Tekst źródłowy strony Kryteria zbieżności szeregów

'''Kryteria zbieżności szeregów''' – grupa [[twierdzenie|twierdzeń]] podających warunki (zwykle [[warunek wystarczający|wystarczające]]) zbieżności bądź rozbieżności danego [[szereg (matematyka)|szeregu]] liczbowego.

W niniejszym artykule
: {{Wzór|<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>|A}}

oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[Liczby zespolone|zespolonych]]. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.

== Warunek konieczny ==
Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest [[warunek konieczny]] zbieżności:

Jeżeli szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, to
: <math>\lim_{n\to\infty}a_n = 0</math>{{odn|Kuratowski|1961|s=42}}.

Przez [[prawo kontrapozycji]], jeżeli granica ciągu <math>(a_n)</math> nie istnieje bądź istnieje i jest różna od <math>0,</math> to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg '''nie''' jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.

; Przykłady
* Szereg
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}</math>
: jest rozbieżny, gdyż
:: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq 0.</math>

* W przypadku, gdy
:: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math>
: warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, [[szereg harmoniczny]] jest rozbieżny, tj.
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty,</math>
: mimo że
:: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}= 0</math>{{odn|Kuratowski|1961|s=43}}.
: Szereg
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}</math>
: jest jednak zbieżny (zob. [[problem bazylejski]]), choć w tym przypadku również
:: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}= 0.</math>

== Warunek Cauchy’ego ==
Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia [[Ciąg Cauchy’ego|warunek Cauchy’ego]]; zbieżność szeregu {{LinkWzór|A}} oznacza zbieżność ciągu sum częściowych
: <math>\bigg( \sum_{j=1}^n a_j \bigg)_{n=1}^\infty.</math>

Oznacza to, że szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n\geqslant n_0}\; \forall_{k\in \mathbb N}\; \left\vert \sum_{i=n}^{n+k} a_i \right\vert < \varepsilon</math>{{odn|Kuratowski|1961|s=41}}.

== Zbieżność bezwzględna ==
Szereg {{LinkWzór|A}} nazywany jest '''zbieżnym bezwzględnie''', gdy zbieżny jest szereg
: {{Wzór|<math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|.</math> |│A│}}

; Twierdzenie
: Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=255}}.

; Dowód
: Załóżmy, że szereg {{LinkWzór|│A│}} jest zbieżny. Spełnia on wówczas [[#Warunek Cauchy’ego|warunek Cauchy’ego]], tzn. dla każdej liczby <math>\varepsilon>0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>n_0,</math> że dla <math>n \geqslant n_0</math> oraz dowolnego <math>k</math>
:: <math>\sum_{i=n}^{n+k} |a_i|<\varepsilon.</math>
: Z [[nierówność trójkąta|nierówności trójkąta]] wynika, że
:: <math>\left|\sum_{i=n}^{n+k} a_i\right|\leqslant \sum_{i=n}^{n+k} |a_i|<\varepsilon,</math>
: a zatem szereg {{LinkWzór|A}} także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest '''zbieżny warunkowo'''. [[Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych|Twierdzenie Riemanna]] mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

== Szeregi o wyrazach nieujemnych ==
Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.

Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu {{LinkWzór|A}} są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.
: <math>a_n > 0,</math>

i takie założenie jest niżej poczynione.

=== Kryterium porównawcze ===
{{Osobny artykuł|kryterium porównawcze}}
Niech
: {{wzór|<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>|B}}

będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie <math>k,</math> że dla wszelkich <math>n\geqslant k</math> zachodzi nierówność
: <math>a_n\leqslant b_n.</math>

Wówczas
# jeżeli szereg {{LinkWzór|B}} jest zbieżny, to szereg {{LinkWzór|A}} jest również zbieżny;
# jeżeli szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, to szereg {{LinkWzór|B}} jest również rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=227–228}}.

