Tekst źródłowy strony Homomorfizm grup

{{spis treści}}
'''Homomorfizm grup''' – [[funkcja]] odwzorowująca [[grupa (matematyka)|grupę]] w grupę, czyli przekształcenie ''[[homomorfizm|zachowujące strukturę]]'' tych [[algebra ogólna|algebr]]<ref group="uwaga">Z punktu widzenia [[Teoria kategorii|teorii kategorii]] homomorfizmy są elementami [[Klasa (matematyka)|klasy]] [[Kategoria (matematyka)|morfizmów]] [[Kategoria grup|kategorii grup]] <math>\mathbf{Gr},</math> dlatego nazywa się je czasami ''morfizmami'' grup.</ref><ref group="uwaga">Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów [[grupa topologiczna|grup topologicznych]] wymaga się często, aby były dodatkowo [[funkcja ciągła|ciągłe]], czyli zachowywały określoną na nich [[przestrzeń topologiczna|strukturę topologiczną]].</ref>.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w [[automorfizm#Grupa automorfizmów|grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów]] (''automorfizmów''), w [[grupa permutacji|grupę jej bijekcji]] (''grupę symetryczną''), czy ogólniej: w [[grupa permutacji|grupę bijekcji ustalonego zbioru]] – są to odpowiednio [[działanie grupy na zbiorze]] swoich elementów poprzez [[automorfizm]]y bądź [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcje]] oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze<ref group="uwaga">Dla grupy <math>G</math> są to odpowiednio homomorfizmy <math>G \to \mathrm{Aut}(G),</math> <math>G \to \mathrm{Sym}(G)</math> oraz <math>G \to \mathrm{Sym}(X)</math> dla pewnego zbioru <math>X</math> (zob. ''[[#Działania|Działania]]''). Inną tego rodzaju konstrukcją jest ''[[grupa z operatorami]]'' definiowana dla danego zbioru <math>\Omega</math> i grupy <math>G</math> jako homomorfizm <math>\Omega \to \mathrm{End}(G)</math> (zob. ''[[#Niezmienniczość|Niezmienniczość]]'').</ref>. Ważnym wynikiem jest [[twierdzenie Cayleya]] mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną [[podgrupa|podgrupą]] bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako [[działanie grupy na zbiorze|grupy przekształceń]]). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) ''iloczynu prostego'' dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie ''endomorfizmów ortogonalnych''); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy<ref group="uwaga">Mają one postać <math>G \to \mathrm{Aut}(G')</math> dla grup <math>G, G'.</math></ref> pojawiają się m.in. w definicji ''zewnętrznego iloczynu półprostego'' (zob. [[iloczyny grup]]).

== Definicja ==
: ''W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w [[Grupa multiplikatywna|notacji multiplikatywnej]], o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.''
Niech <math>G, G'</math> będą [[grupa (matematyka)|grupami]], w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki<ref group="uwaga">Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w [[grupa przemienna|teorii grup abelowych]] (przemiennych).</ref>. [[Funkcja|Przekształcenie]] <math>\varphi\colon G \to G'</math> nazywa się '''homomorfizmem''' grupy <math>G</math> w grupę <math>G',</math> jeżeli dla każdego <math>a, b \in G</math> zachodzi
: <math>\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b).</math>

Działanie homomorfizmu <math>\varphi</math> na elemencie <math>a,</math> zwyczajowo zapisywane <math>\varphi(a)</math> lub po prostu <math>\varphi a,</math> bywa w niektórych monografiach odwracane: <math>a\varphi;</math> można również spotkać się z oznaczeniem <math>a^\varphi.</math> Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się <math>(ab)\varphi = a\varphi \cdot b\varphi</math> lub <math>ab^\varphi = a^\varphi \cdot b^\varphi,</math> przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w [[grupa addytywna|zapisie addytywnym]], tzn. <math>(a + b)\varphi = a\varphi + b\varphi</math> zamiast <math>\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)</math><ref group="uwaga">Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją [[złożenie funkcji|złożenia funkcji]] odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli <math>(\varphi \circ \psi)(a) = \psi\big(\varphi(a)\big);</math> wtedy <math>a\varphi\psi</math> oznacza <math>a(\varphi \circ \psi) = \big((a)\varphi\big)\psi.</math> W tym artykule <math>\varphi \circ \psi</math> oznacza przyłożenie funkcji <math>\psi,</math> a następnie <math>\varphi,</math> czyli <math>(\varphi \circ \psi)(a) = \varphi\big(\psi(a)\big).</math></ref>.

