Tekst źródłowy strony Logarytm naturalny

[[Plik:Log.svg|mały|Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych]]

'''Logarytm naturalny''', '''logarytm Nepera''', '''logarytm hiperboliczny'''{{fakt|data=2023-08}} – [[logarytm]] o podstawie <math>e</math> ([[Podstawa logarytmu naturalnego|liczba Eulera]]), gdzie <math>e = 2{,}718281828...</math> Oznaczany <math>\log_e,</math> <math>\ln</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3933550 | tytuł = logarytm naturalny | data dostępu = 2023-08-30}}</ref>.

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska [[Szkocja|szkockiego]] matematyka [[John Napier|Johna Nepera]], który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do <math>\frac{1}{e}.</math>
<!-- Definicja logarytmu naturalnego, podana przez [[Felix Klein|Felixa Kleina]], wychodzi właśnie od powyższego wzoru na pochodną [[Logarytm|funkcji logarytmicznej]]. Mianowicie, dla <math>x>0</math> określa się: potrzebne źródło -->

== Logarytm jako pole pod wykresem ==
[[Plik:Log-pole-x 1.svg|mały|Logarytm naturalny ln(x) jako [[całka]] z funkcji 1/x]]

Logarytm naturalny liczby <math>a</math> można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> w przedziale od <math>1</math> do <math>a{:}</math>
: <math>\ln(a) = \int\limits_1^a \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x.</math>

== Logarytm jako granica ==
Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
: <math>\ln a=\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}.</math>

=== Dowód ===
Oznaczmy:
: {{wzór|<math>a^x - 1 = \frac{1}{z}</math>|1}}

Wtedy <math>a^x = \frac{1}{z} + 1.</math> Logarytmując obustronnie przy podstawie <math>e,</math> otrzymujemy:
: <math>x \ln a = \ln\left(1+\frac{1}{z}\right),</math>
: <math>\frac{1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\left(1+\frac{1}{z}\right)}.</math>

Mnożąc obustronnie przez {{LinkWzór|1}}, otrzymujemy:
: <math>\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{z \ln\left(1+\frac{1}{z}\right)} = \frac{\ln a}{\ln\left(1+\frac{1}{z}\right)^z}.</math>

Teraz należy wykazać, że przy <math>x \to 0</math> mianownik dąży do jednego. Otóż:
: <math>z = \frac{1}{a^x - 1}.</math>

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:
: <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\lim\limits_{z \to \infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^z}.</math>

Wyrażenie <math>\left(1+\tfrac{1}{z}\right)^z</math> w mianowniku dąży do <math>e,</math> więc mianownik jest równy <math>\ln e=\log_e e = 1,</math> co było do okazania.

== Pochodna logarytmu naturalnego ==
Ogólnie [[Pochodna funkcji|pochodna]] logarytmu wyrażona jest wzorem:
: <math>\begin{align}
(\log_a x)' &= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right) \\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}\log_a \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{x}{\Delta x} \\
&= \frac{1}{x}\log_a e \\
&= \frac{1}{x\ln a}.
\end{align}</math>

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie <math>a = e</math> otrzymujemy: <math>(\ln x)'=\frac{1}{x}.</math>

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na <math>n</math>-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: <math>(\ln x)^{(n)}= -1^{(n-1)}\cdot\frac{(n-1)!}{x^n}.</math>

== Własności ==
* <math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)</math> dla <math>x,y>0</math>
* <math>\ln(x)<\ln(y)</math> dla <math>0<x<y</math>
* <math>\frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h</math> dla <math>h>-1</math>

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję <math>\ln:(0,\infty)\to\mathbb R</math>
* <math>\ln\left( \frac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)</math> dla <math>x,y>0</math>
* Jeśli ciąg <math>c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne0,</math> to:
:: <math>\frac{\ln(1+c_n)}{c_n}\to1</math>
* <math>\ln e^x = x,</math>
* <math>e^{\ln x}=x</math> dla <math>x > 0,</math>
* <math>\ln x\ = \ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x</math>
* <math>\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C</math>
* <math>\int \frac{f' (x)}{f(x)}dx=\ln |f(x) |+C</math>
* <math>\ln(x)\leqslant x-1</math>

== Rozwinięcie w [[Wzór Taylora|szereg Maclaurina]] ==
: <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots</math> dla <math>-1<x\leqslant 1</math>
: <math>\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n = (x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \ldots</math> dla <math>0<x\leqslant 2</math>

== Przypisy ==
{{wikisłownik|logarytm naturalny}}
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld |adres = NaturalLogarithm |tytuł = Natural Logarithm}} [dostęp 2023-08-30].

{{Logarytmy}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Logarytmy]]