Tekst źródłowy strony Matryca logiczna języka zdaniowego

'''Matryca logiczna''' dla [[Język zdaniowy|języka zdaniowego]] <math>\mathcal{L}</math> sygnatury <math>\varsigma</math> – para <math>\mathcal{M}=\langle\mathcal{A},D\rangle,</math> gdzie <math>\mathcal{A}</math> jest [[Algebra ogólna#Bardziej formalnie|algebrą]] sygnatury <math>\varsigma,</math> zaś <math>D\subseteq|\mathcal A|.</math> Algebrę <math>\mathcal{A}</math> nazywamy '''algebrą matrycy''' <math>\mathcal{M},</math> wyróżniony zbiór <math>D</math> zaś, zbiorem jej '''prawd'''. Często dla danej matrycy <math>\mathcal{M},</math> jej algebrę oznaczamy tym samym symbolem <math>\mathcal{M},</math> a zbiór jej prawd symbolem <math>\mathcal{M}^\star.</math>

Formuła <math>\delta</math> języka <math>\mathcal{L}</math> jest '''prawdziwa''' w <math>\mathcal{M},</math> jeśli <math>h(\delta)\in\mathcal{M}^\star</math> dla dowolnego [[Algebra ogólna#Bardziej formalnie|homomorfizmu]] <math>h</math> algebry języka <math>\mathcal{L}</math>
w algebrę matrycy <math>\mathcal{M}.</math>

Zbiór formuł prawdziwych w <math>\mathcal{M}</math> oznacza się symbolem <math>E(\mathcal{M})</math> i nazywa '''zawartością''' matrycy <math>\mathcal{M}.</math> Zbiór formuł <math>X</math> jest '''prawdziwy''' w <math>\mathcal{M},</math> jeśli <math>X\subseteq E(\mathcal{M}).</math>

Zbiór formuł <math>X</math> języka <math>\mathcal{L}</math> jest '''spełnialny''' w <math>\mathcal{M},</math> jeśli <math>h\;\grave{}\,\grave{}X\subseteq\mathcal{M}^\star</math> dla pewnego [[Algebra ogólna#Bardziej formalnie|homomorfizmu]] <math>h</math> algebry języka <math>\mathcal{L}</math> w algebrę matrycy <math>\mathcal{M}.</math>

[[Operator konsekwencji|'''Operatorem konsekwencji''']] matrycy <math>\mathcal{M}</math> nazywamy funkcję <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}\colon\wp\Big(\mathbf{Frm}_\mathcal{L}\Big)\to\mathbf{Frm}_\mathcal{L}</math> daną wzorem:
: <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}(X)=\{\delta: \bigwedge_{v:\mathbf{P}\to|\mathcal{M}|}\big(\widehat{v}\;\grave{}\,\grave{}X\subseteq\mathcal{M}^\star\;\Rightarrow\;\widehat{v}(\delta)\in\mathcal{M}^\star\big)\}.</math>

Matryca <math>\mathcal{M}</math> jest '''adekwatna''' dla [[Rachunek zdaniowy|rachunku zdaniowego]] <math>\mathfrak{R},</math> jeśli <math>E(\mathcal{M})=\mathbf{Cn}_\mathfrak{R}(\emptyset).</math>

Matrycą [[Adolf Lindenbaum|Lindenbauma]] dla [[Rachunek zdaniowy|rachunku zdaniowego]] <math>\mathfrak{R}</math> jest matryca <math>\mathfrak{L}_\mathfrak{R}=\langle\mathfrak{A}_\mathcal{L},\mathbf{Cn}_\mathfrak{R}(\emptyset)\rangle.</math> Jeśli <math>\mathfrak{R}</math> jest [[Rachunek logiczny|inwariantny]], to matryca ta jest adekwatna dla tego rachunku.

Matryca ta jest dla rachunku <math>\mathfrak{R}</math> '''silnie''' adekwanta, jeśli <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}=\mathbf{Cn}_\mathfrak{R}.</math>

W przypadku wybranych algebr, takich jak np. algebry Boole’a, Heytinga, Łukasiewicza i in., przenosimy pojęcia '''prawdziwości'''/'''spełnialności''' formuły/zbioru formuł na grunt tychże, mając na myśli odpowiedniki tych pojęć w matrycy, której algebrą jest dana algebra, a zbiorem wyróżnionym jest jednoelementowy zbiór zawierający element największy tej algebry.

Np. algebrze Heytinga <math>\mathcal{H}</math> odpowiada matryca <math>\langle\mathcal{H},\{\top\}\rangle,</math> a algebrze Łukasiewicza
<math>\mathcal{L}_n\!\!\!\!\!\!\!\!-</math> matryca <math>\langle{\mathcal{L}_n\!\!\!\!\!\!\!\!-}\;\;,\{1\}\rangle.</math>

[[Kategoria:Logika matematyczna]]