Tekst źródłowy strony Kula

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[kula (ujednoznacznienie)|inne znaczenia słowa kula]]}}
{{Definicja intuicyjna|'''Kula''' to zbiór [[punkt (geometria)|punktów]] oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (''promień kuli'') od wybranego punktu (''środek kuli'')<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3928781 | tytuł = kula | data dostępu = 2024-05-19 }}</ref>.}}

'''Kula''' – uogólnienie pojęcia [[koło|koła]] na więcej [[Wymiar (matematyka)|wymiarów]], zdefiniowane dla wszystkich [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznych]].

== Definicja formalna ==
Kula w danej przestrzeni metrycznej <math>(X,\rho)</math> – [[zbiór]] elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:
: <math>\overline{K}_{c,r} = \{p: \rho(p,c) \leqslant r\}</math>

dla pewnych <math>c\in X,\ r>0,</math> które nazywamy odpowiednio ''środkiem'' i ''promieniem kuli''.

W wielu źródłach<ref>{{Cytuj książkę |tytuł = Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |data = 2000 |strony=149 |isbn = 83-204-2334-1}}</ref><ref>{{Cytuj książkę |autor = [[Krzysztof Maurin]] |tytuł = Analiza. Cz. I Elementy |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |data = 1976 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] Tom 38|strony=34, 38}}</ref><ref>{{Cytuj książkę |autor = Witold Kołodziej |tytuł = Wybrane rozdziały analizy matematycznej |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |data = 1982 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] Tom 36 |strony=20, 21}}</ref> tak zdefiniowany zbiór nazywany jest '''kulą domkniętą''' dla odróżnienia od zbioru określanego jako '''kula otwarta''' (inaczej kula bez [[Brzeg (matematyka)|brzegu]]) i definiowanego następująco:
: <math>K_{c,r} = \{p: \rho(p,c) < r\}.</math>

== Informacja ogólna ==
[[Plik:Ball with d r and o marked.svg|thumb|Kula w przestrzeni euklidesowej]]
[[Plik:Ball taxi metric.svg|thumb|250px|Kula o środku <math>P(2;1{,}5)</math> i promieniu <math>r=1</math> w [[Przestrzeń metryczna|metryce]] Manhattan na zbiorze <math>\mathbb{R}^2.</math>]]

Intuicyjnie rozumiana kula – w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej]] dla [[Przestrzeń euklidesowa|metryki euklidesowej]] – jest to część przestrzeni, ograniczona [[sfera|sferą]] (sfera jest powierzchnią ([[Brzeg (matematyka)|brzegiem]]) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których [[układ współrzędnych|współrzędne]] <math>(x,y,z)</math> spełniają nierówność:
: <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant r^2,</math>

gdzie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> są współrzędnymi '''środka kuli''', a <math>r</math> oznacza jej promień, natomiast w [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]], dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:
: <math>r(\alpha, \beta) \leqslant r\;{}</math> dla <math>{}\,\alpha \in [-\pi, \pi), \beta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].</math>

W <math>n</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie <math>(s_1, s_2, \dots, s_n)</math> i promieniu <math>r</math> to zbiór punktów <math>x=(x_1, x_2, \dots, x_n),</math> których współrzędne spełniają nierówność:
: <math>(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.</math>

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest [[koło]], zaś w jednowymiarowej – [[odcinek]].

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni <math>\mathbb{R}^2</math> o [[Przestrzeń metryczna|metryce]] Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:
: <math>\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \leqslant r.</math>

Natomiast w przestrzeni liter [[alfabet łaciński|alfabetu łacińskiego]], gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór <math>\{G,H,I\}</math> – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest <math>H.</math>

== Związane pojęcia ==
'''Cięciwa kuli''' to [[odcinek]] o końcach na brzegu kuli.

'''Średnica kuli''' to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie [[zbiór|zbiory]] w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] (zobacz [[średnica#Średnica zbioru|średnica zbioru]]).

'''[[Koło wielkie]]''' kuli to [[koło]] o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

== Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej ==
* [[Objętość (matematyka)|Objętość]] <math>n</math>-wymiarowej kuli ([[hiperkula|hiperkuli]]) o promieniu <math>r</math> dana jest wzorem <math>V_n=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}} {\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\cdot r^n = \begin{cases}
 \displaystyle \frac{\pi^k}{k!}\cdot r^n & \text{dla }n=2k, \\[2ex]
 \displaystyle \frac{2^k \pi^{k-1}}{n!!}\cdot r^n & \text{dla } n=2k-1,
\end{cases}</math>

* „Pole” <math>(n-1)</math>-wymiarowe jej (hiper)powierzchni <math>S_n = \frac n r \, V_n.</math>
* [[Objętość (matematyka)|Objętość]] 3-wymiarowej kuli: <math>V=\frac{4}{3}\pi r^3 \approx 4{,}19\ r^3.</math><ref name=cke>{{Cytuj |url=https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |miejsce = Warszawa |data = 2015 |wydawca = [[Centralna Komisja Egzaminacyjna]] |isbn=978-83-940902-1-0 |s=14}}</ref>
* [[Pole powierzchni]] 3-wymiarowej kuli: <math>S=4\pi r^2 \approx 12{,}6\ r^2.</math><ref name=cke/>

W powyższych wzorach <math>\pi \approx 3{,}14159265</math> jest jedną z najsłynniejszych [[Lista stałych matematycznych|stałych matematycznych]], szerzej opisaną w artykule [[Pi]], zaś <math>\Gamma</math> oznacza [[funkcja Γ|funkcję gamma]]. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla [[Znak liczby|niedodatnich]] liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie <math>n</math>-wymiarowych [[hiperkula|hiperkul]] to [[Funkcja holomorficzna|funkcje holomorficzne]] wymiaru [[Liczby zespolone|zespolonego]] <math>n \in \mathbb{C}</math>. Są one zatem zdefiniowane w każdym [[Wymiar (matematyka)|wymiarze]]<ref name="Recurrence_2022">{{Cytuj |autor = Szymon Łukaszyk|data = 2022|tytuł = Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions|wydawca = Mathematics|url =https://www.mdpi.com/2227-7390/10/13/2212|doi = 10.3390/math10132212|s= 2212|wolumin=10}}</ref><ref name="Omnidimensional_2023">{{Cytuj |autor = Szymon Łukaszyk|data = 2023|tytuł = Omnidimensional Convex Polytopes|wydawca = Symmetry|url =https://www.mdpi.com/2073-8994/15/3/755|doi = 10.3390/sym15030755|s= 755|wolumin=15}}</ref>. 

'''Uwaga:''' Brzegiem <math>n</math>-wymiarowej kuli jest <math>(n-1)</math>-wymiarowa [[sfera]].

== Uogólnienie topologiczne ==
W [[topologia|topologii]] kulę definiujemy jako [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], [[homeomorfizm|homeomorficzną]] z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|kula}}
* [[czasza kuli]] (odcinek kuli)
* [[hiperkula]]
* [[sfera]]
* [[warstwa kulista]]
* [[wycinek kuli]]
* [[ziemia|kula ziemska]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Ball | tytuł = Ball }} [dostęp 2024-02-01].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ball Ball]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Bryły obrotowe}}

[[Kategoria:Geometria sferyczna]]
[[Kategoria:Rozmaitości]]
[[Kategoria:Geometria metryczna]]