Tekst źródłowy strony Funkcja liniowa

{{Inne znaczenia|funkcji w matematyce elementarnej|[[przekształcenie liniowe]] w matematyce wyższej}}
[[Plik:Slope picture.svg|mały|[[Wykres funkcji|Wykres]] przykładowej funkcji liniowej w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]]]]

'''Funkcja liniowa''' – dowolna [[Funkcja|funkcja matematyczna]] opisana [[Równanie liniowe|równaniem liniowym]], czyli postaci<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN| id = 3932829 |tytuł = funkcja liniowa |data dostępu = 2024-09-16}}</ref>:
: <math>x \mapsto ax + b,</math>

gdzie [[Argument funkcji|argumentami]] <math>x</math> są [[liczby rzeczywiste]] lub inne obiekty, które można [[Dodawanie|dodawać]] i [[Mnożenie|mnożyć]], np. [[liczby zespolone]]. [[Parametr (matematyka)|Parametry]] <math>a, b</math> są dowolnymi stałymi znanymi jako '''współczynnik kierunkowy'''<ref name="epwn" /> i '''wyraz wolny'''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3998971 | tytuł = wyraz wolny | data dostępu = 2024-09-16 }}</ref>. O dwóch [[Zmienna (matematyka)|zmiennych]], z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są ''liniowo zależne'' lub ''w zależności liniowej''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 4009018 | tytuł = zależność liniowa | data dostępu = 2024-09-16 }}</ref>. Jest to [[uogólnienie]]:
* [[Funkcja stała|funkcji stałych]], dla których <math>a=0;</math>
* [[Proporcjonalność prosta|proporcjonalności prostych]], dla których <math>b=0</math><ref name="epwn" />.

Jeśli argumentami takiej funkcji są liczby rzeczywiste, to [[Dziedzina (matematyka)|dziedziną]] może być cała [[Oś liczbowa|oś rzeczywista]], a [[Wykres funkcji|wykresem]] w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] jest [[Prosta|linia prosta]]<ref name="epwn" />.

Funkcje liniowe mają zastosowania związane z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności [[geometria|geometrycznymi]]:
* korzysta się z nich podczas [[linearyzacja|linearyzacji]] bardziej skomplikowanych zagadnień, np. [[aproksymacja liniowa|przybliżania liniowego]];
* w [[statystyka|statystyce]] korzysta się z metody [[estymacja|estymacji]] (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną [[regresja liniowa|regresją liniową]] (popularną jej metodą jest [[metoda najmniejszych kwadratów]]), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym [[błąd standardowy|błędzie standardowym]].

Funkcje liniowe mają różne uogólnienia jak funkcje:
* [[Funkcja przedziałami liniowa|przedziałami liniowe]], zdefiniowane różnymi wzorami liniowymi na różnych [[Przedział (matematyka)|przedziałach]];
* [[wielomian]]owe, zawierające też wyższe [[Potęgowanie|potęgi]] zmiennej;
* [[Funkcja homograficzna|homograficzne]] będące [[iloraz]]ami funkcji liniowych.

W [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]]. Funkcje mające tę własność nazywa się ''[[przekształcenie liniowe|przekształceniami liniowymi]]'' lub ''odwzorowaniami liniowymi'', a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest [[Funkcja jednorodna|funkcją jednorodną]], tj. gdy <math>b=0;</math> mają one wówczas postać [[proporcjonalność prosta|proporcjonalności prostej]] <math>x \mapsto ax.</math>

== Definicja ==
{{zobacz też|funkcja}}
Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> będzie funkcją [[zmienna (matematyka)|zmiennej]] [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję <math>f</math> nazywa się '''liniową''', jeżeli dana jest wzorem
: <math>f(x) = ax + b,</math>

gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła{{odn|Waliszewski|1988|s=312}} wymagają dodatkowo, aby <math>f</math> była ''niezdegenerowana'', tj.
: <math>a \ne 0.</math>

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

== Własności ==
Jeśli <math>a \ne 0,</math> to <math>f</math> jest [[funkcja ograniczona|nieograniczona]], [[funkcja okresowa|nieokresowa]] i [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]]: rosnąca dla <math>a > 0</math> i malejąca dla <math>a < 0,</math> ponadto jest [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowa]] i [[Surjekcja|„na”]], a co za tym idzie [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczna]]. Jest więc [[funkcja odwrotna|odwracalna]] (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli <math>b = 0,</math> to <math>f</math> jest [[funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzysta]].