== Własności ==
=== Homomorfizmy ===
{{zobacz też|homomorfizm|element neutralny|element odwrotny|rząd (teoria grup)|o4=rząd}}
Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech <math>a \in G,</math> wtedy zachodzą następujące własności:
* zachowywanie elementu neutralnego<ref group="uwaga">Własność wynika z równości <math>\varphi(1) = \varphi(1 \cdot 1) = \varphi(1) \cdot \varphi(1)</math> (pierwsza kropka oznacza działanie w <math>G</math>), do obu strony której przyłożono element odwrotny do <math>\varphi(1).</math></ref>
*: <math>\varphi(1) = 1',</math>
* zachowywanie elementu odwrotnego<ref group="uwaga">Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest <math>1' = \varphi(1) = \varphi\left(aa^{-1}\right) = \varphi(a) \cdot \varphi\left(a^{-1}\right),</math> co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do <math>\varphi(a)</math> daje żądaną własność.</ref>
*: <math>\varphi\left(a^{-1}\right) = \varphi(a)^{-1}.</math>

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu<ref group="uwaga">Dowodząc [[indukcja matematyczna|indukcyjnie]]: przypadek <math>n = 1</math> jest [[trywialność (matematyka)|trywialny]]; jeżeli <math>\varphi\left(a^{n-1}\right) = \varphi(a)^{n-1},</math> to <math>\varphi\left(a^n\right) = \varphi\left(a^{n-1} a\right) = \varphi\left(a^{n-1}\right) \cdot \varphi(a) = \varphi(a)^{n-1} \cdot \varphi(a) = \varphi(a)^n.</math></ref><ref group="uwaga">W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że <math>n \in \mathbb Z.</math></ref><ref group="uwaga">W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: <math>\varphi(na) = n\varphi(a)</math> dla <math>n \in \mathbb Z,</math> co w przypadku [[grupa przemienna|grup przemiennych]] umożliwia postrzeganie ich jako [[moduł (matematyka)|<math>\mathbb Z</math>-modułów]].</ref>,
: <math>\varphi\left(a^n\right) = \varphi(a)^n,</math>

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie [[dzielnik|podzielność]]<ref group="uwaga">Jeżeli <math>\mathrm{ord}(a) = n,</math> to <math>n</math> jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą <math>a^n = 1,</math> zatem na mocy powyższej własności <math>\varphi(a)^n = \varphi\left(a^n\right) = \varphi(1) = 1',</math> co daje tylko podzielność <math>\mathrm{ord}\big(\varphi(a)\big)</math> przez <math>n.</math></ref> (zob. ''[[#Przykłady|Przykłady]]'' i [[Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)|twierdzenie Lagrange’a]])
: <math>\mathrm{ord}(\varphi(a)) \big| \mathrm{ord}(a).</math>

