Tekst źródłowy strony Masa relatywistyczna

'''Masa relatywistyczna''' – [[wielkość fizyczna]] wprowadzana w niektórych ujęciach [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]], ściśle zdefiniowana [[#Ścisłe definicje|niżej]], przez [[Energia|energię]] całkowitą. Tak rozumiana masa – tak jak energia całkowita – jest wielkością względną, czyli zależną od [[Układ odniesienia|układu odniesienia]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3966975 | tytuł = masa relatywistyczna | data dostępu = 2025-02-05 }}</ref>. Innymi słowy nie jest to [[niezmiennik relatywistyczny]] – masa relatywistyczna może zmieniać się bez żadnej zmiany w samym obiekcie fizycznym, wyłącznie przez zmianę układu odniesienia{{odn|Ugarow|1985|s=135}}{{odn|Heller|Pabjan|2014|s=45}}. Masa relatywistyczna jest wielkością zachowywaną w przemianach i, w przeciwieństwie do masy spoczynkowej, [[Addytywność (fizyka)|addytywną]], co jednak jest prostą konsekwencją [[Zasada zachowania energii|zasady zachowania]] i addytywności relatywistycznej energii całkowitej{{odn|Ugarow|1985|s=299}}.

Jest to więc wielkość odmienna od [[Masa spoczynkowa|masy spoczynkowej]], wielkości niezmienniczej i tożsamej, z dokładnością do czynnika <math>c^{-1},</math> z niezmienniczą wartością bezwzględną (długością) czteropędu, i będącej właściwością obiektu{{odn|Szymacha|1985|s=98}}{{odn|Ugarow|1985|s=135}}{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=164, 171}}{{odn|Ugarow|1985|s=296}}. Dlatego użycie w nazwie ''masa relatywistyczna'' terminu ''masa'' może wprowadzać w błąd i być przyczyną nieporozumień{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=197}}{{odn|Szymacha|1985|s=98}}{{odn|Ugarow|1985|s=135}}{{odn|Szymacha|1980|s=48}}.

== Ścisłe definicje ==
=== Ogólna ===
Masa relatywistyczna jest tożsama – z dokładnością do czynnika (czyli ze [[Proporcjonalność prosta|współczynnikiem proporcjonalności]]) ''[[Prędkość światła#Stała fizyczna|c]]''<sup>−1</sup> – z zerową (czasową) składową [[czteropęd|czterowektora energii-pędu]] (czteropędu) danego [[Przedmiot fizyczny|obiektu fizycznego]]. Innymi słowy jest równa, z dokładnością do czynnika <math>c^{-2},</math> całkowitej [[Energia (fizyka)|energii]] tego relatywistycznego obiektu{{odn|Ugarow|1985|s=135, 298}}{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=197}}{{odn|Szymacha|1985|s=98}}:
: <math>m_r=\frac{p_0}{c}=\frac{E_r}{c^2},</math>

gdzie:
: <math>m_r</math> – masa relatywistyczna,
: <math>p_0</math> – zerowa (czasowa) składowa czteropędu,
: <math>E_r</math> – energia relatywistyczna,
: <math>c</math> – prędkość światła w próżni.

=== Przy niezerowej masie spoczynkowej ===
[[Plik:Mass in special relativity-plot.png|thumb|300px|Wykres zależności masy relatywistycznej od prędkości (wyrażonej jako część prędkości światła w próżni c).]]

Dla obiektów o niezerowej masie spoczynkowej ([[Ciało (fizyka)|ciał]]) wprowadza się niekiedy wzór{{odn|Feynman|Leighton|Sands|2013|loc=15-1, 15-8}}:
:: <math>m_r=\frac{m_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}=\gamma m_0,</math>

gdzie:
: <math>m_r</math> – masa relatywistyczna,
: <math>m_0</math> – masa spoczynkowa,
: <math>v</math> – prędkość ciała względem danego układu odniesienia,
: <math>\gamma=\frac 1{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}</math> – [[czynnik Lorentza]].

