Tekst źródłowy strony Funkcja trójkątna

[[Plik:Triangular function.svg|thumb|right|Funkcja trójkątna]]

'''Funkcja trójkątna''' jest zdefiniowana jako:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \land (t) \quad 
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t|, & |t| < 1 \\
0, & \mbox{dla innych }t 
\end{cases}
\end{align}
</math>

lub, co jest równoważne, jako [[Splot (analiza matematyczna)|splot]] dwóch identycznych jednostkowych [[Funkcja prostokątna|funkcji prostokątnych]]:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau .
\end{align}
</math>

[[Plik:Convolution of box signal with itself2.gif|thumb|center|900px|Splot dwóch funkcji prostokątnych. Kolorem żółtym oznaczono pole będące wartością funkcji splotu w chwili ''t''.]]

Funkcja ta ma zastosowanie w [[Przetwarzanie sygnałów|przetwarzaniu sygnałów]]. Jest przykładem idealnego sygnału, którego cechy można odnaleźć w sygnałach rzeczywistych. Jednym z jej zastosowań jest [[Okno czasowe#Okno trójkątne|Okno Trójkątne]] lub [[Okno czasowe#Okno Bartletta|Okno Bartletta]].

== Skalowanie ==
Dla dowolnego parametru <math>a \ne 0</math> zachodzi:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t/a) &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau - t/a)\ d\tau \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t/a|, & |t| < |a| \\
0, & \mbox{dla innych }t.
\end{cases}
\end{align}
</math>

== [[Transformacja Fouriera]] ==
Transformatę Fouriera '''funkcji trójkątnej''' można łatwo uzyskać, korzystając z [[Splot (analiza matematyczna)#Związki z transformatami|twierdzenia o splocie]] i transformaty [[Funkcja prostokątna|funkcji prostokątnej]]:

: <math>
\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} 
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}^2\\
&= \mathrm{sinc}^2(f) .
\end{align}
</math>

== Zobacz też ==
* [[Rozkład trójkątny]]
* [[Funkcja sinc]]

[[Kategoria:Przykłady funkcji rzeczywistych|T]]
[[Kategoria:Przetwarzanie sygnałów]]