Tekst źródłowy strony Liczby trójkątne

[[Plik:First six triangular numbers.svg|mały|Sześć pierwszych liczb trójkątnych (bez <math>T_0</math>)]]

'''Liczba trójkątna''' <math>T_n</math> – [[liczba]] obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi ''n'' obiektów.
Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną <math>T_0 = 0,</math> odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
{{OEIS|id=A000217}}.

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]]:
: <math>T_n= 1+2+3+\ldots+n.</math>

Korzystając ze wzoru na [[Ciąg arytmetyczny#Suma skończonego ciągu arytmetycznego|sumę skończonego ciągu arytmetycznego]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3932359 | tytuł = liczba trójkątna | data dostępu = 2021-10-01}}</ref>:
: <math>T_n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2},</math>

gdzie <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> jest [[Symbol Newtona|symbolem Newtona]]:

Liczba <math>T_n</math> jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów [[zbiór|zbioru]] <math>(n+1)</math>-elementowego, zatem <math>n</math>-ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla <math>n+1</math> osób<ref group="uwaga">Zagadnienie przywitań ({{ang.|handshake problem}}): w pomieszczeniu spotyka się <math>N</math> osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (''handshake'', dosł. podań ręki)?</ref>.

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że <math>n</math> jest liczbą trójkątną [[Równoważność|wtedy i tylko wtedy, gdy]] <math>8n+1</math> jest [[Liczby kwadratowe|liczbą kwadratową]]{{odn|Jeleński|1988}}.

== Własności arytmetyczne ==
Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć [[Odejmowanie|różnicę]] i [[Dodawanie|sumę]] dwóch kolejnych liczb trójkątnych:
: różnica: <math>T_{n+1} - T_n = n+1,</math>
: suma: <math>T_{n+1} + T_n = {(n+1)}^2.</math>

== Uogólnienia ==
Liczby trójkątne należą do rodziny [[Liczby figurowych|liczb figurowych]]<ref>{{MathWorld |adres = FigurateNumber |tytuł = Figurate Number |data dostępu = 2017-12-23}}</ref>{{odn|Wilenkin|1972}}.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | imię = Szczepan | nazwisko = Jeleński | autor link = Szczepan Jeleński | tytuł = Śladami Pitagorasa | miejsce = Warszawa | data = 1988 | isbn = 83-02-02857-6 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę | imię = N.J. | nazwisko = Wilenkin |tytuł = Kombinatoryka |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |data = 1972 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld |adres = TriangularNumber |tytuł = Triangular Number |data dostępu = 12 grudnia 2020}}

{{Typy liczb naturalnych}}
{{Ciągi liczbowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje liczb naturalnych|T]]