; Wersja graniczna
Pod założeniem, <math>b_n > 0 \quad (n\in \mathbb N),</math> jeżeli istnieje granica
: <math>K = \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n},</math>
* gdy <math>K < \infty,</math> to ze zbieżności szeregu {{LinkWzór|B}} wynika zbieżność szeregu {{LinkWzór|A}};
* gdy <math>K > 0,</math> to z rozbieżności szeregu {{LinkWzór|B}} wynika rozbieżność szeregu {{LinkWzór|A}}{{odn|Fichtenholz|1966|loc=s. 228 [Poprawne sformułowanie w akapicie „Jeśli natomiast szereg (B) jest rozbieżny...”. We wcześniejszym akapicie "Twierdzenie 2. Jeśli istnieje granica..." jest błąd w druku.]}}.
Jeżeli <math>0<K < \infty,</math> oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne{{odn|Fichtenholz|1966|s=228}}.

; Wersja ułamkowa
Pod założeniem, <math>b_n > 0 \quad (n\in \mathbb N),</math> jeżeli dla dostatecznie dużych <math>n</math> spełniona jest nierówność
: <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \frac{b_{n+1}}{b_n},</math>

ze zbieżności szeregu {{LinkWzór|B}} wynika zbieżność szeregu {{LinkWzór|A}} (a więc z rozbieżności szeregu {{LinkWzór|A}} wynika rozbieżność szeregu {{LinkWzór|B}}){{odn|Fichtenholz|1965|s=228–229}}.

=== Kryterium d’Alemberta ===
{{Osobny artykuł|kryterium d’Alemberta}}
Niech
: <math>D_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}\qquad (n\in \mathbb N).</math>

* Jeżeli dla dostatecznie dużych <math>n</math> oraz pewnego <math>r<1</math> spełniona jest nierówność
:: <math>D_n \leqslant r</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.

* Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych <math>n</math> spełniona jest nierówność
:: <math>D_n > 1</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=234}}.

; Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
: <math>D=\lim_{n\to\infty}D_n,</math>

to
* gdy <math>D<1,</math> szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, oraz
* gdy <math>D>1,</math> szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=234}}.

=== Kryterium Cauchy’ego ===
{{Osobny artykuł|kryterium Cauchy’ego}}
* Jeżeli
:: <math>\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}<1,</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.
* Jeżeli
:: <math>\liminf_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}>1,</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=233}}.

; Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
: <math>C=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},</math>

to
* gdy <math>C<1,</math> szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, oraz
* gdy <math>C>1,</math> szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=233}}.

=== Kryterium Raabego ===
{{Osobny artykuł|kryterium Raabego}}
Niech
: <math>R_n = n\cdot \Big(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \Big)\qquad (n\in \mathbb N).</math>
* Jeżeli dla dostatecznie dużych <math>n</math> oraz pewnego <math>r > 1</math> spełniona jest nierówność
:: <math>R_n \geqslant r</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.

* Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych <math>n</math> spełniona jest nierówność
:: <math>R_n \leqslant 1</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=234–235}}{{odn|Musielak|Musielak|2000|s=61–62}}.

[[Kryterium Raabego]] można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

* Jeżeli

::<math>\liminf_{n\to \infty} R_n > 1,</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.
* Jeżeli dla prawie wszystkich <math>n,</math> <math>R_n \leqslant 1,</math> to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Leja|1971|s=194}}.

; Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
: <math>R=\lim_{n\to\infty} R_n,</math>

to
* szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, gdy <math>R > 1,</math> oraz
* szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, gdy <math>R < 1</math>{{odn|Musielak|Musielak|2000|s=62}}.

=== Kryterium Schlömilcha ===
{{Osobny artykuł|kryterium Schlömilcha}}
Niech
: <math>S_n = n\cdot \ln \frac{a_n}{a_{n+1}}\quad (n\in \mathbb N).</math>
* Jeżeli
:: <math>\liminf_{n\to \infty} S_n >1</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.
* Jeżeli dla dostatecznie dużych <math>n</math> spełniona jest nierówność <math>S_n \leqslant 1,</math> to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Prus-Wiśniowski|2009|s=119}}.

