Tekst źródłowy strony Funkcja kwadratowa

[[Plik:AndraGrad-4.png|mały|[[Wykres funkcji|Wykres]] przykładowej funkcji kwadratowej w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]]:<math>f(x) = x^2 - x - 2.</math> Ma ona dwa [[Miejsce zerowe|miejsca zerowe]] (pierwiastki): <math>f(-1)=f(2)=0,</math><math>x_1 = -1, x_2 = 2.</math> Pozwala to na zapis w postaci [[Mnożenie|iloczynowej]] – rozkład na czynniki [[Funkcja liniowa|liniowe]]: <math>f(x) = (x-x_1)(x-x_2) =</math><math>(x+1)(x-2).</math>]]

'''Funkcja kwadratowa''', '''funkcja stopnia drugiego'''{{odn|Żakowski|1972|s=78}} – typ [[funkcja|funkcji matematycznej]] o co najmniej dwóch [[Równoważność|równoważnych]] definicjach<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3929540 | tytuł = funkcja kwadratowa | data dostępu = 2021-10-16 }}</ref>:
* <math>f(x) = ax^2 + bx + c,</math>
: gdzie <math>a, b, c</math> są pewnymi [[stała (matematyka)|stałymi]], przy czym <math>a \neq 0</math><ref group="uwaga">Oznacza to, że do funkcji kwadratowych nie zalicza się [[funkcja liniowa|funkcji liniowych]].</ref>;
* <math>f(x) = a(x - p)^2 + q,</math>
: gdzie <math>p, q</math> również są dowolnymi stałymi.

Pierwszy wzór jest znany jako '''postać ogólna''' funkcji kwadratowej lub '''trójmian kwadratowy'''<ref name="epwn-t">{{Encyklopedia PWN | id = 3989381 | tytuł = trójmian kwadratowy | data dostępu = 2021-10-16 }}</ref>, a drugi jako '''postać kanoniczna'''<ref>{{otwarty dostęp}} Tomasz Wójtowicz, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DKVPW3guD Wzór funkcji kwadratowej]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].</ref>. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w [[#Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna|dalszej sekcji]].

[[Dziedzina (matematyka)|Dziedziną]] funkcji kwadratowej mogą być [[liczby rzeczywiste]], co przy rzeczywistych współczynnikach daje też rzeczywisty [[Obraz (matematyka)|zbiór wartości]]: <math>f[\mathbb{R}]\subset\mathbb{R}</math>. Przez to za [[Przeciwdziedzina|przeciwdziedzinę]] można przyjąć [[Oś liczbowa|oś rzeczywistą]] lub jej [[podzbiór]]; taka funkcja jest przykładem [[Funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistej]], a jej [[Wykres funkcji|wykresem]] jest [[Parabola (matematyka)|parabola]]<ref name="epwn" />. Funkcje kwadratowe można też definiować dla [[Argument funkcji|argumentów]] [[Liczby zespolone|zespolonych]] i z innych [[Zbiór|zbiorów]] z działaniami [[Dodawanie|dodawania]] i [[Mnożenie|mnożenia]]; [[algebra abstrakcyjna]] nazywa część takich [[Struktura matematyczna|struktur]] [[Ciało (matematyka)|ciałami]], [[Pierścień (matematyka)|pierścieniami]] i [[Półpierścień|półpierścieniami]], zależnie od własności tych działań.

Zagadnienie [[Miejsce zerowe|miejsc zerowych]] takiej funkcji to [[równanie kwadratowe]]. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także '''postać iloczynowa''' takiej funkcji<ref>{{otwarty dostęp}} Jolanta Schilling, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/D4gPB0S0s Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-15].</ref> – [[Rozkład na czynniki|rozkład]] na czynniki [[Funkcja liniowa|liniowe]]{{odn|Babiański|Chańko|Wej|2022|s=312}}. W [[#Postać iloczynowa|dalszej sekcji]] opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych. 