Jeśli <math>a = 0,</math> to <math>f</math> jest [[funkcja stała|funkcją stałą]] i jako taka jest ograniczona, [[funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]], nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo <math>b = 0,</math> to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli <math>a \ne 0,</math> to <math>f</math> ma dokładnie jedno [[miejsce zerowe]] postaci <math>-\tfrac{b}{a}.</math>
Jeśli <math>a = 0,</math> to <math>f</math> nie ma miejsc zerowych, gdy <math>b \ne 0</math> i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy <math>b = 0.</math>

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli <math>y_1=f(x_1),\; y_2=f(x_2),</math> to:
: <math>f(x) = \tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x + \tfrac{y_1x_2-y_2x_1}{x_2-x_1}.</math>

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest [[funkcja ciągła|ciągła]] i [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] (a więc także [[funkcja regularna|gładka]]), przy czym pierwsza pochodna jest równa <math>a,</math> a kolejne są [[Tożsamość algebraiczna|tożsamościowo]] równe zeru.

=== Wykres funkcji liniowej ===
[[Plik:FuncionLineal01.svg|thumb|Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami <span style="color: red">czerwonym</span> i <span style="color: blue">niebieskim</span> mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach <span style="color: red">czerwonym</span> i <span style="color: green">zielonym</span> mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią <math>OY.</math>]]
{{Zobacz też|wykres funkcji|układ współrzędnych}}
W [[Baza (przestrzeń liniowa)|układzie współrzędnych prostoliniowych]] (na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]]) funkcja liniowa <math>x \mapsto ax + b</math> ma wykres będący [[prosta|prostą]], przy czym
* przecina ona oś <math>OY</math> w punkcie <math>(0, b)</math>
* przecina ona oś <math>OX</math> w punkcie <math>(-\tfrac{b}{a}, 0)</math> dla <math>a\ne 0,</math> nie przecina tej osi, gdy <math>a = 0,\,\, b\ne 0.</math>

W [[układ współrzędnych kartezjańskich|układzie współrzędnych prostokątnych]] (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. [[Wektor jednostkowy|wektorami jednostkowymi]] definiującymi osie) zachodzi
: <math>a = \text{tg}\ \alpha,</math>

gdzie <math>\alpha</math> jest [[kąt skierowany|kątem skierowanym]] między wykresem i osią <math>OX.</math>

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest [[funkcje trygonometryczne|tangensem]] kąta skierowanego <math>\alpha,</math> co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi <math>OY</math> jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

=== Własności grupowe i reprezentacja macierzowa ===
* Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
:: <math>f(x) = ax + b,\;\; g(x) = a_1x + b_1.</math>
: Wówczas
:: <math>(g\circ f)\,(x) = a_1(ax+b)+ b_1 = a_1ax + a_1b+b_1</math>
: także jest funkcją liniową.

* Dla funkcji <math>f(x) = ax + b</math> i <math>e(x) = x</math> zachodzi
:: <math>(f\circ e)\, (x) = (e\circ f)\,(x) = f(x).</math>

* Ponadto dla funkcji <math>f(x) = ax + b,</math> w której <math>a\ne 0,</math> funkcja <math>g(x) = \tfrac{1}{a}x -\tfrac{b}{a}</math> jest funkcją odwrotną:
:: <math>(f\circ g)\, (x) = (g\circ f)\,(x) = e(x).</math>

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]], więc działanie składania takich funkcji jest [[Łączność (matematyka)|działaniem łącznym]]. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest [[grupa (matematyka)|grupą]].

Funkcję liniową <math>f(x) = ax + b</math> można reprezentować jako macierz postaci:
: <math>F = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.</math>

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności [[Pierścień (matematyka)|pierścienia]] macierzy [[Macierz trójkątna|górnotrójkątnych]] powyższej postaci. Jeśli dodatkowo <math>a \ne 0,</math> to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie<ref group="uwaga">Wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowują się dla dowolnego ciała.</ref>.

=== Własności geometryczne i uogólnienia ===
Niezdegenerowana funkcja liniowa <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> postaci <math>f(x) = ax + b</math> jest [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobieństwem]] prostej <math>\mathbb R</math> na siebie, przy tym <math>|a|</math> jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:
* dla <math>a=1,\, b=0</math> jest to tożsamość,
* dla <math>a=1,\, b\ne 0</math> jest to [[Translacja (matematyka)|translacja]] o przesunięciu <math>b,</math>
* dla <math>a=-1</math> jest to [[symetria środkowa]] względem punktu <math>\tfrac{b}{2}.</math>

Dla <math>a>0</math> jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla <math>a<0</math> jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)<ref group="uwaga">Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.</ref>.

