Tekst źródłowy strony Lemat o π- i λ-układach

'''Lemat o π- i λ-układach''' – [[lemat]] łączący koncepty [[π-układ]]u i [[λ-układ]]u, po raz pierwszy pojawił się w pracach [[Wacław Sierpiński|Wacława Sierpińskiego]]<ref>''Un théorème générale sur les families d’ensemble'', [[Fundamenta Mathematicae]] 12 (1928), s. 206–210.</ref>. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie [[Eugene Dynkin]]<ref>''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'', Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III.</ref>.

== Uwaga ==
Jeśli [[rodzina zbiorów|rodzina]] <math>\mathcal A</math> podzbiorów zbioru <math>\Omega</math> jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru <math>\Omega,</math> to jest ona [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] podzbiorów zbioru <math>\Omega.</math>

=== Dowód ===
# Pokażemy, że <math>\emptyset \in \mathcal A</math>
#* Ponieważ <math>\mathcal A</math> jest λ-układem:
#* <math>\Omega \in \mathcal A</math>
#* oraz <math>\Omega \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus \Omega = \emptyset \in \mathcal A</math>
# Następnie wykażemy, że <math>A \in \mathcal A \Rightarrow \Omega \setminus A \in \mathcal A</math>
#* <math>A \in \mathcal A , \Omega \in \mathcal A</math>
#* więc z własności λ-układu:
#* <math>A \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus A \in \mathcal A</math>
# Pozostaje do pokazania: <math>A_1 , A_2 , \dots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal A</math>
#* Ustalmy dowolnie <math>A_1 , A_2 , \dots \in \mathcal A</math>
#* Wówczas także (λ-układ): <math>\Omega \setminus A_1 , \Omega \setminus A_2 , \dots \in \mathcal A</math>
#* Korzystając z własności π-układu mamy: <math>\bigcap\limits_{i=1}^n (\Omega \setminus A_i) \in \mathcal A , n \in \mathbb N</math>
#* Ale <math>\bigcap\limits_{i=1}^n (\Omega \setminus A_i) = \Omega \setminus \bigcup\limits_{i=1}^n A_i.</math> Wobec tego, również: <math>\Omega \setminus \left( \Omega \setminus \bigcup\limits_{i=1}^n A_i \right) = \bigcup\limits_{i=1}^n A_i \in \mathcal A.</math>
#* Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: <math>B_1 = A_1 , B_2 = A_1 \cup A_2 , B_3 = A_1 \cup A_2 \cup A_3 , \dots</math>
#* Ciąg zbiorów <math>(B_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) <math>\mathcal A.</math> Wobec tego:
::: <math>\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i = \bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i \in \mathcal A</math>

== Lemat ==
Jeśli λ-układ <math>\mathcal L</math> podzbiorów zbioru <math>\Omega</math> zawiera π-układ <math>\mathcal H,</math> to <math>\mathcal L</math> zawiera <math>\sigma(\mathcal H),</math> czyli σ-ciało generowane przez <math>\mathcal H.</math>

== Dowód ==
* Zdefiniujmy: <math>\mathcal L_0 = \bigcap \{\mathcal C \subset 2^\Omega : \mathcal C</math> jest λ-układem oraz <math>\mathcal H \subset \mathcal C\}</math>
* <math>\mathcal H \subset \mathcal L_0</math>
* <math>\mathcal L_0</math> jest λ-układem
* Pokażemy, że <math>\mathcal L_0</math> jest także π-układem:
** Niech <math>\mathcal L_1 := \{A \subset \Omega : \bigwedge\limits_{B \in \mathcal H} (A \cap B) \in \mathcal L_0\}</math>
** <math>\mathcal H \subset \mathcal L_1</math>
** <math>\mathcal L_1</math> jest λ-układem
** Ponieważ <math>\mathcal L_0</math> jest najmniejszym λ-układem zawierającym <math>\mathcal H</math> mamy: <math>\mathcal L_0 \subset \mathcal L_1</math>
** tzn. <math>\bigwedge\limits_{A \in \mathcal L_0} \bigwedge\limits_{B \in \mathcal H} (A \cap B \in \mathcal L_0) \quad(*)</math>
** Niech <math>\mathcal L_2 := \{B \subset \Omega : \bigwedge\limits_{A \in \mathcal L_0} (A \cap B \in \mathcal L_0)\}</math>
** korzystając z <math>(*)</math> otrzymujemy <math>\mathcal H \subset \mathcal L_2</math>
** <math>\mathcal L_2</math> jest λ-układem
** <math>\mathcal L_0 \subset \mathcal L_2</math>
** tzn. <math>\bigwedge\limits_{A \in \mathcal L_0} \bigwedge\limits_{B \in \mathcal L_0} (A \cap B \in \mathcal L_0)</math>
* <math>\mathcal L_0</math> jest więc π-układem
* Korzystając z uwagi wnioskujemy, że <math>\mathcal L_0</math> jest σ-ciałem podzbiorów zbioru <math>\Omega</math> zawierającym π-układ <math>\mathcal H</math>
* Wobec tego <math>\sigma(\mathcal H) \subset \mathcal L_0 \subset \mathcal L \quad \Box</math>

== Zobacz też ==
* [[klasa monotoniczna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Jakubowski |imię=Jacek | autor link = Jacek Jakubowski (matematyk) |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał | autor link2 = Rafał Sztencel |tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |wydanie=II |wydawca=Script |miejsce=Warszawa |rok=2001 |isbn=83-904564-5-1}}

{{Algebra zbiorów}}

[[Kategoria:Twierdzenia teorii miary]]
[[Kategoria:Lematy analizy matematycznej|O]]
[[Kategoria:Lematy teorii mnogości|O]]
[[Kategoria:Algebra zbiorów]]
[[fr:Lemme de classe monotone]]