Tekst źródłowy strony Funkcja homograficzna

[[Plik:Hyperbola one over x.svg|mały|Wykres przykładowej funkcji homograficznej: ''y = 1/x''. Dla każdego niezerowego ''x'' liczba ''y'' przedstawia jego [[Liczba odwrotna|odwrotność]].]]

'''Funkcja homograficzna''', '''homografia'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3912522 | tytuł = funkcja homograficzna | data dostępu = 2022-03-11}}</ref> – różnie definiowany typ [[Funkcja wymierna|funkcji wymiernej]]:

* w sensie szerokim jest to każdy iloraz [[funkcja liniowa|funkcji liniowych]] niebędący [[funkcja stała|stałą]]:
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d},</math>

: gdzie współczynniki <math>a,b,c,d</math> spełniają warunek <math>ad-bc\ne 0</math><ref name="UEPWN">''Uniwersalna Encyklopedia PWN'', Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1.</ref><ref name="Europa">{{cytuj książkę |tytuł = Słownik encyklopedyczny – matematyka |wydawca = Wydawnictwo Europa |strony = 69 |rok = 1998 |miejsce = Wrocław |isbn = 83-85336-06-0}}</ref>;

* w sensie wąskim są to ilorazy funkcji liniowych niebędące funkcjami liniowymi – zdarza się dodatkowy warunek <math>c\ne 0</math><ref name="Pogorzelski">{{cytuj książkę |nazwisko = Pogorzelski |imię = Witold |autor link = Witold Pogorzelski |tytuł = Analiza matematyczna |miejsce = Warszawa |rok = 1953 |wydawca = PWN |tom = I |strony = 55}}</ref><ref name="Bronsztejn">{{cytuj książkę |nazwisko = Bronsztejn |imię = I.N. |nazwisko2 = Siemiendiajew |imię2 = K.A. |tytuł = Matematyka. Poradnik encyklopedyczny |miejsce = Warszawa |rok = 1976 |wydawca = PWN}}</ref><ref name="zpe">{{otwarty dostęp}} Gabriela Pendyk, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DpcjsQTAA Postać kanoniczna funkcji homograficznej]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].</ref>.

Powyższy wzór jest znany jako '''postać ogólna''' homografii, a oprócz niej istnieje także '''postać kanoniczna'''<ref name="zpe" />:
: <math>f(z) = \frac{r}{z-p}+q,\ r\neq 0.</math>

[[Dziedzina (matematyka)|Dziedziną]] homografii może być [[podzbiór]]:
* [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]<ref name="zpe" />: <math>f: \mathbb{R}\backslash\{-\frac{d}{c}\} \to \mathbb{R},\ a,b,c,d \in \mathbb{R};</math>
* [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]]<ref name="epwn" />: <math>f: \mathbb{C}\backslash\{-\frac{d}{c}\} \to \mathbb{C},\ a,b,c,d \in \mathbb{C};</math>
* dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]] <math>K,</math> gdzie <math>f: K\backslash\{-\frac{d}{c}\} \to K,</math> gdzie <math>a, b, c, d \in K.</math>

Dla ustalonej dziedziny zbiór wszystkich homografii rozumiany szeroko tworzy [[Działanie grupy na zbiorze|grupę przekształceń]]<ref name="epwn" />. W dziedzinie zespolonej homografie należą do [[Odwzorowanie równokątne|przekształceń konforemnych]]<ref name="epwn" />.

Funkcji tego typu używa się m.in. w [[Kartografia|kartografii]] i [[Fizyka|fizyce]], np. [[Mechanika płynów|mechanice płynów]]<ref name="epwn" />.

== Podstawowe własności ==
=== Dziedzina i zbiór wartości ===
; Przypadek <math>c \ne 0.</math>
Funkcja homograficzna <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}</math>
* jest określona dla <math>x\ne -\frac{d}{c},</math> czyli poza miejscem zerowym mianownika, czyli dziedziną jest <math>K\setminus \{-\tfrac{d}{c}\},</math>
* nie przyjmuje wartości <math>\frac{a}{c},</math> czyli zbiorem wartości jest <math>K\setminus \{\tfrac{a}{c}\},</math> bo w przeciwnym razie spełniona byłaby równość
:: <math>\frac{ax + b}{cx + d} - \frac{a}{c} = \frac{bc - ad}{c(cx + d)} = 0,</math>
: która jest sprzeczna z tym, że <math>bc - ad \ne 0.</math>

; Przypadek <math>c = 0.</math>
Funkcja homograficzna <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}</math>
* jest określona dla dowolnego <math>x\in K,</math>
* przyjmuje dowolne wartości ciała <math>K.</math>

