Tekst źródłowy strony Kryterium Abela

'''Kryterium Abela''' – warunek wystarczający [[Szereg funkcyjny#Zbieżność jednostajna szeregu|zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego]] postaci
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x).</math>

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska [[Niels Henrik Abel|Nielsa Abela]].

== Kryterium ==
Niech <math>(f_n)_{n=1}^\infty</math> i <math>(g_n)_{n=1}^\infty</math> będą [[ciąg funkcyjny|ciągami funkcji]] skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie <math>A.</math>

Jeśli
* szereg
:: <math>\sum_{n=1}^\infty g_n(x)</math>

jest [[Zbieżność jednostajna|zbieżny jednostajnie]] w zbiorze <math>A;</math>
* dla każdego <math>x</math> ze zbioru <math>A</math> ciąg <math>(f_n(x))_{n=1}^\infty</math> jest [[Funkcja monotoniczna|monotoniczny]];
* istnieje taka liczba <math>M,</math> że dla prawie każdej liczby naturalnej <math>n</math> oraz wszystkich elementów <math>x</math> zbioru <math>A</math> spełniony jest warunek
: <math>|f_n(x)|\leqslant M,</math>

to [[szereg funkcyjny]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x)</math>

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze <math>A.</math>

Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Abela dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy <math>A</math> jest zbiorem jednoelementowym).

=== Kryterium Abela dla szeregów liczbowych ===
Niech <math>(a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty</math> będą ciągami [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Jeżeli szereg liczbowy
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>

jest zbieżny, a ciąg <math>(b_n)_{n=1}^\infty</math> jest monotoniczny i [[Funkcja ograniczona|ograniczony]], to szereg
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math>

jest zbieżny.

== Zobacz też ==
* [[kryteria zbieżności szeregów]]
* [[kryterium Dirichleta]]
* [[kryterium Weierstrassa]]
* [[zbieżność punktowa]]
* [[zbieżność monotoniczna]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = Grigorij M.| autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |wydanie = czwarte |tom = II |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1966 |strony = 370 |isbn =}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak |imię = Julian| autor link = Julian Musielak |nazwisko2=Musielak|imię2=Helena| tytuł = Analiza matematyczna I/1 |wydanie = |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UAM |miejsce = Poznań |rok = 2000 |strony = 184–185}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Szeregi]]
[[Kategoria:Kryteria zbieżności|Abela]]