Tekst źródłowy strony Lematy Borela-Cantellego

'''Lematy Borela-Cantellego'''<ref>Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz [http://poradnia.pwn.pl/lista.php?szukaj=Bernoulliego&kat=18 poradnia językowa PWN] – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [http://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/twierdzenie-b-Bernoulliego-b-ciag-Fibonacciego;5649.html].</ref> – [[lemat]]y dotyczące [[Ciąg (matematyka)|ciągów]] [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeń losowych]], wykorzystywane m.in. w [[Dowód (matematyka)|dowodzie]] mocnej wersji [[Prawo wielkich liczb|prawa wielkich liczb]].

Niech <math>A_1, A_2, A_3,\dots</math> będzie nieskończonym [[Ciąg (matematyka)|ciągiem]] [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeń]] w danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, P).</math>

== Pierwszy lemat Borela-Cantellego ==
Jeśli [[szereg (matematyka)|szereg]] [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństw]] zdarzeń <math>A_1, A_2, A_3,\dots</math> jest [[Granica ciągu|zbieżny]], tj.
: <math>\sum_{k=1}^\infty P(A_k) < +\infty,</math>

wtedy prawdopodobieństwo zajścia [[Nieskończoność|nieskończenie]] wielu spośród zdarzeń <math>A_1, A_2, A_3,\dots</math> wynosi 0, tj.
: <math>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) = 0.</math>

=== Dowód ===
* Niech <math>A:= \bigcap_{n=1}^\infty B_n, \ B_n := \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \ B_{n+1} \subseteq B_n.</math>
* Korzystając z [[Miara (matematyka)#Własności|własności miary]]:
:: <math>P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n).</math>
* Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
:: <math>P(B_n) = P\left(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) \leqslant \sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k) \ \ (\star).</math>
* Niech <math>S := \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k), \ S_{n-1} := \sum\limits_{k=1}^{n-1} P(A_k).</math> Z założenia <math>S < \infty,</math> więc szereg jest zbieżny.
* Zauważmy, że: <math>\sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k) = S - S_{n-1}.</math>
* <math>\left( S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S \right) \Rightarrow \left( S - S_{n-1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right) \Rightarrow \left( \sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right).</math>
* Korzystając z <math>(\star), P(B_n) \geqslant 0</math> oraz [[twierdzenie o trzech ciągach|twierdzenia o trzech ciągach]]:
:: <math>\left( 0 \leqslant P(B_n) \leqslant \sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k) \right) \Rightarrow \left( P(B_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right).</math>
* Kończy to dowód, bo: <math>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)= 0.</math>

== Drugi lemat Borela-Cantellego ==
Jeśli [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A_i</math> są [[Zdarzenia losowe niezależne|niezależne]] i [[szereg (matematyka)|szereg]] ich [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństw]] jest [[Granica ciągu|rozbieżny]], tj.
: <math>\sum_{k=1}^\infty P(A_k) = +\infty,</math>

wtedy prawdopodobieństwo zajścia [[Nieskończoność|nieskończenie]] wielu spośród zdarzeń <math>A_1, A_2, A_3,\dots</math> wynosi 1, tj.
: <math>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) = 1.</math>

=== Dowód ===
* Niech <math>A:= \bigcap_{n=1}^\infty B_n, \ B_n := \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \ B_{n+1} \subseteq B_n.</math>
* Korzystając z [[Miara (matematyka)#Własności|własności miary]]:
:: <math>P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n).</math>
* Zapiszmy <math>B_n</math> w postaci: <math>B_n = \bigcup_{m=n}^\infty \bigcup_{k=n}^m A_k.</math>
* Niech <math>C_{m,n} := \bigcup_{k=n}^m A_k , \ C_{m,n} \subseteq C_{m+1,n}.</math>
* Korzystając ponownie z [[Miara (matematyka)#Własności|własności miary]]:
:: <math>P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P\left(\bigcup_{k=n}^m A_k\right).</math>
* Zauważmy, że <math>\bigcup_{k=n}^m A_k = \Omega - \bigcap_{k=n}^m A_k^',</math> gdzie <math>A_k^' = \Omega - A_k</math>
* <math>P \left(\bigcup_{k=n}^m A_k\right) = 1 - P \left(\bigcap_{k=n}^m A_k^'\right) = 1 - \prod\limits_{k=n}^m P(A_k^') = 1 - \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)).</math>
: Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że <math>\prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0.</math>
* Zauważmy: <math>x \geqslant 0 \Rightarrow \exp[-x] \geqslant 1-x \ (\star)</math>
* <math>0 \leqslant \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \leqslant^{(\star)} \prod\limits_{k=n}^m \exp[-P(A_k)] = \exp\left[-\sum\limits_{k=n}^m P(A_k)\right] \xrightarrow[m \to \infty]{} 0.</math>
* Więc z twierdzenia o trzech ciągach: <math>\prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0.</math>
* I ostatecznie <math>\left( P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^m A_k) = 1 \right)\Rightarrow \left( P(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n) = 1 \right).</math>

== Wniosek ==
* Jeżeli zdarzenia <math>A_1, A_2, A_3, \dots</math> są [[Zdarzenia losowe niezależne|niezależne]] to dla zdarzenia <math>A := \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k</math> zachodzi warunek:
::: <math>P(A) = 0 \ \text{ lub } \ P(A) = 1.</math>

== Przykład ==
Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech <math>A_k</math> oznacza zdarzenie polegające na tym, że <math>k</math>-ty, <math>k+1</math> i <math>k+2</math> rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia <math>A_1, A_2, A_3,\dots, A_n,\dots</math> nie są niezależne, ale zdarzenia <math>A_1, A_4, A_7,\dots, A_{3n+1},\dots</math> są.

Każde zdarzenie <math>A_k</math> ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

== Zobacz też ==
* [[prawo iterowanego logarytmu]]
* [[proces Bernoulliego]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Jakubowski |imię = Jacek |nazwisko2 = Sztencel |imię2 = Rafał |tytuł = Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |wydanie = II |wydawca = SCRIPT |miejsce = Warszawa |rok = 2001 |isbn = 83-904564-5-1}}

[[Kategoria:Lematy probabilistyki|B]]