Tekst źródłowy strony Iloczyn zewnętrzny (tensory)

'''Iloczyn zewnętrzny''' (nie mylić z [[algebra zewnętrzna|algebrą zewnętrzną]]) jest zdefiniowany następująco: mając dwa wektory kolumnowe ([[Współrzędne krzywoliniowe#Współrzędne kontrawariantne i kowariantne|kontrawariantne]])
: <math>\mathbf{u} = \begin{bmatrix}
 u^1 \\
 u^2 \\
 \vdots \\
 u^m
\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
 v^1 \\
 v^2 \\
 \vdots \\
 v^n
\end{bmatrix}</math>

ich iloczyn zewnętrzny jest macierzą <math>\mathbf{A},</math> o m wierszach i n kolumnach, postaci<ref name=Lerner>{{Cytuj książkę |nazwisko = Lerner |imię = R.G. |tytuł = Encyclopaedia of Physics |wydawca = VHC |rok = 1981 |isbn = 0-89573-752-3 |język =en}}</ref>
: <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \equiv \begin{bmatrix}
 u^1v^1 & u^1v^2 & \dots & u^1v^n \\
 u^2v^1 & u^2v^2 & \dots & u^2v^n \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 u^mv^1 & u^mv^2 & \dots & u^mv^n
\end{bmatrix} = \mathbf{A}</math>

gdzie elementy macierzy <math>\mathbf{A}</math> wyrażają się wzorem <math>A^{ij}=u^iv^j.</math> Dla ortogonalnych układów współrzędnych (dla których wektory kowariantne są równe kontrawariantnym tj. <math>u_i=u^i</math>) można użyć notacji [[mnożenie macierzy|mnożenia macierzowego]]<ref name=Gurtin>{{Cytuj książkę |nazwisko = Lipschutz |imię = S. |tytuł = Linear Algebra |wydawca = McGraw-Hill |rok = 2009 |język=en |isbn = 978-0-07-154352-1}}</ref>
: <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}
 u^1 \\
 u^2 \\
 \vdots \\
 u^m
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
 v^1 & v^2 & \dots & v^n
\end{bmatrix}</math>

gdzie <math>^T</math> w górnym indeksie oznacza [[Macierz transponowana|transpozycję]]. Zwróćmy uwagę, że powyższe mnożenie macierzowe wektora kolumnowego z wierszowym jest możliwe, gdyż liczba kolumn wektora lewego zgadza się z liczbą wierszy wektora prawego (która jest równa 1, a całe działanie daje w wyniku macierz).

== Przykład ==
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych
: <math>\begin{bmatrix}
 2 \\
 3 \\
 4 \\
 5
\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}
 1 \\
 10 \\
 100
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 2 \\
 3 \\
 4 \\
 5
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
 1 \\
 10 \\
 100
\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}
 2 \\
 3 \\
 4 \\
 5
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
 1 &
 10 &
 100
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 2 & 20 & 200 \\
 3 & 30 & 300 \\
 4 & 40 & 400 \\
 5 & 50 & 500
\end{bmatrix}</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Działania na wektorach]]
[[Kategoria:Tensory]]