Tekst źródłowy strony Koniunkcja (logika)

{{Inne znaczenia|2=[[koniunkcja|inne znaczenia słowa „koniunkcja”]]}}
'''Koniunkcja''' – [[zdanie logiczne|zdanie]] złożone mające postać ''p i q'', gdzie ''p, q'' są zdaniami. W [[rachunek zdań|rachunku zdań]] koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: <math>p\,\land\,q.</math> Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać <math>p_1</math> i... i <math>p_n.</math> Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub [[funkcja zdaniowa|funkcji zdaniowych]], które zdaniom ''p, q '' przyporządkowuje zdanie ''p i q''{{odn|Mostowski|1948|s=8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=163}}. Koniunkcja dwóch zdań ''p'' i ''q'' jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania ''p, q'' są zdaniami prawdziwymi{{odn|Mostowski|1948|s=8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=163}}. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

== Definicja ==
Niech <math>\mathbb{B}</math> będzie dwuelementowym zbiorem [[wartość logiczna|wartości logicznych]]: <math>\mathbb{B} = \{0, 1\}.</math> Koniunkcja <math>\land\,: \mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}</math> jest funkcją dwuargumentową ze zbioru <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B}</math> w zbiór <math>\mathbb{B}</math><ref group=uwaga>Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze [[zdanie logiczne|zdań]] lub [[funkcja zdaniowa|funkcji zdaniowych]] (stąd nazwa: [[funktor zdaniotwórczy]]).</ref>, określoną następująco:
: <math>p \land q = \min (p,q)</math>{{odn|Ross|Wright|1996|s=588}}

lub równoważnie
: <math>p \land q = p \cdot q</math>{{odn|Mostowski|1948|s=8}}{{odn|Ross|Wright|1996|s=588}}.

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem [[Część wspólna|iloczynu zbiorów]] (patrz [[Algebra zbiorów (nauka)|algebra zbiorów]]). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane '''iloczynem logicznym''', a jego zdania składowe nazywane są '''czynnikami''' koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań ''p'' i ''q'' jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki ''p, q'' są zdaniami prawdziwymi{{odn|Mostowski|1948|s=8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=163}}.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ [[Tablica prawdy]] dla koniunkcji{{odn|Rasiowa|1975|s=163}}:
!width=55px height=30px| <math>p</math>
!width=55px| <math>q</math>
!width=80px| <math>p \land q</math>
|-
|0 || 0 || 0
|-
|0 || 1 || 0
|-
|1 || 0 || 0
|-
|1 || 1 || 1
|}

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

== Oznaczenia ==
Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów{{odn|Mostowski|1948|s=13}}{{odn|Rasiowa|1975|s=170}}:
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
!
![[Ernst Schröder|Schröder]]<br />[[Charles Sanders Peirce|Peirce]]
![[Giuseppe Peano|Peano]]<br />[[Bertrand Russell|Russell]]
![[David Hilbert|Hilbert]]
![[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]]
|-
!Koniunkcja
|<math>p \cdot q</math>
|<math>p\,. q</math>
|<math>p\,\&\,q</math>
|<math>Kpq</math>
|}

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik '''AND''' (symbol [[funkcja boolowska|funkcji boolowskiej]]).

== Własności ==
{{Osobny artykuł|prawa rachunku zdań}}
'''Koniunkcja''' jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:
* [[przemienność]]
:: <math>p\,\land\,q \,\Leftrightarrow\, q\, \land\, p</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[łączność (matematyka)|łączność]]
:: <math>p\,\land\,(q\,\land\,r) \,\Leftrightarrow\, (p\,\land\,q)\,\land\,r</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[idempotentność]]
:: <math>p\,\land\,p\,\Leftrightarrow\,p</math>{{odn|Mostowski|1948|s=29}}
* [[rozdzielność]] względem alternatywy
:: <math>p\,\land\,(q\,\lor\,r)\,\Leftrightarrow\,(p\,\land\,q)\,\lor\,(p\,\land\,r)</math>
:: <math>p\,\lor\,(q\,\land\,r)\,\Leftrightarrow\,(p\,\lor\,q)\,\land\,(p\,\lor\,r)</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[prawa De Morgana]]
:: <math>\neg\,(p\,\land\,q) \Leftrightarrow (\neg\,p\,\lor\,\neg\,q)</math>
:: <math>\neg\,(p\,\lor\,q) \Leftrightarrow (\neg\,p\,\land\,\neg\,q)</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=195}}
: [[Negacja]] koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji{{odn|Mostowski|1948|s=27}}.