Wzór ten faktycznie opisuje związek transformacyjny między energią spoczynkową ciała (energią w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, dla ciał zawsze niezerową), a jego relatywistyczną energią całkowitą (sumą jego energii spoczynkowej i relatywistycznej energii kinetycznej, nietożsamej z klasyczną energią kinetyczną): <math>E_r=\gamma{E_0}=\gamma{m_0}{c^2},</math> nie wynikający jednak ze zmian zachodzących „w ciele”, a z transformacyjnych właściwości czasoprzestrzeni (szczególnie [[Dylatacja czasu#Dylatacja związana z prędkością (kinetyczna)|dylatacji czasu]]){{odn|Ugarow|1985|s=135}}{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=159}}. Jedynie w układzie, w którym [[Pęd (fizyka)|pęd]] ciała (składowe przestrzenne czteropędu) jest zerowy, relatywistyczna energia całkowita (proporcjonalna do składowej czasowej) jest równa energii spoczynkowej (proporcjonalnej do wartości bezwzględnej czteropędu i do masy spoczynkowej){{odn|Ugarow|1985|s=136}}{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=193, 196}}.

Dzięki użyciu pojęcia masy relatywistycznej, w miejsce masy spoczynkowej, możliwe jest pozorne utrzymanie w szczególnej teorii względności klasycznej (newtonowskiej) definicji pędu<ref>[http://jakubw.pl/faq/fizyka/node18.html Czy można używać pojęcia masy relatywistycznej?]</ref><ref>[http://jakubw.pl/faq/fizyka/node19.html Czy wzór E=mc² jest prawidłowy?]</ref>:
: <math>\vec p=m \vec v</math> – klasyczna definicja pędu,
: <math>\vec p=\frac{E_r \vec v}{c^2}</math> – relatywistyczna definicja pędu,
: <math>\vec p=m_r \vec v</math> – relatywistyczna definicja pędu „upodobniona” do klasycznej (czyli definicja klasyczna przeniesiona do szczególnej teorii względności).

Masa relatywistyczna rośnie wraz z prędkością ciała względem danego układu odniesienia<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3966977 | tytuł = relatywistyczny przyrost masy | data dostępu = 2025-02-05 }}</ref> (aż do nieskończoności przy zbliżaniu się prędkości do prędkości światła w próżni), podczas gdy masa spoczynkowa pozostaje stała.

=== Przy zerowej masie spoczynkowej ===
Dla obiektów o zerowej masie spoczynkowej (np. [[foton]]ów)<ref>[http://jakubw.pl/faq/fizyka/node21.html Ile wynosi masa fotonu?]</ref><ref>[http://math.ucr.edu/home/baez/physics/ParticleAndNuclear/photon_mass.html What is the mass of a photon?]</ref><ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.weburbia.com/physics/photon_mass.html |tytuł = What is the Mass of a Photon? |opublikowany = weburbia.com |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20130703020501/http://www.weburbia.com/physics/photon_mass.html |zarchiwizowano = 2013-07-03 |data dostępu = 2018-08-13}}</ref> niekiedy wprowadza się pojęcie masy relatywistycznej, jako wielkości tożsamej (co do czynnika ''c<sup>−2</sup>'') z ich energią<ref>[http://jakubw.pl/faq/fizyka/node22.html Co wobec tego oznacza podawany dla fotonu wzór m<sub>r</sub>=hν/c²?]</ref>, co jednak może wprowadzać w błąd, gdyż nie może być mowy o jakiejkolwiek bezwładności fotonu{{odn|Ugarow|1985|s=239}} mimo jego niezerowego pędu<ref>[http://jakubw.pl/faq/fizyka/node23.html Skoro masa fotonu wynosi zero, to ile wynosi pęd fotonu?]</ref>.

