Tekst źródłowy strony Hipoteza continuum

'''Hipoteza continuum''' ('''CH''', [[język angielski|ang.]] ''continuum hypothesis'') – [[hipoteza]] [[teoria mnogości|teorii mnogości]] dotycząca [[moc zbioru|mocy]] [[zbiór|zbiorów]] [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] i [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Mówi ona, że nie ma pomiędzy nimi żadnej wielkości pośredniej. Innymi słowy, [[continuum (teoria mnogości)|continuum]] to najmniejsza liczba [[Zbiór nieprzeliczalny|nieprzeliczalna]], co można zapisać symbolicznie: 
{{Wzór|<math>\aleph_1 = \mathfrak c.</math>}}

Hipotezę tę sformułował w XIX wieku [[Georg Cantor]]; znalazła się ona wśród [[Problemy Hilberta|problemów Hilberta]], jako pierwsza na liście. W XX wieku udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny dla standardowej teorii mnogości, tj. niezależny od [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów Zermela-Fraenkla]]{{odn|Guzicki|1993|s=66}}.

== Historia problemu ==
Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez [[Georg Cantor|Georga Cantora]]. Posługując się [[metoda przekątniowa|rozumowaniem przekątniowym]], Cantor wykazał, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza niż moc zbioru liczb rzeczywistych, czyli:
{{Wzór|<math>\aleph_0 < \mathfrak c.</math>}}

W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być dalece nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN |id = 3887640 |tytuł = hipoteza continuum |data dostępu = 2021-10-02}}</ref>. Nie potrafił jej jednak udowodnić, co sprawiło, że zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie [[teoria mnogości|teorii mnogości]].

W 1940 roku ukazała się praca [[Kurt Gödel|Kurta Gödla]], w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]] z [[aksjomat]]ami ogólnie przyjętej [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|teorii mnogości Zermela-Fraenkla]]. W 1963 roku [[Paul Cohen]] udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego [[negacja|zaprzeczenie]].

== Uogólnienie ==
'''Uogólniona hipoteza continuum''' ('''GCH''', [[język angielski|ang.]] ''generalized continuum hypothesis'') to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego <math>A</math> nie istnieje zbiór <math>B,</math> którego moc byłaby większa od mocy zbioru <math>A,</math> ale mniejsza od mocy [[zbiór potęgowy|zbioru potęgowego]] <math>A.</math> Uogólniona hipoteza continuum pociąga [[aksjomat wyboru]]. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie [[Aleksandr Jesienin-Wolpin|Jesienina-Wolpina]]:

Przy założeniu '''GCH''' dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej <math>\lambda</math> istnieje [[przestrzeń zwarta|zwarta]] [[przestrzeń Hausdorffa]] <math>K</math> [[Baza przestrzeni topologicznej|ciężaru]] <math>\lambda</math> o tej własności, że każda [[przestrzeń Banacha]] ciężaru <math>\lambda</math> jest [[izometria|izometrycznie]] izomorficzna z [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni <math>C(K),</math> tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na <math>K</math> z [[przestrzeń unormowana|normą supremum]]<ref>A.C. Yesenin-Volpin, ''On the existence of a universal bicompact of arbitrary weight'', „Dokl. Akad. Nauk USSR” '''68''' (1949), s. 649–652.</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Guzicki |imię = Wojciech |tytuł = Teoria mnogości ''[w:]'' Leksykon matematyczny |wydawca = [[Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”]] |miejsce = Warszawa |rok = 1993 |isbn = 83-214-0783-8 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
{{wikisłownik|hipoteza continuum}}
* {{MathWorld | adres = ContinuumHypothesis | tytuł = Continuum Hypothesis }} [dostęp 2023-06-18].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Continuum_hypothesis Continuum hypothesis]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
* {{SEP |url = continuum-hypothesis/ |autor = Peter Koellner |tytuł = Continuum Hypothesis |data = 2013-05-22 |data dostępu = 2017-12-30 |tytuł polski = (Hipoteza continuum)}}
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/continuum-hypothesis/v-1 Continuum hypothesis]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].

{{Liczby kardynalne}}
{{Aksjomaty teorii mnogości}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby kardynalne]]
[[Kategoria:Aksjomaty teorii mnogości]]
[[Kategoria:Hipotezy matematyczne|C]]
[[Kategoria:Problemy Hilberta]]