Tekst źródłowy strony Funktor (teoria kategorii)

W [[Teoria kategorii|teorii kategorii]] '''funktor''' to [[Funkcja|odwzorowanie]] jednej [[Kategoria (matematyka)|kategorii]] do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe<ref group="uwaga">O historii wprowadzenia terminu ''funktor'' w teorii kategorii pisze [[Zbigniew Semadeni]] w artykule ''Creating new concepts in mathematics: freedom and limitations. The case of Category Theory'', Zagadnienia Filozoficzne w Nauce 69 (2020), s. 49–50.</ref>. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki [[Samuel Eilenberg]] i [[Saunders Mac Lane]] w 1945<ref name="EML">Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: s. 231–294; http://web.archive.org/web/20140907123850/http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf</ref>.

== Definicje ==
'''Funktor''' (czyli '''funktor kowariantny''') <math>F</math> z kategorii <math>\mathfrak{K}_1</math> do <math>\mathfrak{K}_2</math> to dwa przyporządkowania:
* jedno z nich, ''przyporządkowanie obiektowe'' z <math>\mathrm{Ob}\mathfrak{K}_1</math> do <math>\mathrm{Ob}\mathfrak{K}_2,</math> które każdemu obiektowi <math>X</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_1</math> przyporządkowuje obiekt <math>F(X)</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_2,</math>
* drugie zaś, ''przyporządkowanie morfizmowe'' z <math>\mathrm{Morf}\mathfrak{K}_1</math> do <math>\mathrm{Morf}\mathfrak{K}_2,</math> które każdemu morfizmowi <math>f \colon X \to Y</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_1</math> przyporządkowuje morfizm <math>F(f)\colon F(X) \to F(Y)</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_2.</math>

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:
* dla każdego obiektu <math>X</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_1</math> zachodzi <math>F(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{F(X)},</math>
* dla każdych dwóch morfizmów <math>f\colon X \to Y,</math> <math>g\colon Y \to Z</math> kategorii <math>\mathfrak{K}_1</math> zachodzi <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).</math>

Niech <math>\mathfrak{K}^\mathrm{op}</math> oznacza kategorię dualną do <math>\mathfrak{K}.</math> Przez '''funktor kontrawariantny''' z <math>\mathfrak{K}_1</math> do <math>\mathfrak{K}_2</math> rozumiemy funktor kowariantny z <math>\mathfrak{K}_1^\mathrm{op}</math> do <math>\mathfrak{K}_2.</math> Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania<ref group="uwaga">Inne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w [[Teoria kategorii#Funktory]] oraz [[Funktory sprzężone#Funktory sprzężone kontrawariantne]].</ref>.

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane '''multifunktorami''', określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii <math>\mathfrak{K}_1\times \ldots \times \mathfrak{K}_n.</math> W przypadku ''n''=2 używa się nazwy '''bifunktor'''. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się ''funktorami równoległymi''.

Jeśli <math>\Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> i <math>\Psi \colon \mathfrak{B} \to \mathfrak{C}</math> są dwoma funktorami, to ich '''złożenie''' <math>\Psi\circ \Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{C}</math> powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych <math>\Psi\circ \Phi (A) = \Psi \left( \Phi(A)\right)</math> dla <math>A \in \mathrm{Ob}\mathfrak{A}</math> i przyporządkowań morfizmowych <math>\Psi\circ \Phi (\alpha) = \Psi \left(\Phi(\alpha)\right)</math> dla <math>\alpha \colon A_1 \to A_2</math> w <math>\mathrm{Morf}\mathfrak{A}.</math>

Funktor <math>\Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> nazywa się '''izomorfizmem''' kategorii <math>\mathfrak{A}</math> i <math>\mathfrak{B},</math> gdy istnieje funktor <math>\Psi \colon \mathfrak{B} \to \mathfrak{A}</math> taki, że oba złożenia <math>\Psi\circ \Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A}</math> i <math>\Phi\circ \Psi \colon \mathfrak{B} \to \mathfrak{B}</math> są odpowiednimi '''funktorami tożsamościowymi''', tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor <math>\Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania <math>A \mapsto \Phi(A),</math> <math>\alpha \mapsto \Phi(\alpha)</math> są bijekcjami{{odn|Mac Lane|1971|loc=s.14}}.