=== Inne morfizmy ===
{{zobacz też|endomorfizm|izomorfizm|automorfizm|monomorfizm|epimorfizm}}
'''Endomorfizmem''' nazywa się dowolny homomorfizm <math>\varphi\colon G \to G.</math> Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm <math>\varphi\colon G \to G',</math> dla którego istnieje homomorfizm odwrotny <math>\psi\colon G' \to G,</math> czyli spełniający tożsamość <math>\psi \circ \varphi = \varphi \circ \psi = \imath,</math> gdzie <math>\imath</math> jest [[funkcja tożsamościowa|homomorfizmem tożsamościowym]] odpowiedniej grupy<ref group="uwaga">Innymi słowy dla dowolnego <math>a \in G</math> musi zachodzić <math>\psi\big(\varphi(a)\big) = a</math> oraz dla dowolnego <math>a' \in G'</math> musi zachodzić <math>\varphi\big(\psi(a')\big) = a'.</math></ref>, nazywa się '''izomorfizmem'''. Grupy <math>G, G'</math> dla których istnieje izomorfizm, nazywa się ''izomorficznymi'' i oznacza <math>G \simeq G';</math> relacja izomorficzności grup jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]] w klasie wszystkich grup<ref group="uwaga">Wyróżnia się również tzw. ''<math>G</math>-izomorficzność'' zbiorów zachodzącą, gdy grupa <math>G</math> działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. ''[[działanie grupy na zbiorze#Porównywanie|porównywanie działań grupy na zbiorze]]'').</ref>

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się '''automorfizmami''' – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm <math>\varphi^{-1}</math> odwrotny do izomorfizmu <math>\varphi</math> również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy <math>G</math> tworzą grupę, w której działaniem jest ich [[złożenie funkcji|składanie]] <math>\circ,</math> a elementem neutralnym jest [[funkcja tożsamościowa|izomorfizm tożsamościowy]] <math>\imath.</math>

''Monomorfizmy'' i ''epimorfizmy'' to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną [[własność skracania]]; z kolei ''[[Kategoria (matematyka)|bimorfizm]]'' to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z [[teoria kategorii|teorii kategorii]]. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie [[teoria mnogości|teorii mnogości]] monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio [[funkcja różnowartościowa|iniektywne]] (różnowartościowe) i [[Funkcja „na”|suriektywne]] („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijektywnymi]] (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia ''[[jądro (teoria mnogości)|jądra]]'' i ''[[obraz (matematyka)|obrazu]]'' funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące [[relacja równoważności|relacją równoważności]] musi być [[równość (matematyka)|równością]] (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

=== Jądro i obraz ===
{{zobacz też|jądro (algebra)|o1=jądro|obraz (matematyka)|o2=obraz}}

W [[algebra uniwersalna|algebrze]] '''jądro''' i '''obraz''' homomorfizmu <math>\varphi</math> definiuje się odpowiednio jako zbiory
: <math>\ker \varphi = \big\{a \in G\colon \varphi(a) = 1'\big\} = \varphi^{-1}\big[1'\big]</math>

oraz
: <math>\mathrm{im}\;\varphi = \big\{\varphi(a) \in G'\colon a \in G\big\} = \varphi[G],</math>

gdzie <math>\varphi[\ ]</math> i <math>\varphi^{-1}[\ ]</math> oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu <math>\varphi.</math> Obraz <math>\mathrm{im}\;\varphi</math> jest [[podgrupa|podgrupą]] w <math>G',</math> a jądro <math>\ker \varphi</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]]<ref group="uwaga">Jądro jest w istocie [[podgrupa charakterystyczna|podgrupą charakterystyczną]].</ref> w <math>G;</math> odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. [[#Faktoryzacja|dalej]]).

'''Monomorfizm''' można wówczas zdefiniować jako homomorfizm <math>\varphi,</math> który ma [[grupa trywialna|trywialne]] jądro, <math>\ker \varphi = \{1'\};</math> z kolei '''epimorfizm''' to homomorfizm <math>\varphi,</math> którego obraz jest całą przeciwdziedziną, <math>\operatorname{im}\;\varphi = G'.</math> '''Izomorfizm''' <math>\varphi</math> definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje ''endomorfizmu'' i ''automorfizmu'' pozostają bez zmian (zob. [[#Inne morfizmy|wyżej]]).