=== Kryterium Kummera (Diniego-Kummera) ===
{{Osobny artykuł|kryterium Kummera}}
Niech <math>(c_n)</math> będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że
: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{c_n} = \infty.</math>

Niech ponadto
: <math>K_n = c_n\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}\qquad (n\in \mathbb N).</math>
* Jeżeli dla dostatecznie dużych <math>n</math> oraz pewnego <math>r>0</math> spełniona jest nierówność
:: <math>K_n \geqslant r</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny.

* Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych <math>n</math> spełniona jest nierówność
:: <math>K_n \leqslant 0</math>
: to szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=239}}.

; Wersja graniczna
[[Kryterium Kummera]] można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg <math>(K_n)</math> jest zbieżny do pewnego <math>K,</math> to
* szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, gdy <math>K > 0,</math> oraz
* szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, gdy <math>K < 0</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=240}}.

=== Kryterium Bertranda ===
{{Osobny artykuł|kryterium Bertranda}}
Niech
: <math>B_n = \ln n\bigg(n\cdot\Big(\frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \Big) -1 \bigg).</math>

Wówczas
* szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, gdy
:: <math>\liminf_{n\to \infty} B_n > 1;</math>
* szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, gdy
:: <math>\limsup_{n\to \infty} B_n < 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=240}}{{odn|Stromberg|2015|s=408}}.

; Wersja graniczna
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg <math>(B_n)</math> jest zbieżny do pewnego <math>B,</math> to
* szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, gdy <math>B > 1,</math> oraz
* szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, gdy <math>B < 1.</math>

W przypadku, gdy <math>B=0</math> kryterium nie rozstrzyga.

=== Kryterium Gaussa ===
{{Osobny artykuł|kryterium Gaussa}}
Jeżeli istnieją takie liczby <math>a,</math> <math>b >0</math> oraz [[Funkcja ograniczona|ciąg ograniczony]] <math>(c_n)</math> o tej własności, że dla dostatecznie dużych <math>n</math> zachodzi związek
: <math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = a+\frac{b}{n}+\frac{c_n}{n^2},</math>

to
* szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, gdy <math>a > 1</math> lub <math>a = 1</math> oraz <math>b > 1;</math>
* szereg {{LinkWzór|A}} jest rozbieżny, gdy <math>a < 1</math> lub <math>a = 1</math> oraz <math>b \leqslant 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=241}}.

=== Kryterium całkowe ===
{{osobny artykuł|kryterium całkowe}}
Niech <math>f\colon [1, \infty ) \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją [[funkcja dodatnia|dodatnią]] i [[Funkcja monotoniczna|malejącą]]. Niech ponadto <math>a_n=f(n)</math> dla każdego <math>n.</math> Wówczas szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy [[całka niewłaściwa|zbieżna]] jest [[całka niewłaściwa]]
: <math>\int\limits_1^\infty f(x)\, \mathrm{d}x</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=243}}.

=== Kryterium Jermakowa ===
{{Osobny artykuł|kryterium Jermakowa}}
Niech <math>f\colon [1; \infty) \to \mathbb{R}</math> będzie nieujemną, [[funkcja monotoniczna|malejącą]] [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]]. Jeżeli dla dostatecznie dużych <math>x,</math> tj. <math>x \geqslant x_0</math> dla pewnego <math>x_0,</math> spełniona jest nierówność
: <math>\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)} \leqslant q < 1,</math>

to szereg
: <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math>

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych <math>x</math> zachodzi nierówność
: <math>\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)} \geqslant 1,</math>

to szereg ten jest rozbieżny{{odn|Fichtenholz|1966|s=246}}.

