Tekst źródłowy strony Funkcje parzyste i nieparzyste

[[Plik:Cos-curve.png|mały|Fragment wykresu [[Funkcje trygonometryczne|cosinusa]] – przykładu funkcji parzystej]]

'''Funkcje parzyste i nieparzyste''' – typy [[Funkcja|funkcji matematycznych]] cechujące się pewną [[Symetria figury|symetrią]] przy zmianie [[Znak liczby|znaku]] argumentu. Prowadzi to również do [[symetria figury|symetrii]] ich wykresów. Funkcja <math>f</math> jest:
* '''parzysta''', jeżeli spełnia równanie <math>f(x) = f(-x)</math> (symetria względem zmiany [[znak liczby|znaku]] argumentu)<ref name="epwn-p">{{Encyklopedia PWN | id = 3954716 | tytuł = funkcja parzysta | data dostępu = 2021-11-17 }}</ref>;
* '''nieparzysta''', jeżeli spełnia równanie <math>f(-x) = -f(x)</math> (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji)<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3947450 | tytuł = funkcja nieparzysta | data dostępu = 2021-11-17 }}</ref>.

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> należących do [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]] funkcji <math>f.</math> Powyższe równości wymagają, aby wraz z <math>x</math> do dziedziny należał również punkt <math>-x,</math> stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

== Przykłady ==
Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała [[funkcja wykładnicza]], a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są [[funkcja stała|funkcje stałe]] równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

; Funkcje parzyste
* [[wartość bezwzględna]] <math>f(x) = |x|,</math>
* [[funkcja potęgowa]] o parzystym wykładniku, <math>f(x) = x^{2k},</math> gdzie <math>k\in \mathbb N,</math>
* [[funkcje trygonometryczne|funkcja trygonometryczna]] <math>f(x )= \cos x,</math>
* [[funkcje hiperboliczne|funkcja hiperboliczna]] <math>f(x) = \cosh x,</math>
* [[wielomian]]y zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. <math>f(x) = x^{10}+2x^6-x^2+4</math>),
* [[funkcja sinc]],
* [[funkcja Dirichleta]],
* [[funkcja Weierstrassa]],
* funkcje [[funkcja prostokątna|prostokątna]] i [[funkcja trójkątna|trójkątna]].

; Funkcje nieparzyste
* [[funkcja liniowa]] <math>f(x) = ax</math> ([[proporcjonalność prosta]]),
* [[funkcja potęgowa]] o nieparzystym wykładniku: <math>f(x) = x^{2k+1}, k\in \mathbb N,</math>
* funkcje trygonometryczne <math>f(x) = \sin x,</math> <math>f(x) = \operatorname{tg} x</math> &nbsp; i &nbsp; <math>f(x) = \operatorname{ctg} x,</math>
* funkcje hiperboliczne <math>f(x) = \sinh x,</math> <math>f(x) = \operatorname{tgh} \,\! x</math> &nbsp; i &nbsp; <math>f(x) = \operatorname{ctgh} x,</math>
* wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. <math>f(x) = x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi}x</math>),
* [[funkcja signum]],
* [[funkcja błędu|funkcja błędu Gaussa]],
* [[funkcja Gudermanna]],
* [[całka Fresnela]].

== Własności ==
* Jedyne [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowe]] funkcje parzyste to [[funkcja pusta]] oraz funkcje określone jedynie w zerze{{fakt|data=2023-10}}.
* Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]].
* Każdą funkcję <math>f,</math> dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej <math>g</math> i nieparzystej <math>h,</math> gdzie dla każdego <math>x</math> z dziedziny
*: <math>g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}</math> oraz <math>h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>
* Przykładami powyższego rozkładu są <math>e^x = \cosh x + \sinh x</math> oraz <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
* Niech <math>f_1,\,f_2</math> będą funkcjami parzystymi, a <math>g_1,\,g_2</math> funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
** <math>f_1 \cdot f_2,\ g_1 \cdot g_2</math> oraz <math>f_1/f_2,\ g_1/g_2</math> (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
** <math>f_1 \cdot g_1</math> oraz <math>f_1/g_1</math> (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
** <math>f_1 \circ f_2,\ f_1 \circ g_1,\ g_1 \circ f_1</math> jest funkcją parzystą (<math>\circ</math> jest tu [[złożenie funkcji|złożeniem funkcji]]),
** <math>g_1 \circ g_2</math> jest funkcją nieparzystą.

== Wykresy ==
[[Wykres funkcji|Wykres]] funkcji parzystej jest symetryczny względem osi <math>OY,</math> a nieparzystej jest symetryczny względem początku [[Układ współrzędnych|układu współrzędnych]]. Jeśli <math>0</math> należy do dziedziny nieparzystej funkcji <math>f,</math> to <math>f(0) = 0</math> (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

== Rozszerzenie na inne algebry ==
Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest [[podzbiór]] zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy w ogólności [[ciało (matematyka)|ciał]]. Definicje mają jednak sens także dla innych [[pierścień (matematyka)|pierścieni]], a nawet bardziej ogólnych [[grupa (matematyka)|grup]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://matematyka.zut.edu.pl/?id=15095 Parzystość i nieparzystość funkcji]'', [[Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie]], matematyka.zut.edu.pl [dostęp 20223-10-10].
* {{otwarty dostęp}} Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-06-13]:
** Justyna Biernacka, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DeE1oPChz Funkcja parzysta i jej przykłady]''.
** Justyna Biernacka, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DkJkI5X1y Funkcja nieparzysta i jej przykłady]''.
** Beata Kuna, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/Dqkc8bYZD Własności funkcji złożonych]''.
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=u_xUzgr3BDU Funkcje parzyste i nieparzyste]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 11 stycznia 2023 [dostęp 20223-10-10].
* {{MathWorld | adres = EvenFunction | tytuł = Even Function }} [dostęp 2023-10-10].
* {{MathWorld | adres = OddFunction | tytuł = Odd Function }} [dostęp 2023-10-10].

{{Funkcje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Typy funkcji matematycznych|P]]