Tekst źródłowy strony Macierz odwrotna

'''Macierz odwrotna''' – [[element odwrotny]] w [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] [[Macierz#Przestrzeń macierzy|macierzy kwadratowych]]. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. [[uogólniona macierz odwrotna]].

== Definicja ==
Niech <math>A</math> będzie [[Macierz#Macierz kwadratowa|macierzą kwadratową]] ustalonego stopnia. Macierz <math>A</math> jest '''odwracalna''', jeśli istnieje taka macierz <math>B,</math> że zachodzi
: <math>AB = BA = I,</math>

gdzie <math>I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]]. Macierz <math>B</math> nazywa się wówczas macierzą '''odwrotną''' do macierzy <math>A</math> i oznacza się przez <math>A^{-1}</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3935749 | tytuł = macierz odwrotna | data dostępu = 2024-06-22 }}</ref>.

Jeżeli taka macierz <math>B</math> nie istnieje, to macierz <math>A</math> nazywamy '''nieodwracalną.'''

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą [[pierścień (matematyka)|pierścień]] (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc [[element odwracalny]] oraz [[element odwrotny|odwrotny]] do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

=== Pełna grupa liniowa ===
{{osobny artykuł|pełna grupa liniowa}}
Dla danego pierścienia <math>R</math> zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia <math>n</math> jest [[grupa (matematyka)|grupą]] ze względu na [[mnożenie macierzy]]. Grupę tę nazywa się '''pełną (ogólną) grupą liniową''' stopnia <math>n</math> nad <math>R</math> i oznacza <math>\operatorname{GL}_n(R).</math>

=== Odwracalność a nieosobliwość ===
Definicja [[wyznacznik]]a macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień <math>R,</math> nad którym zbudowana jest macierz, jest [[pierścień przemienny|przemienny]]. Macierzą '''nieosobliwą''' bądź '''niezdegenerowaną''' nazywa się każdą macierz o [[element odwracalny|odwracalnym]] wyznaczniku (jeżeli <math>R</math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]], to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą '''osobliwą''' albo '''zdegenerowaną''' nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one [[dzielnik zera|dzielnikami zera]] w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności [[macierz dołączona|macierzy dołączonej]] wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień <math>R</math> nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią [[algebra centralna prosta|algebry centralne proste]] <math>R</math> i określany w nich [[wyznacznik Dieudonné]] (o wartościach w [[komutant#Abelianizacja|abelianizacji]] <math>R^*,</math> czyli [[grupa (matematyka)|grupie]] <math>R^*/[R^*, R^*]</math>).

== Własności ==
* Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest [[Inwolucja (matematyka)|inwolucją]]:
*: <math>\left(A^{-1}\right)^{-1} = A.</math>
* [[Mnożenie macierzy|Iloczyn macierzy]] odwracalnych jest macierzą odwracalną,
*: <math>\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math> (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest [[przemienność|przemienne]]!).
* Jeżeli macierz <math>A</math> jest odwracalna, to także <math>A^T</math> jest odwracalna,
*: <math>\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T.</math>

=== Uwagi ===
* [[Macierz jednostkowa]] <math>I</math> jest odwracalna oraz <math>I^{-1} = I</math> (wynika wprost z definicji).
* [[Macierz zerowa]] <math>\Theta</math> jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
* [[Dodawanie macierzy|Suma macierzy]] odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech <math>A</math> będzie odwracalna, wówczas <math>A + (-A) = \Theta.</math>
* Dla nieosobliwej macierzy <math>A</math> zachodzi równość <math>\det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}.</math>

== Przykłady ==
Macierz
: <math>A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \in M_2( \mathbb Z)</math>

ma wyznacznik równy <math>-1,</math> którego odwrotność w pierścieniu <math>\mathbb Z</math> również wynosi <math>-1.</math> Zatem macierz <math>A</math> ma macierz odwrotną w <math>M_{2 }( \mathbb Z).</math>

Rzeczywiście,
: <math>\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix},</math>

a więc
: <math>A^{-1} = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix}.</math>

Macierz
: <math>B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\ \in M_2( \mathbb Z_8)</math> gdzie <math>\mathbb Z_8</math> jest [[Arytmetyka modularna#Definicja|pierścieniem reszt]] modulo 8

ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu <math>\mathbb Z_8</math> jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi <math>3</math>).