=== Kryterium Cauchy’ego zagęszczające ===
{{Osobny artykuł|Kryterium Cauchy’ego zagęszczające}}
Jeżeli ciąg wyrazów szeregu {{LinkWzór|A}} jest [[Funkcja monotoniczna|nierosnący]] to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
: {{wzór|<math>\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot a_{2^n}.</math>|C}}

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjnego) szereg {{LinkWzór|C}} można zastąpić szeregiem
: <math>\sum_{n=1}^\infty p^n\cdot a_{p^n}</math>

dla dowolnej niezerowej [[liczby naturalne]]j <math>p</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=250}}.

=== Kryterium Schlömilcha zagęszczające ===
{{Osobny artykuł|Kryterium Schlömilcha zagęszczające}}
Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
: <math>u(1) < u(2) < u_3(3) < \ldots</math>

o tej własności, że
: <math>\frac{\Delta u(n)}{\Delta u(n{-}1)} \ =\ \frac{u(n{+}1)-u(n)}{u(n)-u(n{-}1)} \ <\ N</math>

dla pewnego <math>N > 0</math> oraz wszystkich <math>n.</math>

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu {{LinkWzór|A}} jest nierosnący, to szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
: <math>\sum_{n=0}^\infty {\Delta u(n)}\, a_{u(n)} \ =\ \sum_{n=0}^\infty \Big(u(n{+}1)-u(n)\Big) a_{u(n)}</math>{{odn|Bonar|Khoury|2006|s=44–45}}.

== Szeregi o wyrazach dowolnych ==
=== Kryterium Leibniza ===
{{Osobny artykuł|kryterium Leibniza}}
Jeżeli [[ciąg (matematyka)|ciąg liczbowy]] <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> spełnia następujące warunki:
# <math>a_n \geqslant 0</math> dla wszystkich <math>n;</math>
# <math>\lim_{n \to \infty} a_n=0;</math>
# ciąg <math>a_n</math> jest nierosnący, tj. <math>a_0 \geqslant a_1 \geqslant a_2 \dots,</math>

to szereg
: <math>\sum_{n = 0}^\infty(-1)^n a_n</math>

jest zbieżny.

=== Kryterium Abela ===
{{osobny artykuł|kryterium Abela}}
Niech <math>(a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty</math> będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg {{LinkWzór|A}} jest zbieżny, a ciąg <math>(b_n)_{n=1}^\infty</math> jest monotoniczny i [[Funkcja ograniczona|ograniczony]], to szereg
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math>

jest zbieżny{{odn|Kuratowski|1961|s=44}}.

=== Kryterium Dirichleta ===
{{osobny artykuł|kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych}}
Jeżeli ciąg sum częściowych
: <math>\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^\infty</math>

szeregu {{LinkWzór|A}} jest [[Funkcja ograniczona|ograniczony]], a <math>(b_n)_{n=1}^\infty</math> jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do <math>0,</math> to szereg
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math>

jest zbieżny.

== Szeregi funkcyjne ==
{{osobny artykuł|szereg funkcyjny}}
Niech <math>A</math> będzie dowolnym zbiorem oraz niech
: <math>f_n\colon A\to \mathbb{R}\quad (n\in \mathbb N)</math>

będzie [[ciąg funkcyjny|ciągiem funkcji]]. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\quad (x\in A)</math>

mogą jedynie rozstrzygać o [[zbieżność punktowa|zbieżności punktowej]]; nie mówią jednak nic o możliwej [[zbieżność jednostajna|zbieżności jednostajnej]]. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.

Niżej
: <math>f_n\colon A\to \mathbb{R}\quad (n\in \mathbb N)</math>

oraz
: <math>g_n\colon A\to \mathbb{R}\quad (n\in \mathbb N)</math>

są dowolnymi ciągami funkcji.