[[Uogólnienie|Uogólnienia]] funkcji kwadratowych to:
* [[Wielomian#Funkcje wielomianowe|funkcje wielomianowe]]<ref group=uwaga>Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki <math>a, b, c</math> należą do [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] o niezerowej [[charakterystyka (algebra)|charakterystyce]]{{fakt|data=2024-01}}.</ref> wyższych stopni – funkcja kwadratowa  ma stopień dwa{{odn|Żakowski|1972|s=78}};
* [[Forma kwadratowa|formy kwadratowe]] – można je traktować jako [[Funkcja wielu zmiennych|funkcje wielu zmiennych]].

== Postacie funkcji kwadratowej ==
=== Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna ===
Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą [[Wzory skróconego mnożenia|wzorów skróconego mnożenia]], konkretniej [[Kwadrat (algebra)|kwadratu]] sumy:

<math>\begin{align}
a(x-p)^2 + q &= a(x^2 -2px + p^2) + q =\\
&= ax^2 - 2apx + ap^2 + q,
\end{align}</math>

co daje wzory<ref name=cke />:

<math>\begin{align}
b &= -2ap,\ c = ap^2 + q,\\
p &= -\frac{b}{2a},\\
q &= c-ap^2 = c-a\cdot\tfrac{b^2}{4a^2} =\\
 &= \tfrac{4ac}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a},\\
\Delta &:= b^2 - 4ac.
\end{align}</math>

Wyrażenie <math>\Delta</math> ([[Delta (litera)|delta]]) nazywa się '''[[Wyróżnik wielomianu|wyróżnikiem]]''' funkcji kwadratowej <math>f</math><ref name=cke>{{Cytuj |url=https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł=Wybrane wzory matematyczne |miejsce=Warszawa |data=2015 |wydawca=Centralna Komisja Egzaminacyjna |isbn=978-83-940902-1-0 |s=4}}</ref>. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:

<math>\begin{align}
ax^2 + bx + c &= ax^2 + bx + \tfrac{b^2}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} + c =\\
&= a\left(x^2 + 2x\tfrac{b}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) - \tfrac{b^2}{4a} + \tfrac{4ac}{4a} =\\
&= a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}.
\end{align}</math>

Postać kanoniczna ułatwia [[#Wykres|określenie wykresu]].

=== Miejsca zerowe ===
[[Plik:Quadratic equation discriminant.png|mały|[[Wykres funkcji|Wykresy]] różnych funkcji kwadratowych zmiennej [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]]; różnią się liczbą [[Miejsce zerowe|miejsc zerowych]] przez różne [[Znak liczby|znaki]] [[Wyróżnik wielomianu|wyróżnika]].]]
{{Główny artykuł|Równanie kwadratowe}}

W [[Dziedzina (matematyka)|dziedzinie]] rzeczywistej liczba [[Miejsce zerowe|miejsc zerowych]] takiej funkcji – zwanych też [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastkami]] – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od [[Znak liczby|znaku]] [[Wyróżnik wielomianu|wyróżnika]] (<math>\Delta</math>)<ref name=cke />, co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:

<math>\begin{align}
a(x-p)^2 + q &= 0,\\
a(x-p)^2 &= -q,\\
(x-p)^2 &= -\frac{q}{a} = \frac{\Delta}{4a^2}.
\end{align}</math>

Możliwość dalszych przekształceń w obrębie [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty [[pierwiastek kwadratowy]]. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika<ref group="uwaga">tę zgodność można zapisać za pomocą [[Funkcja signum|funkcji signum]]: <math>\text{sgn}\frac{\Delta}{4a^2} = \frac{\text{sgn}\Delta}{\text{sgn}(4a^2)} = \frac{\text{sgn}\Delta}{1}.</math></ref>. W przypadku nieujemnym (<math>\Delta \geqslant 0</math>) otrzymuje się:

<math>\begin{align}
x-p &= \pm\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} = \pm\frac{ \sqrt\Delta }{ \sqrt{4a^2} },\\
x &= p\pm \frac{\sqrt\Delta}{2a} = -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt\Delta}{2a}.
\end{align}</math>

Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:
* dodatni (<math>\Delta > 0</math>), to miejsca zerowe są dwa<ref name=cke/>:
: <math>x_1 = \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a},\ x_2 = \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a};</math>
* zerowy (<math>\Delta = 0</math>), to miejsce zerowe jest jedno<ref name=cke/>:
: <math>x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a} = p;</math>
: jest nazywane ''podwójnym'' jako [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastek dwukrotny]] wielomianu wyznaczającego funkcję{{odn|Babiański|Chańko|Wej|2022|s=308}};
* ujemny (<math>\Delta < 0</math>), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych<ref name=cke/>.

W dziedzinie [[liczby zespolone|zespolonej]] rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika (<math>\Delta < 0</math>) jego [[Pierwiastkowanie#Definicja|algebraiczne pierwiastki kwadratowe]] są [[Liczby urojone|liczbami urojonymi]]: <math>\sqrt\Delta \in i\mathbb{R}</math>. To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem [[Zasadnicze twierdzenie algebry|zasadniczego twierdzenia algebry]]. Jeśli współczynniki funkcji (<math>a, b</math>) są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem [[Liczby zespolone|części urojonej]]. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie [[sprzężenie zespolone|sprzężone]]{{odn|Żakowski|1972|s=252}}.

=== [[Wzory Viète’a]] ===
Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn [[Miejsce zerowe|miejsc zerowych]] różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory<ref name=cke />: 

<math>\begin{align}
x_1 + x_2 &= -\tfrac{b}{a},\\
x_1 x_2 &= \tfrac{c}{a}.\\
\end{align}</math>

Istnieje też związek [[Odejmowanie|różnicy]] miejsc zerowych z [[Wyróżnik wielomianu|wyróżnikiem]]{{odn|Królikowski|Steckiewicz|1964|s=85}}:

<math>\begin{align}
x_2 - x_1 = \frac{\sqrt\Delta}{a},\\
\Delta = a^2(x_1 - x_2)^2.
\end{align}</math>

To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego (<math>a</math>){{odn|Babiański|Chańko|Wej|2022|s=314}}:

<math>\begin{align}
b &= -a(x_1 + x_2),\\
c &= ax_1 x_2,\\
p &= \frac{x_1 + x_2}{2},\\
q &= -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{a^2 (x_1-x_2)^2}{4a} =\\
&= -a\Bigl( \frac{x_1-x_2}{2}\Bigr)^2.
\end{align}</math>

=== Postać iloczynowa ===
Jeśli funkcja kwadratowa ma [[Miejsce zerowe|miejsca zerowe]] <math>x_1, x_2</math> – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci<ref name=cke />:

<math>\begin{align}
f(x) &= a(x - x_1)(x - x_2) =\\
&= a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\right).
\end{align}</math>

W dziedzinie [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] jest to możliwe, jeśli [[Wyróżnik wielomianu|wyróżnik]] jest [[Znak liczby|nieujemny]]<ref name=cke /> (<math>\Delta \geqslant 0</math>) – wtedy jego [[pierwiastek kwadratowy]] jest rzeczywisty. W dziedzinie [[liczby zespolone|zespolonej]] jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny (<math>\Delta < 0</math>), to

<math>\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},</math>
gdzie <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]]{{odn|Żakowski|1972|s=252}}.

Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując [[Wzory skróconego mnożenia|wzór na różnicę kwadratów]] (<math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math>):

<math>\begin{align}
a(x - p)^2 + q &=  a\left[ (x - p)^2 + \frac{q}{a} \right] =\\
&=  a\left[ (x - p)^2 - \sqrt{-\tfrac{q}{a}}^2 \right] =\\
&= a\left[ (x - p) - \sqrt{-\tfrac{q}{a}}\right]\left[(x - p) + \sqrt{-\tfrac{q}{a}} \right] =\\
&= a\left[ x - \tfrac{-b}{2a} - \sqrt{\tfrac{\Delta}{4a^2}} \right]\left[ x - \tfrac{-b}{2a} + \tfrac{\sqrt\Delta}{2a} \right] =\\
&= a\left[ x - \tfrac{-b}{2a} - \tfrac{\sqrt\Delta}{2a} \right]\left[ x - \tfrac{-b}{2a} + \tfrac{\sqrt\Delta}{2a} \right].
\end{align}</math>

Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:

<math>\begin{align}
q &= f(p) = a(p-x_1)(p-x_2) =\\
&= a\Big(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1 \Big)\Big(\frac{x_1+x_2}{2}-x_2 \Big) =\\
&= a\Big(\frac{x_2-x_1}{2}\Big)\Big(\frac{x_1-x_2}{2}\Big) =\\
&= -a\Big(\frac{x_1-x_2}{2}\Big)^2.
\end{align}</math>

== Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych ==
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|mały|Wykresy [[Funkcja rzeczywista|rzeczywistych]] funkcji kwadratowych <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> dla różnych wartości współczynników <math>a, b, c.</math>]]

Funkcja kwadratowa zmiennej [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] o rzeczywistych współczynnikach ma [[Wykres funkcji|wykres]] – w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] na [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyźnie euklidesowej]] jest nim [[Parabola (matematyka)|parabola]]<ref name=cke/>. Jej wierzchołkiem jest punkt <math>(p, q),</math> gdzie <math>p, q</math> są dane jw.<ref name=cke/>, który jest zarazem [[Ekstremum funkcji|ekstremum]] funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] wykresu o [[wektor]] <math>[p, q]</math> względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią <math>OX</math> układu. W szczególności <math>p = \tfrac{x_1 + x_2}{2},</math> co oznacza, że [[odcięta]] wierzchołka paraboli jest [[Średnia arytmetyczna|średnią arytmetyczną]] miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:
* każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi <math>OY;</math>
* <math>a > 0</math> daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi <math>OY,</math> jeżeli <math>a < 0,</math> to są one skierowane przeciwnie<ref name=cke/>,
* zwiększanie <math>|a|</math> sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
* zmiana <math>b</math> powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią <math>OY</math> przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem <math>OX,</math> jeżeli <math>b < 0,</math> lub przeciwnie do niego, jeżeli <math>b > 0,</math>
* parametr <math>c</math> odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż <math>OY</math> zgodnie z jej zwrotem, gdy <math>c > 0,</math> lub przeciwnie do niego, gdy <math>c < 0.</math>

Każde dwie parabole są [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobne]]. Dokładniej, jeśli:
: <math>f_1(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1,</math>
: <math>f_2(x) = a_2x^2 + b_2x + c_2,</math>

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem <math>f_2(x)</math> względem paraboli będącej wykresem <math>f_1(x)</math> jest równa{{fakt|data=2024-01}}:
: <math>k=\left|\frac{a_1}{a_2}\right|.</math>

== Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych ==
{{zobacz też|przebieg zmienności funkcji}}

Niżej zakłada się rzeczywistą [[Dziedzina (matematyka)|dziedzinę]] i [[Przeciwdziedzina|przeciwdziedzinę]]: <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=ax^2 + bx + c.</math> 

=== Własności ogólne ===
* Funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]] wyłącznie dla <math>b = 0;</math>
* nigdy nie jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzysta]] ani [[funkcja okresowa|okresowa]];
* [[funkcja monotoniczna|monotoniczność]]: maleje (rośnie) w przedziale <math>(-\infty, p],</math> po czym rośnie (maleje) w przedziale <math>[p, \infty)</math> dla <math>a > 0\; (a < 0);</math>
* [[Ekstremum funkcji|ekstrema]]: jedno ekstremum globalne w punkcie <math>p</math> (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla <math>a > 0</math> i maksimum dla <math>a < 0</math> (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
* przez to [[Obraz (matematyka)|zbiorem wartości]] jest [[przedział (matematyka)|przedział]]:
** <math>[q, \infty)</math> dla <math>a > 0</math>;
** <math>(-\infty, q]</math> dla <math>a < 0,</math>;
* [[wypukłość funkcji|wypukłość]]: wypukła dla <math>a > 0</math> i wklęsła dla <math>a < 0</math> (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
* [[punkt przegięcia|punkty przegięcia]]: brak.