=== Faktoryzacja ===
{{zobacz też|grupa ilorazowa|grupa ilorazowa#Twierdzenie o homomorfizmie (faktoryzacji)|o2=twierdzenie o homomorfizmie|twierdzenie o izomorfizmie}}
[[Podgrupa normalna]] <math>N</math> wyznacza jednoznacznie [[Rozbicie zbioru|podział]] <math>G</math> na [[warstwa (teoria grup)|warstwy]], w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej ''grupą ilorazową'' <math>G/N</math> grupy <math>G</math> przez <math>N;</math> [[relacja równoważności|przekształcenie rzutowe]] <math>\pi\colon G \to G/N</math> grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też ''homomorfizmem kanonicznym'' lub ''epimorfizmem kanonicznym'' (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. [[transformacja naturalna]]).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm <math>\psi\colon G/N \to G'</math> spełniający <math>\psi \circ \pi = \varphi;</math> z kolei [[twierdzenie o izomorfizmie]] zapewnia o izomorfizmie między <math>G/N</math> a <math>\mathrm{im}\;\varphi.</math> Grupę <math>G/\ker \varphi</math> nazywa się niekiedy ''koobrazem'' <math>\varphi,</math> z kolei jeżeli <math>\mathrm{im}\;\varphi</math> jest podgrupą normalną w <math>G',</math> to <math>G'/\mathrm{im}\;\varphi</math> nazywa się ''kojądrem'' <math>\varphi.</math>

=== Działania ===
{{zobacz też|działanie określone punktowo|złożenie funkcji|o2=złożenie przekształceń|pierścień endomorfizmów|o3=pierścień endomorfizmów grupy abelowej}}
Niech <math>\mathrm{Map}(G, G')</math> oznacza zbiór wszystkich przekształceń <math>G \to G'.</math> Dla dwóch przekształceń <math>\varphi, \psi \in \mathrm{Map}(G, G')</math> można określić punktowo [[działanie algebraiczne|działanie]] ich dodawania <math>\varphi + \psi</math> wzorem<ref group="uwaga">Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej: <math>a^{\varphi + \psi} = a^\varphi \cdot a^\psi.</math></ref>
: <math>(\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) \cdot \psi(a)</math>

dla wszystkich <math>a \in G,</math> które jest [[łączność (matematyka)|łączne]] (własność odziedziczona z grupy <math>G'</math>). Homomorfizm zerowy <math>\theta \in \mathrm{Hom}(G, G')</math> (zob. ''[[#Przykłady|Przykłady]]'') jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego <math>\varphi \in \mathrm{Hom}(G, G')</math> istnieje element przeciwny <math>-\varphi \in \mathrm{Hom}(G, G')</math> dany wzorem<ref group="uwaga">W notacji potęgowej: <math>a^{-\varphi} = (a^\varphi)^{-1}.</math></ref> <math>(-\varphi)(a) = \varphi(a)^{-1}</math><ref group="uwaga">Tzn. spełnia on <math>\varphi + (-\varphi) = \theta,</math> tj. <math>\big(\varphi + (-\varphi)\big)(a) = \varphi(a) \cdot (-\varphi)(a) = 1',</math> skąd <math>(-\varphi)(a) = \varphi(a)^{-1}</math> dla każdego <math>a \in G.</math></ref>. Innymi słowy <math>\mathrm{Map}(G, G')</math> tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli <math>G'</math> jest przemienna<ref group="uwaga">W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: <math>(\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) + \psi(a),</math> czy <math>(-\varphi)(a) = -\varphi(a)</math> dla <math>a \in G.</math></ref>.