== Wyprowadzenie wzoru ==
=== Doświadczalnie ===
Rozważmy zderzenie dwóch kul <math>B</math> i <math>R</math> o tej samej masie <math>m_0</math> poruszających się wzdłuż osi <math>y</math> w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio <math>u_0</math> i <math>-u_0</math> w układach odniesienia <math>S</math> i <math>S'.</math> Po zderzeniu kula <math>B</math> zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi <math>y</math> z prędkością <math>-u_0,</math> a kula <math>R</math> w przeciwieństwie do zasad fizyki klasycznej, oprócz ruchu w dodatnim kierunku osi <math>y,</math> także w dodatnim kierunku osi <math>x.</math>

Suma pędów obu kul przed i po zderzeniu wzdłuż osi <math>x</math> jest taka sama i wynosi <math>m_0 u_0,</math> zatem pęd jest zachowany. Jednak
wzdłuż osi <math>y{:}</math>
: <math>\left[p(B)_y+p(R)_y\right]_p=-m_0 u_0+\frac{m_0 u_0}{\gamma},</math>
: <math>\left[p(B)_y+p(R)_y\right]_k=m_0 u_0-\frac{m_0 u_0}{\gamma}.</math>

Gdy <math>\left[p(B)_y+p(R)_y\right]_p=\left[p(B)_y+p(R)_y\right]_k,</math> to <math>\gamma =1</math> co oznacza sprzeczność.

Aby pęd był zachowany także wzdłuż osi <math>y,</math> to musimy założyć, że to masa kul się zmienia. Zatem masy są funkcjami prędkości: <math>m(B)</math> i <math>m(R).</math>

Wtedy:
: <math>m(B)u_0-\frac{m(R)u_0}{\gamma}=-m(B)u_0+\frac{m(R)u_0}{\gamma}.</math>

Z tego wynika, że<ref>{{Cytuj stronę |url = https://thecuriousastronomer.wordpress.com/2017/09/12/derivation-of-relativistic-mass/ |tytuł = thecuriousastronomer Life, the Universe, and everything Derivation of relativistic mass |autor = Rhodri Evans |opublikowany = 2017-09-12 |data = |język = en |data dostępu = 2023-03-31}}</ref>:
: <math>m(B)=\frac{m(R)}{\gamma}.</math>

=== Analitycznie ===
Zasada zachowania pędu dla zderzenia dwóch ciał o masach <math>m_1</math> i <math>m_2</math> poruszających się przed zderzeniem z prędkościami odpowiednio <math>u_1</math> i <math>u_2</math> w układzie odniesienia <math>S</math> oraz odpowiednio <math>+u'</math> i <math>-u'</math> w układzie odniesienia <math>S',</math> a po zderzeniu z tą samą prędkością <math>v</math> sformułowana jest następująco:
: <math>m_1 u_1+m_2 u_2=(m_1+m_2)v.</math>

Uwzględniając relatywistyczne składanie prędkości:
: <math>u_1=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}},</math> <math>u_2=\frac{-u'+v}{1-\frac{u'v}{c^2}}.</math>

Możemy obliczyć stosunek mas obydwu ciał:
: <math>\frac{m_1}{m_2} = \frac{1+\frac{u'v}{c^2}}{1-\frac{u'v}{c^2}}=\frac{\sqrt{1-\frac{u_2^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{u_1^2}{c^2}}}.</math>

Po podstawieniu: <math>m_2=m_0,</math> <math>u_2=0,</math> <math>u_1=v</math> otrzymujemy<ref>[https://www.physicsforums.com/threads/derivation-of-the-equation-for-relativistic-mass.153322/ Physics forums Derivation of the Equation for Relativistic Mass].</ref>:
: <math>\frac{m_1}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.</math>

Wzór na masę relatywistyczną można również wyprowadzić na gruncie mechaniki klasycznej, rozważając dwa układy <math>S</math> i <math>S'</math> poruszające się względem siebie w przestrzeni trójwymiarowej z prędkością <math>v_x</math><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Hamdan |imię = Nizar |autor link = |tytuł = A Dynamic Approach to De Broglie’s Theory |czasopismo = Apeiron |wolumin = 12 |numer = 3 |strony = 274–290 |data = 2005-07 |wydawca = C. Roy Keys Inc. |miejsce = Montreal |issn = 0843-6061}}</ref> bądź cząstkę o masie <math>m</math> i ładunku <math>q</math> poruszającą się z prędkością <math>v</math> w układzie <math>S</math> (układ <math>S'</math> porusza się względem układu <math>S</math> wzdłuż osi <math>x</math> z prędkością <math>u</math>), która poddana jest działaniu pola elektrycznego <math>E</math> i indukcji magnetycznej <math>B</math><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Hamdan |imię = Nizar |autor link = |nazwisko2 = Hariri |imię2 = A.K. |nazwisko3 = Lopez-Bonilla |imię3 = Jose Angel |tytuł = Derivation of Einstein’s Equation, E = mc2, from the Classical Force Laws |czasopismo = Apeiron |wolumin = 14 |numer = 4 |strony = 435–453 |data = 2007-10 |wydawca = C. Roy Keys Inc. |miejsce = Montreal |issn = 0843-6061}}</ref>.

