Tekst źródłowy strony Kresy dolny i górny

{{spis treści}}
[[Plik:Supremum illustration.png|mały|Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru]]
'''Kres (kraniec) dolny''', '''infimum''' ({{łac.|infimus}} „najniższy”) oraz '''kres (kraniec) górny''', '''supremum''' ({{łac.|supremus}} „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ''ograniczeń dolnych'' oraz najmniejsze z ''ograniczeń górnych'' danego [[zbiór|zbioru]], o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych [[częściowy porządek|zbiorach częściowo uporządkowanych]], najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów [[liczby rzeczywiste|liczbowych]].

== Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych ==
=== Definicje ===
Niech <math>A\subseteq \mathbb R</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym podzbiorem]].

'''Ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math> nazywamy liczbę <math>s\in \mathbb R</math> spełniającą:
: <math>s \geqslant a</math> dla wszystkich elementów <math>a \in A.</math>

Analogicznie '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

'''Kresem górnym''' zbioru <math>A</math> nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę <math>s \in \mathbb R</math> spełniającą:
* <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A;</math>
* jeśli <math>s' \in \mathbb R</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A,</math> to <math>s \leqslant s'.</math>

Analogicznie '''kresem dolnym''' zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Kres zbioru | id =  3927340| data dostępu = 2021-07-21 }}</ref>.

Kres górny zbioru <math>A</math> oznaczamy <math>\sup(A),</math> kres dolny <math>\inf(A).</math>

Zapisy <math>\inf(A) = -\infty</math> oraz <math>\sup(A) = \infty</math> oznaczają, że <math>A</math> jest [[zbiór ograniczony|nieograniczony]] odpowiednio z dołu lub z góry (zob. [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych]]).

=== Własności ===
* Każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb R</math> ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnością zbioru]] liczb rzeczywistych (zob. [[aksjomat ciągłości]]).
* Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
* Przypuśćmy, że <math>A\subseteq \mathbb R</math> jest niepustym zbiorem oraz <math>s \in \mathbb R,</math> wówczas
*: <math>s = \sup(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \leqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon;</math>
*: <math>s = \inf(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \geqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; s + \varepsilon > a.</math>
* Jeżeli <math>A \subseteq \mathbb R</math> oraz oznaczymy <math>-A := \{x \in \mathbb R : -x \in A\},</math> to:
*: <math>\inf(-A) = -\sup(A),</math>
*: <math>\sup(-A) = -\inf(A).</math>

=== Przykłady ===
* Niech <math>A=[0, 3].</math> Wówczas:
:: <math>\inf(A)=0,</math> ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
:: <math>\sup(A)=3,</math> ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

* Niech <math>B=(0, 3).</math> Wówczas:
:: <math>\inf(B)=0,</math> bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
:: <math>\sup(B)=3,</math> bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

* Niech <math>C=\{0, 1, 3\}.</math> Wówczas podobnie jak dla zbioru <math>A,</math> <math>\inf(C)=0</math> oraz <math>\sup(C)=3.</math>
* Niech <math>D=\{\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56, \dots\}.</math> Wówczas:
:: <math>\sup(D)=1,</math> gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

* Niech <math>E=\emptyset.</math> Wówczas:
:: <math>\inf(E)=\infty,\quad \sup(E)= -\infty,</math> &nbsp;bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru ''E''.

== Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych ==
Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

=== Definicje ===
Niech <math>(X,\sqsubseteq)</math> będzie [[częściowy porządek|zbiorem częściowo uporządkowanym]] i niech <math>A\subseteq X.</math> Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element <math>s\in X</math> nazywamy '''ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A,</math> jeśli:
: <math>\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s.</math>

Element <math>s\in X</math> nazywamy '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru <math>A,</math> jeśli:
: <math>\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a.</math>

Element <math>s\in X</math> jest '''kresem górnym''' ('''supremum''') zbioru <math>A,</math> jeśli <math>s</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy|elementem najmniejszym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń górnych'' <math>A,</math> tzn.
: <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A;</math>
: jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A,</math> to <math>s \sqsubseteq s'.</math>

Element <math>s\in X</math> jest '''kresem dolnym''' ('''infimum''') zbioru <math>A,</math> jeśli <math>s</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy|elementem największym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń dolnych'' <math>A,</math> tzn.
: <math>s</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A;</math>
: jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A,</math> to <math>s' \sqsubseteq s.</math>

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór <math>X</math> ma kres górny, to porządek <math>(X,\sqsubseteq)</math> nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnym]].

=== Własności ===
* Każdy element zbioru <math>X</math> jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru <math>X,</math> a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru <math>X</math> (o ile takie istnieją w zbiorze <math>X</math>).
* Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia <math>\inf(A)</math> i <math>\sup(A)</math> odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru <math>A</math> są jednoznaczne.
* Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest [[Porządek liniowy|porządkiem liniowym]], to istnieje zupełny porządek liniowy <math>(Y,\leqslant)</math> taki że <math>X\subseteq Y</math> i obcięcie <math>\leqslant \upharpoonright X</math> zgadza się z <math>\sqsubseteq,</math> oraz <math>X</math> jest gęstym podzbiorem <math>Y.</math> Porządek <math>(Y,\leqslant)</math> jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
* Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest zupełnym [[Porządek liniowy|porządkiem liniowym]] (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór <math>X</math> ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór <math>X</math> ma kres dolny.

=== Przykłady ===
* Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] <math>\mathbb Q</math> z porządkiem naturalnym i zbiór <math>A=\{q\in \mathbb Q : q^2<2\},</math> to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.<br />Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać <math>(-\sqrt 2,\sqrt 2)\cap\mathbb{Q}</math> i ma oba kresy.
* Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2),</math> ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego.
* Niech <math>X=(1,2]\cup(3,4]</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres górny <math>2,</math> podzbiór <math>(3,4]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres dolny <math>2.</math>
* Niech <math>(\mathbb B,+,\cdot,\sim,0,1)</math> będzie [[algebra Boole’a|algebrą Boole’a]] i niech <math>\leqslant</math> będzie porządkiem boole’owskim na <math>\mathbb B</math> (tzn. dla <math>a\leqslant b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a\cdot b=a</math>).
** Kres górny niepustego zbioru <math>A\subseteq \mathbb B</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\sum A</math> i bywa nazywany ''sumą zbioru <math>A</math>''. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski <math>\leqslant</math> jest zupełny) są nazywane [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole'a|zupełnymi algebrami Boole’a]]. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii [[forsing]]u.
** Kres dolny niepustego zbioru <math>A\subseteq \mathbb B</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\prod A</math> i bywa nazywany ''produktem (iloczynem) zbioru <math>A</math>''. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a <math>\mathbb B{:}</math>
**: każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb B</math> ma kres górny (tzn. sumę),
**: każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb B</math> ma kres dolny (tzn. produkt).
** Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole’a|zupełność algebry]]), jeśli <math>\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B,</math> to
**: <math>\sum A=\sim\prod\{\sim a : a\in A\}</math> oraz <math>\prod A=\sim\sum\{\sim a : a\in A\}.</math>

== Zobacz też ==
* [[elementy minimalny i maksymalny]]
* [[elementy najmniejszy i największy]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena | autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |data = 1975 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |strony = 112–122}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Wojciechowska |imię = Agnieszka |tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |data = 1979 |strony = 59–61 |isbn = 83-01-00756-7}}

{{Teoria porządku}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Porządki]]
[[Kategoria:Analiza rzeczywista]]
[[Kategoria:Przykłady funkcji matematycznych]]