Niech <math>\mathrm{Map}(G) = \mathrm{Map}(G, G)</math> oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy <math>G</math> w siebie, wówczas <math>\mathrm{Sym}(G)</math> oznacza ''[[Grupa permutacji|grupę symetryczną]]'' zawierającą [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcje]] <math>G,</math> czyli [[funkcja odwrotna|przekształcenia odwracalne]] należące do <math>\mathrm{Map}(G).</math> Dodawanie przekształceń <math>G</math> w siebie jest [[rozdzielność|rozdzielne prawostronnie]] względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli <math>\varphi, \psi, \sigma \in \mathrm{Map}(G),</math> to
: <math>(\varphi + \psi) \circ \sigma = \varphi \circ \sigma + \psi \circ \sigma,</math>

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. <math>\sigma \circ (\varphi + \psi) = \sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi.</math> Strukturę określoną na zbiór <math>\mathrm{Map}(G)</math> z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia ([[półgrupa]]) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się [[quasi-pierścień|quasi-pierścieniem]]. Wspomniana półgrupa jest w istocie [[monoid]]em, gdyż składanie ma element neutralny w postaci [[funkcja tożsamościowa|przekształcenia tożsamościowego]] <math>\imath \in \mathrm{Map}(G).</math>

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych <math>G \to G'</math> będącą podzbiorem <math>\mathrm{Map}(G, G')</math> oznacza się symbolem <math>\mathrm{Hom}(G, G');</math> z kolei zbiór <math>\mathrm{Hom}(G, G)</math> endomorfizmów grupy <math>G</math> oznacza się <math>\mathrm{End}(G).</math> Ponieważ dla <math>\varphi, \psi \in \mathrm{End}(G)</math> ich złożenie <math>\varphi \circ \psi \in \mathrm{End}(G),</math> to <math>\mathrm{End}(G)</math> jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) <math>\mathrm{Map}(G);</math> mimo wszystko <math>\varphi + \psi</math> nie musi należeć do <math>\mathrm{End}(G),</math> jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach <math>\varphi, \psi</math> mówi się, że są ''addytywne'' – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element <math>\mathrm{im}\;\varphi</math> jest przemienny z dowolnym elementem <math>\mathrm{im}\;\psi</math><ref group="uwaga">Równanie <math>(\varphi + \psi)(a + b) = (\varphi + \psi)(a) \cdot (\varphi + \psi)(b)</math> jest równoważne <math>\varphi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) \cdot \varphi(b).</math></ref>, co więcej <math>\varphi + \psi = \psi + \varphi</math><ref group="uwaga">Podstawiając <math>a = b</math> w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się <math>(\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) + \psi(a) = \varphi(a) \cdot \psi(a) = \psi(a) \cdot \varphi(a) = \psi(a) + \varphi(a) = (\psi + \varphi)(a)</math> dla każdego <math>a \in G.</math></ref>.

Jeśli <math>\varphi, \psi \in \mathrm{Map}(G),</math> zaś <math>\sigma \in \mathrm{End}(G),</math> to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania<ref group="uwaga">Dla dowolnego <math>a \in G</math> zachodzi <math>\big(\sigma \circ (\varphi + \psi)\big)(a) = \sigma\big((\varphi + \psi)(a)\big) = \sigma\big(\varphi(a) \cdot \psi(a)\big) = \sigma\big(\varphi(a)\big) \cdot \sigma\big(\psi(a)\big) = (\sigma \circ \varphi)(a) \cdot (\sigma \circ \psi)(a) = (\sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi)(a),</math> przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż <math>\sigma \in \mathrm{End}(G).</math></ref>,
: <math>\sigma \circ (\varphi + \psi) = \sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi.</math>