== Kontrowersje i krytyka pojęcia ==
Koncepcja masy relatywistycznej jest dyskutowana<ref>[http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html Relativistic mass].</ref><ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.weburbia.com/physics/mass.html |tytuł = Does mass change with velocity? |opublikowany = weburbia.com |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20140210145001/http://www.weburbia.com/physics/mass.html |zarchiwizowano = 2014-02-10 |data dostępu = 2018-08-13}}</ref>, krytykowana{{odn|Taylor|Wheeler|1975|s=197}}{{odn|Szymacha|1985|s=98}}{{odn|Ugarow|1985|s=135}}<ref>[http://physicstoday.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.881171 Lev B. Okun (June 1989), ''The Concept of Mass'', Physics Today 42 (6): 31–36] [https://web.archive.org/web/20160304052615/http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_3.pdf archiwum].</ref><ref>[http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/ Lev B. Okun, ''The concept of mass (mass, energy, relativity)'', Usp.Fiz.Nauk 158, 511–530; Sov. Phys. Usp. 32 (7), July 1989, © 1989 American Institute of Physics, p. 629.]</ref>, broniona<ref>[http://physicstoday.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.2810555 Wolfgang Rindler, Michael A. Vandyck, Poovan Murugesan, Siegfried Ruschin, Catherine Sauter, and Lev B. Okun (May 1990), ''Putting to Rest Mass Misconceptions'', Physics Today 43 (5): 13–14, 115, 117] [https://web.archive.org/web/20130928221524/http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_4.pdf archiwum].</ref><ref>[http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.16642 T. R. Sandin (November 1991), ''In Defense of Relativistic Mass'', American Journal of Physics 59 (11): 1032].</ref><ref>Q. ter Spill, ''[https://web.archive.org/web/20120721231854/http://www.teleles.nl/pdf/total_artikel.pdf Mass & Energy]'', 's Gravesande Institute of Physics Education, Jan van Houtkade 26a, 2311 PD Leiden Netherlands, p. 47.</ref>. Nadal występuje w wielu podręcznikach i pracach popularyzujących teorię względności{{odn|Heller|Pabjan|2014|s=45}}<ref>[http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0504/0504110v2.pdf Gary Oas (2005), ''On the Abuse and Use of the Relativistic Mass''].</ref>{{odn|Trautman|1969|s=586}}{{odn|Feynman|Leighton|Sands|2007|s=250–251}}{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1984|s=477}}{{odn|Sawicki|1975|s=42}}. W gronie krytyków znalazł się między innymi astrofizyk teoretyczny i popularyzator [[Sean M. Carroll]]<ref>{{otwarty dostęp}} Sean Carroll, ''[https://www.youtube.com/watch?v=n_yx_BrdRF8 Demystifying Mass]'' {{lang|en}}, 3:50, kanał 2Veritasium na [[YouTube]], 30 października 2013 [dostęp 2021-01-17].</ref>.

