Tekst źródłowy strony Grupa trywialna

{{inne znaczenia|grup o najprostszej możliwej strukturze|[[Podgrupa#Przykłady|podgrupa trywialna]]}}
{{Dopracować|źródła = 2021-08}}

'''Grupa trywialna'''<ref group="uwaga">Zob. [[trywialność (matematyka)|trywialność]] w matematyce.</ref> – [[grupa (matematyka)|grupa]] składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. [[rząd (teoria grup)|rzędu]]) możliwymi grupami<ref group="uwaga">[[Grupa (matematyka)|Grupa]] nie może być określona na [[zbiór pusty|zbiorze pustym]], gdyż jeden z jej [[aksjomat]]ów wymaga wyróżnienia elementu pełniącego rolę [[element neutralny|elementu neutralnego]].</ref>.

== Przykłady ==
Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:
* [[grupa addytywna]] <math>\mathbb Z_1 = \{0\}</math> z działaniem dodawania modulo <math>1,</math>
* [[grupa multiplikatywna]] <math>\mathbb Z_2^\times = \{1\}</math> z działaniem mnożenia modulo <math>2</math> (zob. [[arytmetyka modularna]]<ref group="uwaga">W obu przypadkach można użyć działań o dowolnym module, a nawet standardowych [[Arytmetyka elementarna|działań arytmetycznych]].</ref>),
* [[pierwiastek z jedynki|grupa pierwiastków z jedynki]] <math>\mathbb C_1 = \{1\}</math> nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]<ref group="uwaga">Ogólniej: dowolnym [[ciało (matematyka)|ciałem]].</ref>,
* [[grupa permutacji]] <math>S_1 = \{\mathrm{id}\}</math> [[zbiór jednoelementowy|zbioru jednoelementowego]]<ref group="uwaga">Grupa permutacji <math>S_1</math> (nazywana też grupą bijekcji lub grupą symetryczną) jest tożsama z [[grupa alternująca|grupą alternującą]] <math>A_1,</math>
* [[grupa diedralna|grupą diedralną]] <math>D_0</math> (przy założeniu konstrukcji na wychodzącej od grup przekształceń).</ref>;

wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są [[izomorfizm|izomorficzne]].

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym [[Zbiór jednoelementowy|zbiorze jednoelementowym]] <math>E = \{e\}</math> można wprowadzić jedno i tylko jedno [[działanie dwuargumentowe]] <math>\heartsuit,</math> które uczyniłoby z niego grupę<ref group="uwaga">Zob. [[grupa wolna]].</ref>. Wówczas wzór
: <math>e\ \heartsuit\ e = e</math>

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż <math>e</math> pełni rolę [[element neutralny|elementu neutralnego]] oraz [[element odwrotny|odwrotnego]] względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. <math>E,</math> czy <math>\mathbf 1</math> (w notacji multiplikatywnej) albo <math>\mathbf 0</math> (w notacji addytywnej).

== Własności ==
Każda grupa trywialna jest [[grupa cykliczna|cykliczna]], gdyż jest [[Zbiór generatorów grupy|generowana]] przez [[element neutralny]] (przyjmuje się również, że generuje ją także [[zbiór pusty]]). Jako taka jest ona zatem: [[grupa przemienna|przemienna]] (abelowa), a ponadto [[grupa doskonała|doskonała]], [[grupa pełna|pełna]], [[grupa nilpotentna|nilpotentna]] oraz [[grupa rozwiązalna|rozwiązalna]]; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie [[grupa torsyjna|torsyjna]] i [[grupa torsyjna|beztorsyjna]], przyjmuje się również, że ma [[ranga grupy abelowej|zerową rangę]].

W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną [[podgrupa|podgrupę]], która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej [[element neutralny|elementu neutralnego]] i nazywa ''podgrupą trywialną'' tej grupy.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = TrivialGroup | tytuł = Trivial Group }} [dostęp 2024-09-05].

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Przykłady grup skończonych|T]]