== Przykłady funktorów ==
* Niech <math>G_X</math> oznacza [[Grupa wolna|grupę wolną]] generowaną przez zbiór <math>X</math> jej wolnych generatorów, <math>X \subset G.</math> Wówczas każda funkcja <math>f\colon X \to Y</math> ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu <math>F(f)\colon G_X \to G_Y.</math> W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii '''Set''' (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii '''Grp''' (grup i homomorfizmów)<ref group="uwaga">Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części ''grupy wolne'' w [[Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji]].</ref>.
* '''Funktory zapominania''' (ang. ''forgetful functors'') to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie <math>G</math> jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi <math>f \colon G \to H</math> tę samą funkcję z <math>G</math> do <math>H,</math> otrzymujemy funktor z kategorii grup '''Grp''' w kategorię zbiorów '''Set'''. Podobnie określone są funktory zapominania z '''Vect'''<sub><math>\mathbb{R}</math></sub> do '''Ab''', bo każda [[przestrzeń liniowa]] jest też [[Grupa przemienna|grupą abelową]] z działaniem +, a każdy [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]] jest zarazem [[Homomorfizm grup|homomorfizmem grup]] („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z '''Metr''' do kategorii '''Top''' przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
* Funktor <math>-\!\!\!\times\!\!B</math> z '''Set''' do '''Set''' mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór <math>B</math> przyporządkowuje każdemu zbiorowi <math>X</math> zbiór <math>\Phi(X) = X \times B,</math> a każdej funkcji <math>\alpha \colon X \to Y</math> przyporządkowuje funkcję <math>\Phi(\alpha) \colon X\times B \to Y\times B</math> zdefiniowaną jako <math>\Phi(\alpha)(x,b) = (\alpha(x), b)</math> dla <math>x \in X,</math> <math>b \in B.</math> Analogicznie dla ustalonego obiektu <math>A</math> definiuje się funktor <math>A\!\!\times\!\!\!-</math> z '''Set''' do '''Set'''.
* Bifunktor <math>-\!\!\!\times\!\!\!-</math> z '''Set<math>\times</math>Set''' do '''Set''' mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów <math>X, Y</math> zbiór <math>\Phi(X,Y) = X \times Y,</math> a każdej parze funkcji <math>\alpha \colon X_1 \to X_2,</math> <math>\beta \colon Y_1 \to Y_2</math> przyporządkowuje funkcję <math>\Phi(\alpha, \beta) \colon X_1 \times Y_1 \to X_2 \times Y_2</math> zdefiniowaną jako <math>\Phi(\alpha, \beta)(x_1,y_1) = (\alpha(x_1), \beta(y_1))</math> dla <math>x_1 \in X_1,</math> <math>y_1 \in Y_1.</math>
* Funktorami między dwoma zbiorami [[Częściowy porządek|częściowo uporządkowanymi]] (''posetami'') [[teoria kategorii#Zbiory częściowo uporządkowane jako kategorie|traktowanymi jako kategorie]] są funkcje [[Funkcja monotoniczna#Teoria porządku|monotoniczne]].

== Funktory główne ==
Niech <math>\mathfrak{K}</math> będzie kategorią. Jeśli <math>A, B</math> są jej obiektami, oznaczmy przez <math>\mathrm{Morf}(A,B)</math> lub <math>\mathrm{Morf}_\mathfrak{K}(A,B)</math> zbiór wszystkich morfizmów z <math>A</math> do <math>B.</math>
Wymaga to założenia, że <math>\mathfrak{K}</math> jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami)<ref group="uwaga">Kwestia ta omówiona jest w [[Teoria kategorii#Trudności związane z antynomiami teorii mnogości]].</ref>.

Niech <math>A</math> będzie ustalonym obiektem. Jeżeli <math>\beta\colon B_1\to B_2</math> jest morfizmem w <math>\mathfrak{K},</math> to dla każdego <math>\alpha \colon A \to B_1</math> należącego do <math>\mathrm{Morf}(A,B_1)</math> złożenie <math>\beta\alpha \colon A \to B_2</math> należy do <math>\mathrm{Morf}(A,B_2).</math>
Oznaczmy przez <math>\mathrm{Morf}(A, \beta)</math> opisane tu przyporządkowanie <math>\alpha \mapsto\beta\alpha.</math>
Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z <math>\mathfrak{K}</math> do '''Set''', oznaczany <math>\mathrm{Morf}(A,-);</math> jest to '''funktor główny kowariantny''' wyznaczony przez obiekt <math>A</math><ref group="uwaga">Nazwa ''funktor główny'' jest analogiczna do nazwy [[ideał główny]] w pierścieniu Boole’a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór <small><math>A</math></small>, czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.</ref>. Bywa też zwany ''{{link-interwiki|hom-functor|Q=Q5887297}}'' (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany
: <math>\mathrm{Hom}(A,-)</math> lub <math>\mathfrak{K}(A,-),</math> lub <math>(A,-)_{\mathfrak{K}},</math> lub <math>\mathrm{Morf}_{\mathfrak{K}} (A,-).</math>