Jeśli <math>f</math> nie jest translacją, tj. <math>a\ne 1,</math> to ma ona [[punkt stały]] <math>\tfrac{b}{1-a}.</math>

Funkcja liniowa niezdegenerowana <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> ma swoje uogólnienie na płaszczyznę <math>\mathbb R^2</math> i ogólniej – na <math>\mathbb R^n</math> i nazywa się wówczas [[Przekształcenie afiniczne|przekształceniem afinicznym]] (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):
: <math>f(x) = ax + b,</math>

gdzie <math>x, b \in \mathbb R^n,</math> <math>a</math> jest nieosobliwą [[macierz]]ą <math>n\times n.</math>

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R</math> postaci
: <math>f(x) = a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n + b,</math>

gdzie nie wszystkie <math>a_i</math> są zerowe.

Jej wykresem jest pewna [[hiperpłaszczyzna]] w przestrzeni <math>\mathbb R^n.</math>

== Przykłady zależności liniowych ==
=== Matematyka ===
* Wartość <math>n</math>-tego wyrazu <math>a_n</math> [[ciąg arytmetyczny|ciągu arytmetycznego]] jest liniową funkcją jego numeru <math>n{:}</math>
:: <math>a_n = rn + a_1-r,</math>
: gdzie <math>r</math> jest różnicą ciągu, <math>a_1</math> jego pierwszym wyrazem.

=== Fizyka ===
* Temperatura <math>T_F</math> w [[skala Fahrenheita|skali Fahrenehita]] jest liniową funkcją temperatury <math>T_C</math> w skali [[skala Celsjusza|Celsjusza]]:
:: <math>T_\mathrm{F} = \tfrac{9}{5} T_\mathrm{C} + 32.</math>
* W kinematyce: w [[Ruch jednostajny prostoliniowy|ruchu jednostajnym prostoliniowym]] położenie <math>x_t</math> jest liniową funkcją czasu <math>t{:}</math>
:: <math>\mathrm x_t = \mathbf vt + \mathrm x_0,</math>
: gdzie <math>v</math> jest prędkością, <math>x_0</math> położeniem początkowym.
: [[Ruch jednostajnie przyspieszony|W ruchu jednostajnie przyspieszonym]] prędkość <math>v_t</math> jest liniową funkcją czasu <math>t.</math>
:: <math>v_t = at + v_0,</math>
: gdzie <math>a</math> jest przyspieszeniem, <math>v_0</math> jest prędkością początkową.
* [[Efekt Dopplera]]: jeśli obserwator zbliża się z prędkością <math>v_o</math> do nieruchomego źródła fali o częstotliwości <math>f_z,</math> to częstotliwość <math>f_o</math> odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości <math>v_o{:}</math>
:: <math>f_o = \tfrac{f_z}{v}v_o + f_z,</math>
: gdzie <math>v</math> jest prędkością fali w ośrodku.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Waliszewski |imię = Włodzimierz | autor link = Włodzimierz Waliszewski |tytuł = Encyklopedia szkolna |wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne]] |miejsce = Warszawa |data = 1988 |isbn = 83-02-02551-8 | odn = tak }}

== Literatura dodatkowa ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Gancarzewicz |imię = Jacek | autor link = Jacek Gancarzewicz |tytuł = Algebra liniowa i jej zastosowanie |wydawca = [[Uniwersytet Jagielloński]] |miejsce = Kraków |rok = 2014 |isbn = 83-233-1832-8 }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kordos |imię = Marek | autor link = Marek Kordos |nazwisko2 = Szczerba |imię2 = Lesław |tytuł = Geometria dla nauczycieli |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |data = 1976}}

== Linki zewnętrzne ==
{{Commonscat|Linear functions}}
* {{otwarty dostęp}} Tomasz Wójtowicz, ''[https://zpe.gov.pl/b/funkcja-liniowa---pojecie/PZqSynxM1 Funkcja liniowa – pojęcie]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna – [[Ministerstwo Edukacji Narodowej]], zpe.gov.pl [dostęp 2024-09-16].
* {{MathWorld | adres = LinearFunction | tytuł = Linear Function }} [dostęp 2024-03-07].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_function Linear function]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].

{{Wielomiany}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje wielomianów]]