Tekst źródłowy strony Mechanika statystyczna

{{Inne znaczenia|klasycznej mechaniki statystycznej|[[Kwantowa mechanika statystyczna]]}}
{{Dopracować|źródła=2012-11|wyprowadzić od początku z [[układ mikrokanoniczny]] poprzez [[Zespół kanoniczny|układ kanoniczny]] do [[układ wielki kanoniczny]], być może zintegrować te artykuły tu}}
{{Wikibooks|Fizyka statystyczna}}

'''Mechanika statystyczna''' – gałąź [[fizyka|fizyki]], zajmująca się układami wielu oddziałujących [[Ciało (fizyka)|ciał]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Fizyka statystyczna | id = 3901369 | data dostępu = 2021-07-29}}</ref>. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Poszczególne ciała są bowiem opisane przez [[zmienna losowa|zmienne losowe]]. Obliczenia prowadzone w ramach mechaniki statystycznej dotyczą średnich z tych zmiennych z wykorzystaniem metod [[statystyka|statystycznych]]. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest [[termodynamika klasyczna|termodynamika fenomenologiczna]].

Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię [[Stan termodynamiczny|stanów]] [[Równowaga termodynamiczna|równowagi termodynamicznej]]. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej. Sama [[suma statystyczna]] nie ma znaczenia fizycznego, natomiast jest wielkością użyteczną do obliczania wielkości fizycznych. Recepta na obliczenie sumy statystycznej dla danego układu jest na ogół uważana za równoznaczną z określeniem jego własności równowagowych.

Równowagowa mechanika statystyczna korzysta z kluczowego założenia, że [[prawdopodobieństwo]] pozostawania przez układ w danym stanie zależy tylko od energii tego stanu. Stan równowagi jest więc stanem, w którym informacja o przeszłości układu nie jest istotna.

== Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystyczna ==
Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja [[entropia|entropii]] pochodząca od [[Ludwig Boltzmann|Boltzmanna]]:
: Entropia makroskopowa układu jest proporcjonalna do [[logarytm]]u liczby mikroskopowych stanów układu.

[[Współczynnik proporcjonalności]] oznaczany przez <math>k</math> nazywany jest [[Stała Boltzmanna|stałą Boltzmanna]].
Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii <math>E</math> jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze <math>T (\beta=1/kT),</math> to [[prawdopodobieństwo]] tego stanu jest proporcjonalne do
: <math>\exp\left(-\beta E\right),</math>

tę wielkość nazywamy '''czynnikiem Boltzmanna'''. Te prawdopodobieństwa wysumowane po wszystkich stanach mikroskopowych muszą dać jedność. Pozwala to zdefiniować [[suma statystyczna|sumę statystyczną]]:
: <math>Z = \sum_i \exp\left(-\beta E_i\right),</math>

gdzie <math>E_i</math> jest energią <math>i</math>-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych przez [[układ fizyczny]].

Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie <math>(i)</math> w temperaturze <math>T</math> z energią <math>E_i</math> jest równe
: <math>p_i = \frac{\exp(-\beta E_i)}{Z}.</math>

== Związki z termodynamiką ==
{{dopracować|sekcja|zweryfikować|Entropia Shannona?}}
Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkości.
Na przykład średnia mikroskopowa energia <math>E</math> jest interpretowana jako energia wewnętrzna <math>(U)</math> w [[Termodynamika|termodynamice]]. Tak więc
: <math>\langle E\rangle = \frac{\sum_i E_i e^{-\beta E_i}}{Z} = -\frac{dZ}{d\beta}/Z</math>

wraz z interpretacją <math>\langle E\rangle</math> jako <math>U,</math> daje następującą definicje [[energia wewnętrzna|energii wewnętrznej]]:
: <math>U := -\frac{d\ln Z}{d \beta}.</math>

Entropię określamy z wzoru ([[Entropia (teoria informacji)|entropia]] [[Claude E. Shannon|Shannona]])
: <math>\frac{S}{k} = -\sum_i p_i \ln p_i = \sum_i \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}(\beta E_i+\ln Z) = \ln Z + \beta U,</math>

który daje
: <math>-\frac{\ln(Z)}{\beta} = U - TS = F,</math>

gdzie <math>F</math> jest [[energia swobodna|energia swobodną]] układu fizycznego, stąd
: <math>Z = e^{-\beta F}.</math>

Mając zdefiniowane podstawowe [[potencjały termodynamiczne]] <math>U</math> (energię wewnętrzną), <math>S</math> (entropię) i <math>F</math> (energię swobodną), można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.