== Przykłady ==
* Koniunkcja <math>(2+2=4) \wedge (3+1=5)</math> jest fałszywa, gdyż [[wartość logiczna]] zdania drugiego to 0 ([[fałsz]]), a jak wynika z [[tablica prawdy|tablicy prawdy]] koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
* Koniunkcja <math>(2+2=4) \wedge (3+1=4)</math> jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
* „''Krzyś lubi pomarańcze''”; „''Krzyś lubi jabłka''” – Koniunkcja „''Krzyś lubi pomarańcze <big>'''i'''</big> jabłka''” ('''prawda''')
* „''Krzyś '''NIE''' lubi pomarańczy''”; „''Krzyś lubi jabłka''” – Koniunkcja „''Krzyś lubi pomarańcze <big>'''i'''</big> jabłka''” ('''fałsz''')

== Koniunkcja binarna ==
[[Plik:AND gate IEC and IEEE.svg|thumb|250px|Uproszczony schemat bramki logicznej AND.]]
W informatyce operację '''koniunkcji binarnej''' (ang. ''bitwise AND'') stosuje się do par [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:
: {|
| || 14 & 4
|-
| = || 0001110 & 0000100 &nbsp; || (liczby w systemie binarnym)
|-
| = || 0000100 || (efekt operacji na kolejnych cyfrach)
|-
| = || 4 || (wynik w postaci dziesiętnej)
|}

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada [[bramka logiczna]] AND (iloczyn bitowy).

== Koniunkcja a język naturalny ==
Symbol <math>\land</math> odpowiada zasadniczo spójnikowi ''i'' (a także jego synonimom: ''oraz'' i ''tudzież''). Słowo ''i'' może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik ''i'' może sugerować wzajemność: ''Alicja i Bob rozmawiali przez telefon'' nie oznacza dokładnie tego samego, co ''Alicja rozmawiała przez telefon'' i ''Bob rozmawiał przez telefon''{{odn|Strawson|1952|s=80}}.

Słowo ''i'' może także oznaczać następstwo czasowe (''i następnie'') lub związek przyczynowo-skutkowy (''i w wyniku tego''). Zdanie ''Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko'' opisuje inną sytuację, niż ''Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż''{{odn|Kleene|1967|s=64}}. Podobnie różnią się znaczeniem zdania ''Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę'' oraz ''Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty''{{odn|Strawson|1952|s=80}}.

== Zobacz też ==
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Logika|link=Matematyka dla liceum/Logika#Koniunkcja}}{{wikibooks2|książka=Logika dla prawników|rozdział=Koniunkcja|link=Logika dla prawników/Koniunkcja}}{{wikisłownik|AND}}
* [[alternatywa]]
* [[binegacja]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kleene |imię = Stephen C. |autor link = Stephen Cole Kleene |tytuł = Mathematical logic |wydawca = Wiley |miejsce = New York |data = 1967 |oclc = 523472| odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |imię = Andrzej Stanisław| nazwisko = Mostowski|autor link = Andrzej Mostowski |tytuł = Logika matematyczna |url = http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-de14868e-95a7-43a2-8e96-0a88c8960431 |miejsce = Warszawa |data = 1948 |seria = Monografie matematyczne t. 18 |oclc = 250092935|odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena|autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |wydanie = 5 |miejsce = Warszawa |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |data = 1975 |oclc = 749626864 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 30 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ross |imię = Kenneth A. |nazwisko2 = Wright |imię2 = Charles R.B |tytuł = Matematyka dyskretna |inni = E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.) |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1996 |isbn = 83-01-12129-7 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Strawson |imię = Peter F. |autor link = Peter Frederick Strawson |tytuł = Introduction to logical theory |wydawca = Methuen |miejsce = London |data = 1952 |oclc = 373139| odn = tak}}

{{Klasyczny rachunek zdań}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje boolowskie]]
[[Kategoria:Spójniki logiczne]]