Gdy <math>G</math> jest [[grupa przemienna|grupą abelową]] (przemienną), to z powyższego wynika, że <math>\mathrm{End}(G)</math> ma strukturę [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] nazywanego ''pierścieniem endomorfizmów'' grupy <math>G.</math> Prawdziwe jest też [[twierdzenie odwrotne]]: jeżeli <math>\imath + \imath \in \mathrm{End}(G),</math> to z powyższego wynika, że <math>G</math> jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest [[rozdzielność|rozdzielne]] względem ich [[złożenie funkcji|złożenia]]: jeżeli <math>\alpha \in \mathrm{Hom}(A, B)</math> oraz <math>\beta, \gamma \in \mathrm{Hom}(B, C)</math> i <math>\delta \in \mathrm{Hom}(C, D)</math> są homomorfizmami grup abelowych <math>A, B, C, D,</math> to <math>(\beta + \gamma) \circ \alpha  = \beta \circ \gamma + \gamma \circ \alpha</math> oraz <math>\delta \circ (\beta + \gamma) = \delta \circ \beta + \delta \circ \gamma.</math> Wynika stąd, że kategoria <math>\mathbf{Ab}</math> wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy [[kategoria preaddytywna|kategorię preaddytywną]]<ref group="uwaga">W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się [[kategoria addytywna|kategoriami addytywnymi]].</ref>; istnienie [[Iloczyny grup#Suma prosta|sum prostych]] dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich [[biprodukt]]u, czyni z niej [[kategoria addytywna|kategorię addytywną]]. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone [[jądro (teoria kategorii)|jądro i kojądro]], to wspomniana kategoria grup abelowych jest [[kategoria preabelowa|kategorią preabelową]], a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są [[morfizm normalny|normalne]], to <math>\mathbf{Ab}</math> jest [[kategoria abelowa|kategorią abelową]]{{odn|Semadeni|Wiweger|1978|s=259–260}}; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

=== Niezmienniczość ===
{{zobacz też|element odwracalny|podgrupa normalna|podgrupa charakterystyczna|o3=podgrupy charakterystyczna oraz w pełni niezmiennicza}}
Zbiór [[Element odwracalny|elementów odwracalnych]] (ze względu na ich składanie funkcji) w <math>\mathrm{End}(G)</math> nazywa się ''grupą automorfizmów'' <math>\mathrm{Aut}(G)</math> grupy <math>G</math><ref group="uwaga">Elementem odwrotnym do <math>\varphi\psi \in \mathrm{Aut}(G)</math> jest <math>\psi^{-1} \varphi^{-1}.</math></ref>. Przekształcenie <math>\varphi\colon G \to \mathrm{Aut}(G)</math> grupy <math>G</math> w grupę jej automorfizmów dane wzorem <math>\varphi(a) = \varphi_a,</math> gdzie automorfizm <math>\varphi_a</math> jest ''[[Automorfizm#Automorfizmy wewnętrzne|automorfizmem wewnętrznym]]'', tzn. <math>\varphi_a(g) = aga^{-1}</math> dla dowolnego <math>g \in G,</math> jest homomorfizmem grup, ponieważ<ref group="uwaga">Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji <math>\varphi,</math> druga jest prawdziwa na mocy równości <math>\varphi_{ab}(g) = (ab)g(ab)^{-1} = a \left(bgb^{-1}\right) a^{-1} = \varphi_a\big(\varphi_b(g)\big) = (\varphi_a \circ \varphi_b)(g)</math> dla dowolnego <math>g \in G</math> (dowód drugiej równości, zob. [[grupa (matematyka)|grupa]]).</ref>
: <math>\varphi(ab) = \varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b = \varphi(a) \circ \varphi(b).</math>

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór
: <math>\ker \varphi = \big\{a \in G\colon \varphi(a) = \imath\big\} = \big\{a \in G\colon \varphi_a(g) = aga^{-1} = g \text{ dla } g \in G\big\}</math>

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli [[centralizator i normalizator|centrum]] <math>\mathrm Z(G) = \{a \in G\colon ag = ga \mathrm{\ dla\ } g \in G\}</math> grupy <math>G;</math> obrazem jest z kolei
: <math>\mathrm{im}\; \varphi = \big\{\varphi(a) \in G'\colon a \in G\big\} = \big\{\varphi_a \in G'\colon \varphi_a(g) = aga^{-1} \text{ dla } a, g \in G\big\},</math>