Jeśli <math>B</math> jest ustalonym obiektem kategorii <math>\mathfrak{K},</math> to analogicznie definiuje się '''funktor główny kontrawariantny''' <math>\mathrm{Morf}(-, B),</math> przyporządkowujący każdemu morfizmowi <math>\alpha\colon A_1\to A_2</math> przekształcenie <math>\mathrm{Morf}(\alpha, B)</math> przyporządkowujące morfizmom <math>\beta \colon A_2 \to B</math> należącemu do <math>\mathrm{Morf}(A_2, B)</math> złożenie <math>\beta\alpha \colon A_1 \to B</math> należące do <math>\mathrm{Morf}(A_1,B).</math>

Można też rozważać '''bifunktor główny''' <math>\mathrm{Morf}(-,\!-)</math> z <math>\mathfrak{K}^\mathrm{op}\times \mathfrak{K}</math> do '''Set''', kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

== Funktory wierne i pełne ==
Załóżmy, że <math>\Phi \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie <math>\Phi</math> do zbioru <math>\mathrm{Morf}_\mathfrak{A}(A_1, A_2),</math> otrzymamy funkcję <math>\Phi_{A_1,A_2}</math> z tego zbioru do <math>\mathrm{Morf}_\mathfrak{B}(\Phi(A_1),\Phi(A_2)).</math> Mówimy, że funktor <math>\Phi</math> jest '''wierny''', gdy dla każdej pary obiektów <math>(A_1,A_2)</math> kategorii <math>\mathfrak{A}</math> indukowana funkcja <math>\Phi_{A_1,A_2}</math> jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny <math>\Phi</math> nie jest ''iniektorem'', tzn. warunek <math>\alpha_1 \ne \alpha_2</math> nie pociąga tego, że <math>\Phi(\alpha_1) \ne \Phi(\alpha_2).</math> Np. funktor zapominania z kategorii '''Top''' przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do '''Set''' jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli ''X, Y'' są dwiema [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]] o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to <math>\operatorname{id}_X</math> i <math>\operatorname{id}_Y</math> są dwoma różnymi morfizmami w '''Top''', a ich obrazy w '''Set''' są identyczne.

Mówimy, że funktor <math>\Phi</math> jest '''pełny''', gdy dla każdej pary obiektów <math>(A_1,A_2)</math> kategorii <math>\mathfrak{A}</math> indukowana funkcja <math>\Phi_{A_1,A_2}</math> jest [[Surjekcja|suriekcją]]. Funktor zapominania '''Top'''→'''Set''' nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru <math>\mathrm{Morf}_\mathbf{Top}(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> są funkcje nieciągłe. Podkategoria <math>\mathfrak{A}</math> kategorii <math>\mathfrak{B}</math> jest '''pełna''', gdy funktor ''inkluzji podkategorii'' <math>\mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> jest pełny{{odn|Semadeni|Wiweger|1978|loc=&#x23; 1.9.3.}}{{odn|Mac Lane|1971|s=15}}.

== Zobacz też ==
* [[teoria kategorii]]
* [[kategoria (matematyka)]]
* [[transformacja naturalna]]
* [[funktory sprzężone]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Semadeni |imię = Zbigniew |autor link = Zbigniew Semadeni |nazwisko2 = Wiweger |imię2 = Antoni |autor link2 = Antoni Wiweger |tytuł = Wstęp do teorii kategorii i funktorów |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |tom = 45 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |wydanie = 2 |isbn = |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Mac Lane |imię = Saunders |autor link = Saunders Mac Lane |tytuł = Categories for the working mathematician |wydawca = Springer Verlag |miejsce = Berlin Heidelberg New York |rok = 1971 |wydanie = |strony = |isbn = 3-540-90036-5 |odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Białynicki-Birula |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Białynicki-Birula |tytuł = Zarys algebry |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |tom = 63 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1987 |isbn = 83-01-06260-6 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* [[Marek Zawadowski]], ''[https://www.mimuw.edu.pl/~zawado/WTK/TK.pdf Elementy teorii kategorii]'', skrypt dla studentów [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego|Wydziału MIM UW]], 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functor Functor]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Teoria kategorii}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria kategorii]]