=== Kryterium Weierstrassa ===
{{Osobny artykuł|kryterium Weierstrassa}}
Jeżeli dla każdej liczby naturalnej <math>n</math> istnieje taka liczba <math>M_n,</math> że
: <math>|f_n(x)| \leqslant M_n</math>

dla każdego elementu <math>x</math> zbioru <math>A,</math> oraz [[Szereg (matematyka)|szereg liczbowy]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math>

jest zbieżny, to [[szereg funkcyjny]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math>

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze <math>A</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=369}}.

=== Kryterium Abela ===
{{Osobny artykuł|kryterium Abela}}

Jeśli
* szereg
:: <math>\sum_{n=1}^\infty g_n(x)</math>
: jest zbieżny jednostajnie w zbiorze <math>A;</math>
* dla każdego <math>x</math> ze zbioru <math>A</math> ciąg <math>(f_n(x))_{n=1}^\infty</math> jest [[Funkcja monotoniczna|monotoniczny]];
* istnieje taka liczba <math>M,</math> że dla prawie każdej liczby naturalnej <math>n</math> oraz wszystkich elementów <math>x</math> zbioru <math>A</math> spełniony jest warunek
:: <math>|f_n(x)|\leqslant M,</math>

to [[szereg funkcyjny]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x)</math>

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze <math>A</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=370}}.

=== Kryterium Dirichleta ===
{{Osobny artykuł|kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych}}

Jeżeli
* istnieje taka liczba dodatnia <math>M</math> że dla wszystkich liczb naturalnych <math>n</math> oraz wszystkich elementów <math>x</math> zbioru <math>A{:}</math>
:: <math>\left|\sum_{i=1}^n f_i(x)\right|\leqslant M,</math>
* dla każdego <math>x</math> ze zbioru <math>A</math> ciąg <math>(g_n(x))_{n=1}^\infty</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczny]] oraz [[zbieżność jednostajna|zbieżny jednostajnie]] do <math>0,</math>

to [[szereg funkcyjny]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x)</math>

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze <math>A</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=371}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor=D. D. Bonar; Khoury, M. Jr. |tytuł=Real Infinite Series |wydawca=Mathematical Association of America |miejsce=Washington DC |data=2006 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=[[Grigorij Fichtenholz|Grigorij Michajłowicz Fichtenholz]] |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |opis=t. 1 |miejsce=Warszawa |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |data=1965 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=[[Grigorij Fichtenholz|Grigorij Michajłowicz Fichtenholz]] |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |opis=t. 2 |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |data=1966 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Konrad Knopp |tytuł=Theory and Application of Infinite Series |wydawca=Blackie & Son Ltd. |miejsce=London-Glasgow |data=1990}}
* {{cytuj |autor=[[Kazimierz Kuratowski]] |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |data=1961 |odn=tak |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1501.pdf}}
* {{Cytuj |autor=[[Franciszek Leja]] |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |miejsce=Warszawa |data=1971 |wydawca=PWN |wydanie=11 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=[[Julian Musielak]], Helena Musielak |tytuł=Analiza matematyczna I/1 |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UAM |miejsce = Poznań |data = 2000 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Franciszek Prus-Wiśniowski |tytuł=A Refinement of Raabe’s Test |czasopismo=The American Mathematical Monthly |wolumin=115 |numer=3 |data=marzec 2008 |s=249–252 |jstor=27642449}}
* {{Cytuj |autor=Franciszek Prus-Wiśniowski |url=https://www.sav.sk/journals/uploads/0317141314prus.pdf |tytuł=Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests |czasopismo=Tatra Mt. Math. Publ |wolumin=42 |data=2009 |s=119–130 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=B. Ram, V.K. Srinivasan |tytuł=Remarks on Raabe’s test in infinite series |czasopismo=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |wolumin=9 |numer=3 |data=1978 |s=361–363}}
* {{Cytuj |autor=Karl R. Stromberg |tytuł=An Introduction to Classical Real Analysis |miejsce=Providence, Rhode Island |wydawca=AMS Chelsea Publishing |data=2015 |isbn=978-1-4704-2544-9 |odn=tak}}

[[Kategoria:Szeregi]]