=== Różnowartościowość homografii ===
Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli <math>f(x_1)=f(x_2),</math> czyli
: <math>\frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d},</math>

to
: <math>(ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d).</math>

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy
: <math>(ad-bc)(x_1-x_2) = 0,</math>

a ponieważ <math>ad - bc \ne 0,</math> więc
: <math>x_1=x_2.</math>

=== Przedłużenie homografii ===
Jeśli powiększymy ciało <math>K</math> o pewien element <math>\infty,</math> nazywany [[Geometria rzutowa|punktem w nieskończoności]], to na zbiorze
<math>\hat K = K \cup \{\infty\}</math> można przedłużyć funkcję homograficzną <math>f</math> następująco:
* dla <math>c=0 \quad f(\infty) = \infty,</math>
* dla <math>c\ne 0 \quad f(\infty) = \frac{a}{c}, \quad f\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty.</math>

Ponieważ jednocześnie
* dla <math>c=0 \quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \infty,</math>
* dla <math>c\ne 0 \quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \frac{a}{c},\quad x\ne -\frac{d}{c}\Rightarrow f(x)\ne \infty,</math>

to homografia <math>f\colon \hat{K} \to \hat{K}</math> jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|funkcją wzajemnie jednoznaczną]].

=== Ciągłość homografii ===
Jeśli <math>K=\mathbb{R}</math> lub <math>K=\mathbb{C},</math> to homografia jako [[funkcja wymierna]] jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] w swojej dziedzinie.

Po [[uzwarcenie|uzwarceniu]] ciała [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb{R}</math> lub ciała [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] <math>\mathbb{C}</math> punktem <math>\infty</math> i przedłużeniu homografii na zbiory odpowiednio <math>\hat\mathbb{R}</math> i <math>\hat\mathbb{C},</math> zachodzą następujące zależności:
* dla <math>c=0 \quad f( \infty)=\lim_{x \to \infty} f(x)</math>
* dla <math>c\ne 0 \quad f( \infty)=\lim_{x \to \infty} f(x),\; f( -\tfrac{d}{c})=\lim_{x \to -\tfrac{d}{c}} f(x)</math>

co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.

Oczywiście <math>\hat\mathbb{R}</math> jest [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z [[okrąg|okręgiem]], <math>\hat\mathbb{C}</math> ze [[sfera|sferą]].

== Grupowe własności funkcji homograficznych ==
Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym [[ciało (matematyka)|ciele]] (włączając przypadek <math>c=0</math>) tworzy [[grupa (matematyka)|grupę]] ze względu na składanie<ref name="epwn" />.

Rzeczywiście, jeśli
: <math>g(x)=\frac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1},\quad f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},</math>

gdzie <math>a_1d_1-b_1c_1 \ne 0,\quad ad-bc \ne 0,</math>

to
: <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_1a+b_1c)x+a_1b+b_1d}{(c_1a+d_1c)x+c_1b+d_1d},</math>

gdzie <math>(a_1a+b_1c) (c_1b+d_1d) - (a_1b+b_1d)(c_1a+d_1c) = (a_1d_1-b_1c_1)(ad-bc) \ne 0.</math>

Czyli <math>g\circ f</math> też jest homografią.

Homografia <math>f(x)=x</math> jest jednością ([[element neutralny|elementem neutralnym]]) tej grupy.

Dla homografii <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}</math> [[element odwrotny|elementem odwrotnym]] jest homografia <math>f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}.</math>

Oznaczmy przez <math>M_f = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}</math> macierz złożoną ze współczynników homografii <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.</math>

Zauważmy, że warunek dla współczynników <math>ad-bc \ne 0</math> oznacza, iż <math>M_f</math> jest [[Macierz odwrotna|macierzą nieosobliwą]].

Zauważmy też, że współczynniki złożenia <math>g\circ f</math> są elementami iloczynu macierzy <math>M_g\cdot M_f.</math>

Można to symbolicznie zapisać
: <math>M_{g\circ f} = M_g\cdot M_f.</math>

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można [[zanurzenie (matematyka)|zanurzyć]] w grupie nieosobliwych macierzy <math>2\times 2</math> nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie [[izomorfizm]]u – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała '''R''' wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała '''C''' wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

== Rozkład homografii ==
Dla homografii, dla której <math>c\ne 0</math> dostajemy
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}= \frac{bc-ad}{c}\cdot\frac{1}{z+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}.</math>

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:
# translacji: <math>f_1(z)=z+\frac{d}{c},</math>
# inwersji: <math>f_2(z)=\frac{1}{z},</math>
# [[jednokładność]]: <math>f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z,</math>
# translacja: <math>f_4(z)=z+\frac{a}{c}.</math>

Jeśli zaś <math>c=0,</math> to natychmiast widać, że homografia jako [[przekształcenie liniowe]] jest złożeniem dwóch funkcji:
# jednokładności: <math>f_1(z)=\frac{a}{d}\cdot z,</math>
# translacji: <math>f_2(z)=z+\frac{b}{d}.</math>

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz <math>2 \times 2</math> może być przedstawiona jako [[Mnożenie macierzy|iloczyn macierzy]] postaci
: <math>
\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}.
</math>

Weźmy dwie dowolne homografie:
: <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad g(x)=\frac{a'x+b'}{c'x+d'},</math>

gdzie <math>c, c' \neq 0.</math>

Wówczas oznaczając <math>D = ad-bc,\ D' = a'd'-b'c',</math> dostaniemy:
: <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}
= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}
= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c},</math>

czyli
: <math>f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x),</math>

gdzie h<sub>2</sub>, h<sub>1</sub> są liniowymi funkcjami:
: <math>h_2(x)=\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c},</math>
: <math>h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}.</math>

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

== Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej ==
Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:
: <math>y_1 = ax_1 +bx_2,</math>
: <math>y_2 = cx_1+dx_2,</math>

gdzie <math>ad-bd\ne 0</math> oraz <math>x_i, y_i</math> są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w [[Współrzędne jednorodne|układzie współrzędnych jednorodnych]].