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych <math>\mathrm{Inn}(G);</math> automorfizmy te tworzą podgrupę w <math>\mathrm{Aut}(G),</math> która jest [[podgrupa normalna|normalna]] – [[grupa ilorazowa|grupę ilorazową]] <math>\mathrm{Out}(G) = \mathrm{Aut}(G) / \mathrm{Inn}(G)</math> nazywa się grupą ''[[automorfizm zewnętrzny|automorfizmów zewnętrznych]]'' pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę <math>H</math> grupy <math>G</math> nazywa się ''w pełni niezmienniczą'', jeżeli <math>\varphi(H)</math> jest podgrupą w <math>H</math> dla dowolnego <math>\varphi \in \mathrm{End}(G);</math> jeżeli <math>H</math> spełnia ten sam warunek dla dowolnego <math>\varphi \in \mathrm{Aut}(G),</math> to nazywa się ją ''charakterystyczną''<ref group="uwaga">W istocie jeżeli <math>H</math> jest charakterystyczna w <math>G,</math> to <math>\varphi(H)</math> musi być równa <math>H,</math> gdyż <math>\varphi(H),</math> jak i <math>\varphi^{-1}(H)</math> muszą być podgrupami <math>H,</math> przy czym drugi warunek oznacza, że <math>H</math> jest podgrupą <math>\varphi(H).</math></ref>, jeśli dla <math>H</math> zachodzi <math>\varphi \in \mathrm{Inn}(G),</math> to jest ona ''normalna''<ref group="uwaga">Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być <math>\varphi_a(H) = H</math> dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego <math>\varphi_a</math> wyznaczanego przez <math>a \in G.</math></ref>. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia [[grupa z operatorami|grupy z operatorami]] (uogólnia ono również pojęcie [[moduł (matematyka)|modułu]]).

== Przykłady ==
Homomorfizm <math>\theta\colon G \to G'</math> dany wzorem <math>\theta(a) = 1'</math> dla dowolnego <math>a \in G</math> nazywa się ''homomorfizmem trywialnym'' lub ''zerowym'', gdyż jego obrazem jest [[podgrupa|podgrupa trywialna]] w <math>G'.</math> Odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy <math>G</math> jest [[grupa trywialna|grupą trywialną]]. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, gdyż homomorfizmy zachowują potęgę elementu): dowolny element <math>a \ne 1</math> rzędu większego niż <math>1</math> jest przekształcany przez <math>\theta</math> na element <math>1'</math> rzędu <math>1.</math>

Homomorfizm <math>\imath\colon G \to G</math> zdefiniowany jako <math>\imath(a) = a</math> dla każdego <math>a \in G</math> jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy <math>G.</math> Jest on nazywany ''identycznościowym'' lub ''tożsamościowym'' („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on [[element neutralny|elementem neutralnym]] grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy ''automorfizmem trywialnym''). W każdej grupie <math>G</math> rzędu większego niż <math>2</math> istnieje różny od <math>\imath</math> automorfizm: jeśli <math>G</math> jest przemienna (abelowa), to jest nim <math>\jmath\colon a \mapsto a^{-1}</math> dla <math>a \in G</math><ref group="uwaga">Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu <math>1,</math> czyli trywialnej, jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu <math>2</math> oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie.</ref>, w grupie nieprzemiennej można wybrać element <math>a \in \mathrm Z(G)</math> należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny <math>\varphi_a</math> jest nietrywialny.

Niech <math>\mathbb R^\times</math> będzie grupą różnych od zera [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z działaniem grupowym [[mnożenie|mnożenia]], [[liczba odwrotna|odwracaniem liczb]] i [[1 (liczba)|jedynką]] jako elementem neutralnym. Odwzorowanie [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] <math>|\ |\colon \mathbb R^\times \to \mathbb R^\times</math> przypisujące <math>r \mapsto |r|</math> jest endomorfizmem, którego obraz <math>\mathbb R_+</math> jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie <math>x \mapsto x^2</math> również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa <math>\{-1, 1\}</math> (izomorficzna z <math>\mathbb Z_2 = \{0, 1\}</math> z działaniem [[arytmetyka modularna|dodawania modulo]] <math>2,</math> braniem [[liczba przeciwna|liczby przeciwnej]] oraz [[0|zerem]] jako elementem neutralnym).