=== Własności [[Analiza rzeczywista|analityczne]] ===
* Brak [[Asymptota|asymptot]];
* [[funkcja ciągła|ciągłość]] w całej dziedzinie;
* [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalność]] w całej dziedzinie; kolejne [[pochodna funkcji|pochodne]]:
:: <math>f'(x) = 2ax + b,</math>
:: <math>f''(x) = 2a,</math>
:: <math>f^{(n)} \equiv 0\;\;{}</math> dla <math>n > 2,</math>
: oznacza to, że funkcja jest [[funkcja regularna|gładka]];
* [[funkcja całkowalna|całkowalność]] [[całka Riemanna|w sensie Riemanna]] i [[Całka Lebesgue’a|Lebesgue’a]]; [[funkcja pierwotna]]:
:: <math>F(x) = \tfrac{1}{3} ax^3 + \tfrac{1}{2} bx^2 + cx + C.</math>

== Przypadek dziedziny zespolonej ==
Funkcja kwadratowa <math>w(z) = z^2,</math> gdzie <math>z \in \mathbb C \setminus \{0\}</math> jest [[odwzorowanie równokątne|odwzorowaniem równokątnym]] (konforemnym) przekształcającym [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyznę zespoloną]] (parametryzowaną zmienną) <math>z</math> w [[płaszczyzna dwulistna|dwulistną płaszczyznę]] (parametryzowaną zmienną) <math>w.</math> Siatka izometryczna <math>z</math> składa się z dwóch rodzin [[Hiperbola (matematyka)|hiperbol]]:
: <math>\begin{cases}
u = x^2 - y^2, \\
v = 2xy.
\end{cases}</math>

[[Punkt stały|Punktami stałymi]] tego odwzorowania są <math>0</math> oraz <math>1</math>{{odn|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=636}}.

== Przykłady i zastosowania ==
=== Geometria ===
* [[pole powierzchni|Pole]] koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
* Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych [[wielokąt foremny|wielokątów foremnych]].
* Pole [[sfera|sfery]] jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
* Pole [[wielościan foremny|wielościanów foremnych]] jest kwadratową funkcją długości [[krawędź (stereometria)|krawędzi]].

=== Inne działy matematyki ===
[[Plik:First six triangular numbers.svg|mały|[[Liczby trójkątne]] to wartości pewnej funkcji kwadratowej.]]

* Suma [[ciąg arytmetyczny|ciągu arytmetycznego]] jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]], zwane [[Liczby trójkątne|liczbami trójkątnymi]]{{fakt|data=2024-01}}.
* Funkcja [[funkcje trygonometryczne|cosinus]] może być przybliżana funkcją kwadratową{{fakt|data=2024-01}}.

=== Fizyka ===
* W [[kinematyka|kinematyce]]:
** dla [[ruch jednostajnie zmienny|ruchu jednostajnie zmiennego]] położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
** [[przyspieszenie dośrodkowe]] jest kwadratową funkcją [[prędkość|prędkości liniowej]] lub [[prędkość kątowa|kątowej]].
* W [[dynamika (fizyka)|dynamice]]:
** [[Rzut ukośny (fizyka)|rzut ukośny]], przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego [[tor ruchu|trajektorią]] jest wykres funkcji kwadratowej, czyli [[parabola (matematyka)|parabola]];
** dla wysokich prędkości [[opór aero(hydro)dynamiczny|opór ośrodka]] jest kwadratową funkcją prędkości;
** [[energia kinetyczna]] jest kwadratową funkcją prędkości lub [[pęd (fizyka)|pędu]];
** [[energia potencjalna]] dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego [[prawo Hooke’a]] jest kwadratową funkcją położenia.