Ponieważ
: <math>\frac{y_1}{y_2} = \frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} = \frac {a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d},</math>

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) <math>x:=\frac{x_1}{x_2},\quad y:=\frac{y_1}{y_2}</math> dostaniemy:
: <math>y = \frac{ax+b}{cx+d}.</math>

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym [[układ współrzędnych rzutowych|układzie współrzędnych rzutowych]].
Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy <math>c=0,</math> to wyróżnimy grupę [[przekształcenie afiniczne|przekształceń afinicznych]] prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

== Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej ==
Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki <math>a,b,c,d</math> były liczbami rzeczywistymi.

=== Wykres ===
[[Plik:Homografia.svg|thumb|400px|Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują [[asymptota|asymptoty]] wykresu.]]
[[Wykres funkcji]] homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej [[hiperbola (matematyka)|hiperboli]]; posiada on dwie [[Asymptota|asymptoty]]:
: pionową <math>x= \frac{- d}{c}</math>&nbsp; i &nbsp; poziomą <math>y= \frac{a}{c}.</math>

Punkt <math>S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)</math> to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] na każdym z przedziałów <math>\left(-\infty,-\frac{d}{c}\right)</math> oraz <math>\left(-\frac{d}{c},\infty\right).</math> Jest ona
* przedziałami malejąca gdy <math>ad - bc < 0</math> oraz
* przedziałami rosnąca <math>ad - bc > 0.</math>

=== Przesunięcie wykresu hiperboli ===
Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej <math>f(x) = \frac{ax+b}{cx+d},</math> gdzie <math>c \neq 0</math> oraz <math>ad - bc \neq 0</math> powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich <math>x</math> mamy
: <math>\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}.</math>

Zatem wykres funkcji <math>f</math> powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu
: <math>y=\frac{bc-ad}{c^2x}</math>

o wektor <math>\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}].</math>

== Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej ==
Homografia określona w ciele liczb zespolonych '''C''' jest [[funkcja holomorficzna|funkcją holomorficzną]].

Użycie ciała '''C''' do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: <math>C \equiv R^2</math>) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas [[Odwzorowanie równokątne|odwzorowaniem konforemnym]], czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją <math>C\cup\{\infty\}\to C\cup\{\infty\}</math> zachowującą [[okrąg|okręgi]], tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona <math>f(z)=\frac{1}{z}.</math> Geometrycznie zdefiniowaną [[inwersja (geometria)|inwersję]] otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze [[sprzężenie zespolone|sprzężeniem]], czyli stosując funkcję <math>f(z)=\frac{1}{\bar z}.</math>

Homografia określona w ciele '''C''' nazywana jest także odwzorowaniem [[August Ferdinand Möbius|Möbiusa]]{{fakt|data=2022-03}}.

== Przykłady i zastosowania ==
* Suma nieskończonego [[szereg geometryczny|szeregu geometrycznego]] jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu.
* [[Ułamek łańcuchowy]] to [[złożenie funkcji|złożenie]] wielu, nawet nieskończenie wielu homografii.
* W [[optyka geometryczna|optyce geometrycznej]], zarówno [[katoptryka|katoptryce]], jak i [[dioptryka|dioptryce]], używane jest [[równanie soczewki|równanie zwierciadła]] lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
* [[Efekt Dopplera]], m.in. w optyce falowej i [[akustyka|akustyce]]: przy ruchu źródła fali względem [[ośrodek|ośrodka]] zmiana [[długość fali|długości fali]] oraz odbieranej [[częstotliwość|częstotliwości]] jest homograficzną funkcją prędkości źródła.
* W [[szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]] [[Albert Einstein|Einsteina]] używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]]. Prędkość w jednym [[układ inercjalny|układzie inercjalnym]] jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.

== Zobacz też ==
* [[Grupa modularna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę |url = http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY |tytuł = Moebius Transformations Revealed |autor = Douglas N. Arnold |autor2 = Jonathan Rogness (University of Minnesota) |język = en |data dostępu = 2009-05-01}} – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej

{{Funkcje elementarne}}
{{Krzywe stożkowe}}
{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Geometria rzutowa]]
[[Kategoria:Geometria konforemna]]
[[Kategoria:Funkcje wymierne]]
[[Kategoria:Powierzchnie Riemanna]]