Macierz <math>B</math> jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest
: <math>B^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.</math>

== Wyznaczanie ==
=== Metoda dopełnień algebraicznych ===
{{osobny artykuł|dopełnienie algebraiczne}}
Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy <math>A</math> obliczamy następująco:
: <math>A^{-1} = \frac{A^D}{\det A},</math>

gdzie <math>A^D</math> jest [[macierz dołączona|macierzą dołączoną]] do macierzy <math>A</math> (czyli [[macierz transponowana|transponowaną]] macierzą [[dopełnienie algebraiczne|dopełnień algebraicznych]]).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

=== Metoda eliminacji Gaussa-Jordana ===
{{osobny artykuł|metoda eliminacji Gaussa}}
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech <math>X \in M_{i \times j}(K),</math> zaś <math>Y \in M_{i \times k}(K).</math> Przez <math>\left[X|Y\right] \in M_{i \times (j+k)}(K)</math> rozumieć będziemy [[macierz klatkowa|macierz klatkową]], której pierwsze <math>j</math> kolumn jest kolumnami macierzy <math>X,</math> a następne <math>k</math> kolumn jest kolumnami macierzy <math>Y</math> (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do <math>A,</math> należy rozwiązać układ równań <math>AB = I</math> względem macierzy <math>B,</math> która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy <math>\left[A|I\right]</math> domnożyć macierz <math>B</math> (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz <math>\left[AB|IB\right]</math> (lub <math>\left[BA|BI\right]</math>). Ponieważ <math>B = A^{-1}</math> to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako <math>\left[A|I\right] \mapsto \left[I|A^{-1}\right].</math>

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy <math>B,</math> wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz <math>\left[A|I\right]</math> w macierz <math>\left[I|A^{-1}\right].</math> Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy <math>A</math> w podmacierz jednostkową <math>I</math> za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu [[operacje elementarne|operacji elementarnych]] na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś [[algorytm]]em wykorzystującym te operacje jest właśnie '''metoda eliminacji Gaussa-Jordana'''.

=== Przypadki szczególne ===
* Macierz odwrotna do [[macierz diagonalna|macierzy diagonalnej]] powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:
*: <math>\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^{-1} = \operatorname{diag}(\tfrac{1}{\lambda_1}, \dots, \tfrac{1}{\lambda_n}).</math>
* Macierz odwrotna do [[macierz ortogonalna|macierzy ortogonalnej]] <math>Q</math> jest równa jej [[macierz transponowana|transpozycji]] (przestawieniu):
*: <math>Q^{-1} = Q^T.</math>
* Macierz odwrotna do macierzy wymiaru <math>2 \times 2</math> może być szybko wyznaczona według wzoru
*: <math>\begin{bmatrix}
a & b \\ c & d
\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
d & -b \\ -c & a
\end{bmatrix}.</math>

== Zobacz też ==
* [[uogólniona macierz odwrotna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Krzysztof Kwiecień, nagrania dla [[Khan Academy]] na [[YouTube]] [dostęp 2024-06-22]:
** ''[https://www.youtube.com/watch?v=VjDvmSi-93Q Wprowadzenie do macierzy odwrotnych]'', 28 września 2018.
** ''[https://www.youtube.com/watch?v=xgTi4lhF7uE Kiedy macierz ma macierz odwrotną?]'', 29 września 2018.
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=UywHC_cLOVY Macierze cz. IV. Macierz odwrotna]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
* {{MathWorld | adres = MatrixInverse | tytuł = Matrix Inverse }} [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inverse_matrix Inverse matrix]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].

{{Macierz}}
{{Przekształcenia liniowe}}
{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Działania na macierzach]]