== Zobacz też ==
{{wikibooks|Matematyka dla liceum/Funkcja_kwadratowa|Funkcja kwadratowa}}
{{commons|Category:Quadratic functions}}
* [[ciąg Eulera]]
* [[jednorodna funkcja kwadratowa]]
* [[metoda Simpsona]]
* [[równanie czwartego stopnia#Równanie dwukwadratowe|równanie dwukwadratowe]]
* [[zbiór Julii]]
* [[zbiór Mandelbrota]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | imię = Wojciech | nazwisko = Babiański | imię2 = Lech | nazwisko2 = Chańko | imię3 = Karolina | nazwisko3 = Wej | tytuł = Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum | wydawca = [[Wydawnictwo Nowa Era]] | miejsce = Warszawa | rok = 2022 | isbn = 978-83-267-3486-1 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Królikowski |imię = Jerzy |nazwisko2 = Steckiewicz |imię2 = Celestyn |tytuł = Matematyka. Wzory, definicje i tablice |wydanie = VIII poprawione |wydawca = [[Wydawnictwa Komunikacji i Łączności]] |miejsce = Warszawa |rok = 1964 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bronsztejn |imię = Igor N. |nazwisko2 = Siemiendiajew |imię2 = Konstantin A. |tytuł = Matematyka. Poradnik encyklopedyczny |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1976 |wydanie = VI |odn = tak }}
* {{Cytuj książkę | imię = Wojciech | nazwisko = Żakowski | autor link = Wojciech Żakowski | tytuł = funkcja stopnia drugiego, równanie kwadratowe'' [w:] ''Mały słownik matematyczny | wydawca = [[Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”]] | miejsce = Warszawa | rok = 1972 | odn = tak }}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |tytuł = Encyklopedia szkolna – matematyka  |wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1990 |isbn = 83-02-02551-8 |strony = 313 }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2019/10/trojmian-kwadratowy/ | autor = Bartłomiej Bzdęga | tytuł = Trójmian kwadratowy | data = październik 2019 | data dostępu = 2024-11-03 }}
{{otwarty dostęp}} Nagrania kanału [[Khan Academy]] na [[YouTube]] [dostęp 2024-01-15]:
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=61pfAa2SCXQ Rysowanie paraboli w postaci kanonicznej – ćwiczenie]'', 25 sierpnia 2014;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=NHFxqF9yxcE Wykres funkcji kwadratowej: przesuwanie i skalowanie]'', 27 sierpnia 2014;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=C1WZ-2PGTb8 Dopełnienie do kwadratu – postać kanoniczna funkcji kwadratowej]'', 25 września 2014;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=RhAvvxepqOo Różne postacie funkcji kwadratowej]'', 17 grudnia 2014;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=2M5qRTVUuU4  W szponach hazardu – zadanie o prawdopodobieństwie z nierównością kwadratową]'', 28 marca 2015;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=e1B9NDWFs-c Komary w Białowieży – zadanie z funkcją kwadratową ]'', 23 kwietnia 2015;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=3WibhAEBwIY Maksimum funkcji kwadratowej – przykład ]'', 20 grudnia 2015;
* Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=0y4mVI-KZ0U Porównywanie własności funkcji kwadratowych]'', 26 marca 2017;
* Krzysztof Kwiecień, ''[https://www.youtube.com/watch?v=_jH-bOl2eAQ  Postać iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie tekstowe]'', 14 czerwca 2018.
* Krzysztof Kwiecień, ''[https://www.youtube.com/watch?v=eWLcN7yeLc8 Wprowadzenie do funkcji kwadratowych zapisanych w postaci wierzchołkowej (kanonicznej)]'', 23 czerwca 2018;
{{otwarty dostęp}} Wiktor Bartol, ''[https://www.youtube.com/watch?v=9-igorGvZhA Funkcja kwadratowa]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].

{{Wielomiany}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Krzywe stożkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje wielomianów]]