrzeń probabilistyczna|miar probabilistycznych]] określonych na [[przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnej]] <math>(M, \mathcal{B} (M)).</math>

Dla podzbioru <math>A \subseteq M</math> zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru <math>A</math>
: <math>A^\varepsilon := \{ p \in M : \exists q \in A, \ d(p, q) < \varepsilon \} = \bigcup_{p \in A} B_\varepsilon (p),</math>

gdzie <math>B_\varepsilon (p)</math> jest [[kula|kulą otwartą]] wokół <math>p</math> o promieniu <math>\varepsilon.</math>

Metryka Lévy’ego-Prochorowa <math>\pi : \mathcal{P} (M)^2 \to [0, + \infty)</math> to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi <math>\mu</math> i <math>\nu</math> na <math>M,</math> zdefiniowana jako
: <math>\pi (\mu, \nu) := \inf \left\{ \varepsilon > 0 : \forall A \in \mathcal{B}(M), \ \mu(A) \leqslant \nu (A^\varepsilon) + \varepsilon \ \text{oraz} \ \nu (A) \leqslant \mu (A^\varepsilon) + \varepsilon\right\}.</math>

Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi <math>\pi (\mu, \nu) \leqslant 1.</math>

Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie [[zbiór otwarty|otwarty]] lub [[zbiór domknięty|domknięty]] zbiór <math>A.</math> Jedna z nierówności implikuje drugą, a <math>(\bar{A})^\varepsilon = A^\varepsilon,</math> ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli <math>M</math> nie jest [[przestrzeń polska|przestrzenią polską]].

== Własności ==
* Jeśli <math>(M, d)</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|przestrzenią ośrodkową]], zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna [[zbieżność według rozkładu|słabej zbieżności]] miar. Zatem w tym przypadku <math>\mathcal{P} (M)</math> z topologią słabej zbieżności jest [[przestrzeń metryzowalna|metryzowalna]], a metryką tą jest właśnie <math>\pi.</math>
* Przestrzeń metryczna <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] wtedy i tylko wtedy, gdy <math>(M, d)</math> jest ośrodkowa.
* Jeśli <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> jest [[przestrzeń zupełna|zupełna]] to <math>(M, d)</math> jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w <math>\mathcal{P} (M)</math> mają ośrodkowy [[nośnik miary|nośnik]], wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli <math>(M, d)</math> jest zupełna, to <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy <math>(M, d)</math> jest ośrodkowa.
* Jeśli <math>(M, d)</math> jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór <math>\mathcal{K} \subseteq \mathcal{P} (M)</math> jest [[podprzestrzeń warunkowo zwarta|warunkowo zwarta]] wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem <math>\pi</math> jest zwarte względem <math>\pi.</math>
* Jeśli <math>(M,d)</math> jest ośrodkowa, to <math>\pi (\mu , \nu ) = \inf \{ \alpha (X,Y) : P_X = \mu , P_Y = \nu \},</math> gdzie <math>\alpha (X,Y) = \inf\{ \varepsilon > 0 : \mathbb{P} ( d( X ,Y ) > \varepsilon ) \leqslant \varepsilon \}</math> jest metryką [[Ky Fan]]a, a <math>P_X</math> oznacza rozkład zmiennej losowej <math>X</math>{{odn|Dudley|1989|s=322}}{{odn|Račev|1991|s=159}}.

== Zobacz też ==
* [[jędrna rodzina miar]]
* [[Miara Radona#Struktura metrycza|metryka Radona]]
* [[twierdzenie Prochorowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |autor = Billingsley, Patrick |tytuł = Convergence of Probability Measures |url = https://archive.org/details/convergenceofpro0000bill |wydawca = John Wiley & Sons, Inc. |miejsce = Nowy Jork |rok = 1999 |isbn = 0-471-19745-9 |oclc = 41238534 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Dudley |imię = R.M. |tytuł = Real analysis and probability |wydawca = Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole |rok = 1989 |isbn = 0-534-10050-3 |język = en |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Račev |imię = Svetlozar T. |tytuł = Probability metrics and the stability of stochastic models |wydawca = Chichester: Wiley |rok = 1991 |isbn = 0-471-92877-1 |język = en |odn = tak}}

[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]
[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Geometria metryczna]]