Historyczno-matematyczna metaanaliza pojęcia masy relatywistycznej została przedstawiona w artykule<ref>{{Cytuj |autor = G. M. Koczan |tytuł = New definitions of 3D acceleration and inertial mass not violating F=MA in the Special Relativity |czasopismo = Results in Physics |data = 2021-05-01 |data dostępu = 2021-05-22 |issn = 2211-3797 |wolumin = 24 |s = 104121 |doi = 10.1016/j.rinp.2021.104121 |url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2211379721002758 |język = en}}</ref>. Zaproponowano w nim dziesięć równoważnych, ale nietożsamych definicji masy relatywistycznej.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
'''Książki'''
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Feynman |imię = Richard Phillips |autor link = Richard Feynman |nazwisko2 = Leighton |imię2 = Robert B. |nazwisko3 = Sands |imię3 = Matthew |tytuł = [[Feynmana wykłady z fizyki]] |tom = 1 |część = 1 |tytuł części = Mechanika, szczególna teoria względności |rok = 2007 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |isbn = 978-83-0115007-5 |id = {{ISBN|978-83-0115012-9}} |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Heller |imię = Michał |autor link = Michał Heller |nazwisko2 = Pabjan |imię2 = Tadeusz |autor link2 = Tadeusz Pabjan |tytuł = Elementy filozofii przyrody |wydawca = Copernicus Center Press |miejsce = Kraków |rok = 2014 |isbn = 978-83-7886-065-5 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Sawicki |imię = Mieczysław |tytuł = Elementy teorii względności. Zajęcia fakultatywne w grupie matematyczno-fizycznej |wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne|WSiP]] |rok = 1975 |miejsce = Warszawa |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Szymacha |imię = Andrzej |tytuł = Zasada względności w fizyce, [w:] Teoria względności |wydawca = WSiP |rok = 1980 |miejsce = Warszawa |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Szymacha |imię = Andrzej |tytuł = Szczególna teoria względności |rok = 1985 |wydawca = Alfa |miejsce = Warszawa |isbn = 83-7001050-4 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Taylor |imię = Edwin F. |nazwisko2 = Wheeler |imię2 = John Archibald |autor link2 = John Archibald Wheeler |tytuł = Fizyka czasoprzestrzeni |wydawca = PWN |data = 1975 |miejsce = Warszawa |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |tytuł = [[Wielka encyklopedia powszechna PWN]] |nazwisko r = Trautman |imię r = Andrzej |autor r link = Andrzej Trautman |rozdział = Względności teoria |tom = 12 |wydanie = I |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1969 |strony = 585–586 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ugarow |imię = W.A. |tytuł = Szczególna teoria względności |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |data = 1985 |isbn = 83-0105816-1 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Wróblewski |imię = Andrzej Kajetan |autor link = Andrzej Kajetan Wróblewski |nazwisko2 = Zakrzewski |imię2 = Janusz A. |autor link2 = Janusz Zakrzewski |tytuł = Wstęp do fizyki |tom = 1 |rok = 1984 |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |odn = tak}}

'''Strony internetowe'''
* {{Cytuj stronę |url = http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_15.html |tytuł = The Feynman Lectures on Physics |nazwisko = Feynman |imię = Richard Phillips |autor link = Richard Feynman |nazwisko2 = Leighton |imię2 = Robert B. |nazwisko3 = Sands |imię3 = Matthew |rok = 2013 |opublikowany = [[California Institute of Technology]] |język = en |data dostępu = 2018-06-25 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Bartłomiej Kamiński, [http://www.deltami.edu.pl/temat/fizyka/grawitacja_i_wszechswiat/teoria_wzglednosci/2020/08/25/masa-relatywistyczna/ Masa relatywistyczna] – artykuł w miesięczniku „[[Delta (miesięcznik)|Delta]]”, nr 9 (556) 2020; deltami.edu.pl [dostęp 2021-02-10].
* Grzegorz Marcin Koczan, [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2211379721002758 New definitions of 3D acceleration and inertial mass not violating F=MA in the Special Relativity] – artykuł w czasopiśmie „[[Results in Physics]]” nr 24 (104121) 2021.
* {{otwarty dostęp}} Don Lincoln, ''[https://www.youtube.com/watch?v=LTJauaefTZM Is relativistic mass real?]'' {{lang|en}}, kanał [[Fermilab]]u na [[YouTube]], 6 września 2017 [dostęp 2023-05-22].

{{Szczególna teoria względności}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wielkości dynamiczne]]
[[Kategoria:Szczególna teoria względności]]