Tekst źródłowy strony Liczby zaprzyjaźnione

'''Liczby zaprzyjaźnione''' – para różnych [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], takich że suma [[dzielnik]]ów właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie{{odn|Webster|Williams|2010|s=55}}{{odn|García|Pedersen|te Riele|2003|s=1}}<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3932381 | tytuł = liczby zaprzyjaźnione | data dostępu = 2021-10-08}}</ref>.

== Para Pitagorasa ==
Pierwszą parą takich liczb jest 220 i 284, ponieważ{{odn|Webster|Williams|2010|s=54–55}}<ref name="epwn" />:
* 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284),
* 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).

Została ona podana już przez [[Pitagoras]]a<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Jeleński |imię = Szczepan |autor link = Szczepan Jeleński |tytuł = Śladami Pitagorasa |wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1995 |strony = 105 |isbn = 83-02-02857-6}}</ref>. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości{{odn|Encyklopedia szkolna. Matematyka|1988|s=123}}.

== Pary mniejsze od miliona ==
Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:
{{Układ wielokolumnowy|szerokość=16em|
* 220 i 284
* 1184 i 1210
* 2620 i 2924
* 5020 i 5564
* 6232 i 6368
* 10744 i 10856
* 12285 i 14595
* 17296 i 18416
* 63020 i 76084
* 66928 i 66992
* 67095 i 71145
* 69615 i 87633
* 79750 i 88730
* 100485 i 124155
* 122265 i 139815
* 122368 i 123152
* 141664 i 153176
* 142310 i 168730
* 171856 i 176336
* 176272 i 180848
* 185368 i 203432
* 196724 i 202444
* 280540 i 365084
* 308620 i 389924
* 319550 i 430402
* 356408 i 399592
* 437456 i 455344
* 469028 i 486178
* 503056 i 514736
* 522405 i 525915
* 600392 i 669688
* 609928 i 686072
* 624184 i 691256
* 635624 i 712216
* 643336 i 652664
* 667964 i 783556
* 726104 i 796696
* 802725 i 863835
* 879712 i 901424
* 898216 i 980984
* 947835 i 1125765
* 998104 i 1043096
}}

== Wzór Tabita ==
Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka [[Tabit ibn Qurra|Tabita ibn Qurra]] (826–901){{odn|Webster|Williams|2010|s=55}}{{odn|Encyklopedia – Matematyka|2010|s=126}} ok. roku 850.

Niech:
* <math>n > 1</math> będzie liczbą naturalną,
* <math>p = 3\cdot 2^{n-1}-1,</math>
* <math>q = 3\cdot 2^n-1,</math>
* <math>r = 9\cdot 2^{2n-1}-1.</math>

Jeśli <math>p,</math> <math>q</math> i <math>r</math> są liczbami pierwszymi, to
: <math>2^npq</math> i <math>2^nr</math>

są liczbami zaprzyjaźnionymi{{odn|Webster|Williams|2010|s=55}}{{odn|Encyklopedia – Matematyka|2010|s=126}}.

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284), (17296, 18416) oraz (9363584, 9437056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla <math>n</math> = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego <math>n <= 191 600</math>{{odn|Webster|Williams|2010|s=56}}.

== Wzór Eulera ==
Euler uogólnił wzór Tabita, podając regułę{{odn|Webster|Williams|2010|s=56}}{{odn|García|Pedersen|te Riele|2003|s=5}}, która umożliwia znajdowanie wszystkich liczb zaprzyjaźnionych w postaci par spełniających poniższy warunek:

Jeżeli liczby naturalne <math>k</math> i <math>n,</math> gdzie <math>k \leqslant n,</math> są takie, że wszystkie trzy liczby
: <math>p=(2^k + 1) 2^{n+1-k} - 1,</math>
: <math>q=(2^k + 1) 2^{n+1} - 1,</math>
: <math>r=(2^k + 1)^2 2^{2n+2-k} - 1</math>

są pierwsze, to wtedy liczby <math>2^{n+1}pq</math> i <math>2^{n+1}r</math> tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Dla <math>k = 1</math> otrzymujemy wzór Tabita{{odn|Webster|Williams|2010|s=56}}.

== Poszukiwania liczb zaprzyjaźnionych ==
Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: [[Marin Mersenne|Mersenne]], [[Pierre de Fermat|Fermat]], a także [[René Descartes|Kartezjusz]]. Tematem tym zajmował się również polski siedemnastowieczny matematyk [[Jan Brożek]]. [[Leonhard Euler|Euler]] podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) „nieprzyjazne”. W 2001 roku znano milion liczb zaprzyjaźnionych{{odn|García|2001|s=1–3}}, w 2007 roku prawie 12 mln{{odn|Webster|Williams|2010|s=57}}. Obecnie znaleziono ponad miliard takich liczb<ref>{{cytuj stronę |url=http://sech.me/ap/ |tytuł=Amicable pairs list |język=en |data dostępu=2016-06-07}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[liczby towarzyskie]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |tytuł=Encyklopedia szkolna. Matematyka |inni=Przewodniczący komitetu redakcyjnego [[Włodzimierz Waliszewski]] |wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne]] |miejsce=Warszawa |rok=1988 |isbn=83-02-02551-8 |odn={{odn/id|Encyklopedia szkolna. Matematyka|1988}}}}
* {{cytuj książkę |tytuł=Encyklopedia matematyka |inni=Redaktor prowadzący Agnieszka Nawrot Sabak |rok=2010 |miejsce=Kraków |wydawca=Wydawnictwo „Greg” |isbn=978-83-7517-015-3 |odn={{odn/id|Encyklopedia – Matematyka|2010}}}}
* {{cytuj pismo |nazwisko=García |imię=Mariano |tytuł=A million new amicable pairs |czasopismo=Journal of Integer Sequences |wolumin=4 |rok=2001 |strony=1–3 |wydawca=AT & T Corp |miejsce=Basking Ridge NJ |odpowiedzialność=Jeffrey O. Shallit |issn=1530-7638 |język=en |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko=García |imię=Mariano |nazwisko2=Pedersen |imię2=Jan Munch |nazwisko3=te Riele |imię3=Herman J.J. |tytuł=Amicable pairs, a survey |url=http://oai.cwi.nl/oai/asset/4143/04143D.pdf |czasopismo=Report PNA, Probability, Networks and Algorithms |wydawca= Centrum voor Wiskunde en Informatica |miejsce=Amsterdam |data=2003-07-31 |rok=2003 |język=en |issn=1386-3711 |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko=Webster |imię=Roger |nazwisko2=Williams |imię2=Gareth |tytuł=Friends in High Places |url=http://ms.appliedprobability.org/data/files/feature%20articles/42-2-1.pdf |czasopismo=Mathematical Spectrum |wolumin=42 |wydanie=2 |wydawca=Applied Probability Trust |miejsce=Londyn |rok=2010 |strony=54–58 |język=en |issn=0025-5653 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę |url=http://www.math.edu.pl/liczby-zaprzyjaznione |tytuł=Liczby zaprzyjaźnione (math.edu.pl) |data dostępu=2016-06-07}}

{{Teoria liczb}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje liczb naturalnych|Z]]
[[Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb]]
[[Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne]]