Tekst źródłowy strony Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

{{Integruj | Funkcja zespolona | wąski zakres tematyczny, precedens w artykule [[funkcja rzeczywista]]}}

'''Funkcja zespolona zmiennej zespolonej''' – [[funkcja zespolona]], której [[Dziedzina (matematyka)|dziedziną]] jest [[podzbiór]] [[zbiór|zbioru]] [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]: <math>f \colon X \to \mathbb{C}, X \subseteq \mathbb{C}.</math>

Przyjmując <math>z = x+iy,</math> gdzie <math>x,y \in \mathbb{R},</math> a <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]], funkcję zespoloną zmiennej zespolonej <math>f(z)</math> można przedstawić w postaci
: <math>f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y),</math>

gdzie <math>u(x,y)</math> i <math>v(x,y)</math> są pewnymi [[funkcja rzeczywista|funkcjami rzeczywistymi]] dwóch zmiennych rzeczywistych <math>x</math> i <math>y.</math> Funkcję <math>u(x,y)</math> nazywamy wtedy '''częścią rzeczywistą''' funkcji <math>f(z),</math> natomiast funkcję <math>v(x,y)</math> '''częścią urojoną''' funkcji <math>f(z){:}</math>
: <math>u(x,y) = \operatorname{re}\;f(z) = \Re f(z),</math>

: <math>v(x,y) = \operatorname{im}\;f(z) = \Im f(z).</math>

== Przykład ==
W przypadku funkcji
: <math>f(z) = z^2</math>

jest
: <math>f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = x^2 - y^2 + 2ixy,</math>

zatem
: <math>u(x,y) = x^2 - y^2,</math>
: <math>v(x,y) = 2xy.</math>

[[Kategoria:Analiza zespolona]]