[[Funkcja wykładnicza]] <math>\exp\colon \mathbb R^+ \to \mathbb R^\times</math> jest homomorfizmem [[grupa addytywna|grup addytywnej]] i [[grupa multiplikatywna|multiplikatywnej]] [[ciało (matematyka)|ciała]] liczb rzeczywistych, <math>\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b),</math> którego jądrem jest zbiór <math>\{1\},</math> a obrazem jest zbiór <math>\mathbb R_+</math> dodatnich liczb rzeczywistych (<math>\exp</math> jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm <math>\exp\colon R^+ \to R^\times_+</math> w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja <math>f\colon \mathbb R^+ \to \mathrm S^1</math> dana wzorem <math>t \mapsto e^{2\pi it}</math> jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]] na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] z mnożeniem (zob. [[grupa okręgu]])<ref group="uwaga">W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]], np. funkcja <math>f</math> jest rozwiązaniem równania <math>f' = 2\pi i f.</math> Zależności między tymi własnościami bada się w [[topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]] rozważając tzw. [[grupa Liego|grupy Liego]] (grup z działaniami [[funkcja ciągła|ciągłymi]] na [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniach topologicznych]]). W tym kontekście powyższe dwie grupy są [[grupa topologiczna|grupami topologicznymi]], homomorfizm <math>f</math> jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). Badanie homomorfizmów grup topologicznych, jak się okazuje, ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.</ref>, którego jądrem są [[liczby całkowite]] (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy [[grupa przemienna|grupy przemiennej]] w [[grupa multiplikatywna|grupę multiplikatywną]] ciała [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] nazywa się [[reprezentacja grupy|charakterami grupy]].

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z [[grupa permutacji|grupą permutacji]] zbioru trójelementowego, <math>\mathrm{Aut}(V_4) \simeq S_3.</math> Grupa <math>V_4</math> jest jedyną grupą <math>G</math> rzędu większego niż <math>3,</math> dla której <math>\mathrm{Aut}(G)</math> składa się ze wszystkich bijekcji <math>\varphi_1\colon G \to G</math> zachowujących jedynkę grupy<ref group="uwaga">Jeżeli <math>G</math> ma rząd większy niż <math>4,</math> zaś <math>a, b, ab, c</math> są różnymi jej elementami <math>G^* = G \smallsetminus \{1\},</math> to istnieje bijekcja zbioru <math>G^*,</math> dla której <math>a \mapsto a,</math> <math>b \mapsto b,</math> <math>ab \mapsto c;</math> nie może być ona zawężeniem do <math>G^*</math> żadnego automorfizmu <math>G.</math> Jeżeli <math>G \not\simeq V_4</math> jest rzędu <math>4,</math> to <math>G \simeq \mathbb Z_4</math> jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.</ref>. Pierścień <math>\mathrm{End}(V_4)</math> [[grupa czwórkowa Kleina|grupy czwórkowej Kleina]] jest izomorficzny z pierścieniem <math>\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb Z_2)</math> [[macierz]]y typu <math>2 \times 2</math> nad <math>\mathbb Z_2 \simeq \mathbb Z/2\mathbb Z.</math>

== Zobacz też ==
* [[homomorfizm pierścieni]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | imię = Zbigniew | nazwisko = Semadeni |autor link = Zbigniew Semadeni | imię2 = Antoni | nazwisko2 = Wiweger | autor link2 = Antoni Wiweger | tytuł = Wstęp do teorii kategorii i funktorów | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1978 |miejsce = Warszawa | odn = tak }}

{{Homomorfizmy}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Morfizmy]]
[[Kategoria:Teoria grup]]

[[ru:Глоссарий теории групп#Г]]