Tekst źródłowy strony Funkcjonał Minkowskiego

'''Funkcjonał Minkowskiego''' – [[funkcja podaddytywna|podaddytywny]] i dodatnio [[funkcja jednorodna|jednorodny]] [[funkcjonał]] związany z [[zbiór pochłaniający|pochłaniającymi]] i [[zbiór wypukły|wypukłymi]] [[podzbiór|podzbiorami]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]].

== Definicja ==
Podzbiór <math>A</math> przestrzeni liniowej <math>X</math> nazywa się ''pochłaniającym'', gdy dla każdego elementu <math>x</math> przestrzeni <math>X</math> istnieje taka liczba dodatnia <math>\alpha,</math> że <math>x \in \alpha A.</math> Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się ''zbiorami Minkowskiego''. Jeżeli <math>A</math> jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał
: <math>\mu_A\colon X\to [0,\infty)</math>

określony wzorem
: <math>\mu_A(x)=\inf\{\alpha\in (0,\infty)\colon\; x\in \alpha A\},</math>

nazywa się ''funkcjonałem Minkowskiego'' zbioru <math>A.</math>

== Własności ==
Niech <math>A \subseteq X</math> będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas
* <math>\mu_A(x+y)\leqslant \mu_A(x)+\mu_A(y)\;{}</math> dla <math>{}\; x,y\in X,</math>
* <math>\mu_A(\alpha x)=\alpha \mu_A(x)\;{}</math> dla <math>{}\; x\in X\;{}</math> oraz <math>{}\;\alpha\in [0,\infty),</math>
* <math>x\in \alpha A\;{}</math> dla każdego <math>{}\; x\in X\;{}</math> oraz <math>\alpha>\mu_A(x),</math>
* <math>\{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}\subseteq A \subseteq \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\}.</math> Ponadto, zbiory <math>\{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}, \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\}</math> są zbiorami Minkowskiego i <math>\mu_A</math> jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, <math>A</math> jest zbiorem [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|zbalansowanym]], to <math>\mu_A</math> jest [[półnorma|półnormą]] w przestrzeni <math>X.</math>

== Bibliografia ==
* Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, ''Functional Analysis: An Introduction'', „American Mathematical Society”, 2004, s. 146–148.

[[Kategoria:Formy na przestrzeniach liniowych]]
[[Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne]]
[[Kategoria:Zbiory wypukłe]]