== Zmienna liczba cząstek ==
W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić [[potencjał chemiczny]], <math>\mu_j,</math> <math>j=1,\dots,n</math> i zamienić [[suma statystyczna|sumę statystyczną]] na
: <math>Z = \sum_i \exp\left(\beta \left[\sum_{j=1}^n \mu_j N_{ij}-E_i\right]\right),</math>

gdzie <math>N_{ij}</math> jest liczba cząstek rodzaju <math>j^{th}</math> w <math>i</math>-tym stanie mikroskopowym.

{| class="wikitable"
|-
| [[energia swobodna]] [[Hermann von Helmholtz|Helmholtza]]
| <math>F = -\frac{\ln Z}{\beta}</math>
|-
| [[energia wewnętrzna]]
| <math>U = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}</math>
|-
| [[ciśnienie]]
| <math>P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{N,T} = \frac{1}{\beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{N,T}</math>
|-
| [[entropia]]
| <math>S = k (\ln Z + \beta U)</math>
|-
| [[Entalpia swobodna|energia swobodna Gibbsa]]
| <math>G = F+PV = -\frac{\ln Z}{\beta} + \frac{V}{\beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_{N,T}</math>
|-
| [[entalpia]] || <math>H = U + PV</math>
|-
| [[pojemność cieplna]] (<math>V</math> = const)
| <math>C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{N,V}</math>
|-
| pojemność cieplna (<math>p</math> = const)
| <math>C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{N,P}</math>
|-
| [[potencjał chemiczny]]
| <math>\mu_i = -\frac{1}{\beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial N_i} \right)_{T,V,N}</math>
|}

To samo z użyciem zespołu wielkiego kanonicznego:
: <math>U = \sum_i E_i \frac{\exp\big(-\beta (E_i-\sum_j \mu_j N_{ij})\big)}{Z},</math>
: <math>N_j = \sum_i N_{ij} \frac{\exp\big(-\beta (E_i-\sum_i \mu_j N_{ij})\big)}{Z}.</math>

{| class="wikitable"
|-
| energia swobodna Gibbsa
| <math>G = -\frac{\ln Z}{\beta}</math>
|-
| energia wewnętrzna
| <math>U = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_\mu+\sum_i\frac{\mu_i}{\beta}\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \mu_i}\right)_\beta</math>
|-
| liczba cząstek
| <math>N_i = \frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \mu_i}\right)_\beta</math>
|-
| entropia
| <math>S = k (\ln Z + \beta U- \beta \sum_i \mu_i N_i)</math>
|-
| energia swobodna Helmholtza
| <math>F = G+\sum_i \mu_i N_i = -\frac{\ln Z}{\beta} +\sum_i\frac{\mu_i}{\beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial \mu_i}\right)_\beta</math>
|}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Bartłomiej Dybiec, ''[https://www.youtube.com/watch?v=VGVGxUx-rL8 Bliżej Nauki: Egzotyczne zastosowania fizyki statystycznej]'', kanał [[Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego|FAIS UJ]] na [[YouTube]], 24 stycznia 2023 [dostęp 2023-11-30].
* {{SEP |url = statphys-statmech/ |tytuł = Philosophy of Statistical Mechanics |autor = Lawrence Sklar |data = 2015-07-24 |data dostępu = 2017-12-31 | tytuł polski = (Filozofia mechaniki statystycznej)}}

{{Mechanika klasyczna}}
{{Działy fizyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Mechanika statystyczna| ]]
[[Kategoria:Termodynamika]]