Tekst źródłowy strony Funkcja wielu zmiennych

{{Grafika rozwinięta
| położenie = right
|szerokość=120
| grafika1         = Real function of one variable.svg
| alt1             = Funkcja 1 zmiennej
| grafika2         = Real function of two real variables.svg
| alt2             = Funkcja 2 zmiennych
| opis             = Wykresy funkcji 1 i 2 zmiennych (kolor fioletowy). Dziedziny zaznaczono na czerwono.
}}
'''Funkcja wielu zmiennych''' – dwuznaczne pojęcie [[Matematyka|matematyczne]]:
* w sensie szerokim jest to każda [[funkcja]] <math>f\colon X\to Y,</math> której [[Dziedzina (matematyka)|dziedziną]] <math>X</math> jest podzbiór [[Iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] co najmniej dwóch zbiorów, tzn. <math>X \subseteq X_1\times \ldots\times X_n;</math>
* w sensie wąskim jest to każda [[funkcja rzeczywista]], której [[Argument funkcji|argumenty]] to co najmniej dwie [[Liczba|liczby]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3903278 | tytuł = funkcja | data dostępu = 2023-12-21 }}</ref>.

Częstym przykładem są zmienne [[Liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], tzn. <math>X \subseteq \mathbb R_1\times \ldots \times \mathbb R_n=\mathbb{R}^n;</math> elementy dziedziny są wektorami <math>\mathbf x =[x_1,x_2,\dots, x_n].</math> [[Przeciwdziedzina]] <math>Y</math> funkcji może być przestrzenią liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> lub ogólnie – przestrzenią wielowymiarową <math>\mathbb{R}^m;</math> w tym ogólnym przypadku wartościami funkcji są wektory <math>\mathbf y =[y_1,y_2,\dots, y_m].</math>

Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych np. w [[matematyka|matematyce]], fizyce, chemii, biologii, ekonomii, inżynierii itp. jest funkcjami wielu zmiennych.

== Zapis funkcji wielu zmiennych ==
Funkcję <math>f(\mathbf x)</math> zależną od zmiennych postaci <math>\mathbf x =[x_1,x_2,\dots, x_n]</math> zwykle zapisuje się pomijając nawiasy wewnętrzne, czyli pisze się <math>f(x_1,x_2,\dots, x_n)</math> zamiast <math>f([x_1,x_2,\dots, x_n]).</math>

W przypadku mniejszej liczby zmiennych zamiast oznaczeń <math>x_1,x_2,x_3</math> stosuje się oznaczenia <math>x_1\equiv x,</math> <math>x_2\equiv y,</math> <math>x_3\equiv z.</math>

Często w zapisie funkcji wielu zmiennych nie podaje się jawnie zmiennych, domyślnie przyjmując, iż wszystkie literały oznaczają zmienne z wyjątkiem uznanych powszechnie za stałe, np. [[stałe fizyczne|fizyczne]] lub [[Lista stałych matematycznych|matematyczne]]. Np. wzór na [[objętość (matematyka)|objętość]] [[walec (bryła)|walca obrotowego]] <math>V(r,h) = \pi r^2 h</math> jest funkcją dwóch zmiennych <math>r, h</math> (gdzie <math>r</math> – promień podstawy, <math>h</math> – wysokość walca); w skrócie funkcję tę zapisuje się w postaci <math>V = \pi r^2 h.</math>

== Przykłady 1 ==
Przykładowe funkcje wielu zmiennych:
* <math>f(x, y) = \sin(xy^2)</math>
* <math>f(x, y, z) = x^3y - xyz + y\sin^2 z^3-x</math>
* <math>f(x_1,\dots,x_n)=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_1^n}</math> – długość wektora w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>
* <math>f(x, y, z, t) = x+y+z+t</math>
* <math>f(x, y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t}\sin(t\cdot xy^2) dt</math>
* <math>U(R, I) = IR</math> – [[napięcie sieciowe|napięcie]] na oporniku jako funkcja [[rezystancja|oporu]] <math>R</math> i [[natężenie prądu elektrycznego|natężenia]] <math>I</math> prądu (według [[prawo Ohma|prawa Ohma]])

== Przykłady 2 ==
[[Plik:Symmetricwave2.png|thumb|180px|Symetryczna funkcja falowa 2 [[Bozony|bozonów]]. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia <math>x_1, x_2</math> bozonów, na osi pionowej – wartości funkcji.]]
[[Plik:Asymmetricwave2.png|thumb|180px|Antysymetryczna funkcja falowa 2 [[Fermiony|fermionów]]. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia <math>x_1, x_2</math> fermionów, na osi pionowej – wartości funkcji.]]

* W [[Matematyka|matematyce]] elementarnej podstawowe [[działanie algebraiczne|działania]] (dodawanie, [[odejmowanie]], [[mnożenie]], dzielenie, potęgowanie) – to funkcje dwóch zmiennych.
* W [[Mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] [[Wektor wodzący|wektor położenia]] układu w [[Przestrzeń konfiguracyjna|przestrzeni konfiguracyjnej]] jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa liczbie [[Stopień swobody|stopni swobody]] układu. Np. w przypadku jednej cząstki poruszającej się swobodnie w przestrzeni wektor ten ma 3 składowe, a dla ''N'' takich cząstek wektor ten ma 3''N'' składowych.
* W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] stan układu opisuje [[funkcja falowa]] mająca wartości w zbiorze [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]], która zależny od takiej liczby współrzędnych, jaka byłaby potrzebna do opisania układu w mechanice klasycznej, jeżeli przy tym nie uwzględnia się [[Spin (fizyka)|spinu]] cząstek; jeżeli zaś trzeba uwzględnić spin, to wartości funkcji falowej tworzą wektor mający tyle elementów, ile stanów spinowych może mieć układ<ref name="Cohen">{{cytuj książkę |autor = Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë |tytuł = Quantum Mechanics |wydawca = Hermann |miejsce = New York |data = 1977 |tom = I}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[pochodna cząstkowa]]
* [[równanie różniczkowe]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* W. Kołodziej, ''Analiza matematyczna'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN]], Warszawa 2009.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Helena Kazieko, ''[https://www.youtube.com/watch?v=6L6WOQH6bJY Funkcja dwóch zmiennych]'', kanał Nauka / Science [[Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie|SGGW]] na [[YouTube]], 13 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].
* {{MathWorld | adres = MultivariateFunction | tytuł = Multivariate Function }} [dostęp 2023-12-21].

{{Funkcje matematyczne}}

[[Kategoria:Typy funkcji matematycznych|W]]