Tekst źródłowy strony Iloczyny tensorowe C*-algebr

'''Iloczyny tensorowe C*-algebr''' – dla pary [[C*-algebra|C*-algebr]] <math>A</math> i <math>B,</math> C*-algebry będące [[przestrzeń Banacha|uzupełnieniami]] [[C*-algebra|C*-norm]] na (algebraicznym) [[Iloczyn tensorowy modułów#Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych|iloczynie tensorowym]] <math>A \odot B,</math> uzależnionych od norm w <math>A</math> i <math>B.</math> W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na <math>A \odot B</math> jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]]<ref>B.J. Vowden, [https://academic.oup.com/jlms/article-abstract/s2-7/4/595/852783 ''C*-Norms and tensor products of C*-algebras''], „J. London Math. Soc.” ('''2'''), 7(1974), s. 595–596.</ref>, tj. spełnia warunek
: <math>\|a\otimes b\| = \|a\| \cdot \|b\| \quad (a\in A, b\in B).</math>

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.<ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245371 ''On the direct product of operator algebras'', I], „Tohoku Math. J.”, '''4''' (1952), s. 242–151.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245343 On the direct-product of operator algebras, II]. „Tohoku Math. J.” '''5''' (1953), s. 1–7.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245181 On the direct-product of operator algebras, III]. „Tohoku Math. J.” '''6''' (1954), s. 208–211.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178244952 ''On the direct product of operator algebras'', IV]. „Tohoku Math. J.” '''8''' (1956), s. 281–285.</ref>

== Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr ==
Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą C*-algebrami oraz niech <math>\pi_1 \colon A \to \mathcal{B} (H_1),</math> <math>\pi_2 \colon B \to \mathcal{B} (H_2)</math> będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeniach Hilberta]] <math>H_1</math> i <math>H_2.</math> Wzór
: <math>(\pi_1 \otimes \pi_2)(a \otimes b) = \pi_1(a) \otimes \pi_2(b) \quad (a\in A, b\in B)</math>

definiuje reprezentację <math>\pi_1 \otimes \pi_2</math> [[*-pierścień|*-algebry]] <math>A \odot B</math> na [[iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta|iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta]] <math>H_1 \otimes H_2.</math>

''Minimalnym iloczynem tensorowym'' pary C*-algebr <math>A</math> i <math>B</math> nazywane jest uzupełnienie normy <math>\|{\cdot}\|_\min</math> na <math>A \otimes B</math> danej wzorem
: <math>\Big\|\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\Big\|_\min= \sup_{\pi_1, \pi_2}\Big\|\sum_{k=1}^n \pi_1(a_k)\otimes \pi_2(b_k) \Big\|\quad \;(a_k\in A, b_k\in B, k\leqslant n, n\in \mathbb{N}),</math>

gdzie [[Kresy dolny i górny|supremum]] przebiega po wszystkich reprezentacjach <math>\pi_1,</math> <math>\pi_2,</math> odpowiednio, algebr <math>A</math> i <math>B.</math> Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem <math>A \otimes_\min B.</math>

== Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr ==
''Maksymalnym iloczynem tensorowym'' pary C*-algebr <math>A</math> i <math>B</math> nazywane jest uzupełnienie normy <math>\|{\cdot}\|_\max</math> na <math>A \otimes B</math> danej wzorem
: <math>\Big\|\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\Big\|_\max= \sup_\pi\Big\|\pi\big(\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\big) \Big\|\quad \;(a_k\in A, b_k\in B, k\leqslant n, n\in \mathbb{N}),</math>

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach <math>\pi</math> (na przestrzeni Hilberta) *-algebry <math>A \otimes B.</math> Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem <math>A \otimes_\max B.</math>

== Nuklearne C*-algebry ==
{{Osobny artykuł|C*-algebra nuklearna}}
Nazwy ''minimalny'' i ''maksymalny'' iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli <math>\|{\cdot}\|_*</math> jest jakąkolwiek C*-normą na <math>A \odot B,</math> to
: <math>\|{\cdot}\|_\min \leqslant \|{\cdot}\|_* \leqslant \|{\cdot}\|_\max.</math>

C*-algebra <math>A</math> nazywana jest ''[[C*-algebra nuklearna|nuklearną]]'', gdy dla każdej innej C*-algebry <math>B</math> normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w <math>A \otimes B</math> są równe, tj.
: <math>\|x\|_\min = \|x\|_\max \quad (x\in A\odot B).</math>

W przypadku tensorowania C*-algebry <math>A</math> z nuklearną C*-algebrą <math>B</math> symbolem <math>A \otimes B</math> oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* M. Rørdam, ''Classification of nuclear simple C*-algebras'', w: ''Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras'', Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.

[[Kategoria:C*-algebry]]