Tekst źródłowy strony Forma wieloliniowa

'''Forma <math>k</math>-liniowa, funkcjonał <math>k</math>-liniowy''', albo '''<math>k</math>-tensor''' na przestrzeni liniowej <math>V</math> nad ciałem <math>K</math> to funkcja postaci
: <math>F\colon V^k \to K,</math>

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy <math>k</math>-liniowe stanowią uogólnienie [[Forma liniowa|form liniowych]] i [[Forma dwuliniowa|dwuliniowych]] oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia [[tensor]]a. Odgrywają bardzo ważną rolę w [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]] gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się [[Forma różniczkowa|formy różniczkowe]] i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po [[Rozmaitość różniczkowa|rozmaitości]].

== Definicja ==
Niech <math>V</math> [[Przestrzeń liniowa|będzie przestrzenią]] liniową nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K.</math> Funkcję <math>F\colon V^k \to K,</math> która jest [[Przekształcenie liniowe|liniowa]] względem każdego ze swoich argumentów, tzn.
: <math>F(v_1,\dots,v_i+v_i',\dots,v_k)=F(v_1,\dots,v_i,\dots, v_k)+F(v_1,\dots,v_i',\dots,v_k)</math>

oraz
: <math>F(v_1,\dots,\alpha v_i,\dots, v_k) =\alpha F(v_1,\dots, v_i,\dots, v_k)</math>

dla dowolnych <math>v_1,\dots,v_k,v_i' \in V,\ \alpha \in K</math> i <math>i=1,\dots, k</math> nazywamy ''formą <math>k</math>-liniową, funkcjonałem <math>k</math>-liniowym'' lub krótko: ''<math>k</math>-formą lub <math>k</math>-tensorem'' na <math>V</math><ref>{{Cytuj |autor = L. Górniewicz; R.S. Ingarden |tytuł = Analiza matematyczna dla fizyków |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UMK}}</ref>.

Zbiór <math>k</math>-tensorów na <math>V</math> oznaczamy <math>T^k(V).</math>

== Struktura przestrzeni liniowej ==
W <math>T^k(V)</math> na przestrzeni liniowej <math>V</math> nad ciałem <math>K</math> wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:
: <math>(F+G)(x):=F(x)+G(x),</math>
: <math>(\alpha F)(x):=\alpha F(x)</math>

dla <math>x \in V^k</math> i <math>\alpha \in K.</math>

== Iloczyn tensorowy form wieloliniowych ==
{{Zobacz też|Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych}}
Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest ''iloczyn tensorowy form wieloliniowych'' <math>\otimes\colon T^k(V)\times T^l(V) \to T^{k+l}(V)</math> dany wzorem
: <math>(F \otimes G)(v_1,\dots,v_k, v_{k+1},\dots, v_{k+l}):=F(v_1,\dots,v_k)\cdot G(v_{k+1},\dots, v_{k+l})</math>

dla <math>v_1,\dots, v_{k+l} \in V.</math> Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:
: <math>(F \otimes G) \otimes H = F \otimes (G \otimes H),</math>

i rozdzielny względem dodawania:
: <math>F\otimes(G+H)=F\otimes G+F \otimes H</math>
: <math>(F+G)\otimes H = F\otimes H + G\otimes H</math>

nie jest jednak przemienny:
: <math>F \otimes G \neq G \otimes F.</math>

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa <math>V</math> ma wymiar <math>n \geqslant 2</math> i rozpatrzmy rzutowania <math>e^i</math> na <math>i</math>-tą współrzędną względem bazy <math>(e_i)_{i=1}^n</math> tzn. funkcje <math>e^i\colon V \to K, i=1,\dots,n</math> dane wzorem
: <math>e^i(v)=e^i\left(\sum_{j=1}^n v_j e_j \right):=v_i.</math>

Rzutowania <math>e^i</math> są <math>1</math>-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy
: <math>e^1 \otimes e^2(e_1,e_2)=e^1(e_1)e^2(e_2)=1 \cdot 1\neq 0 \cdot 0 =e^2(e_1)e^1(e_2)=e^2\otimes e^1(e_1,e_2).</math>

== Baza i przedstawienie ==
Załóżmy, że przestrzeń liniowa <math>V</math> nad <math>K</math> jest <math>n</math>-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na <math>i</math>-tą współrzędną względem bazy <math>(e_i)_{i=1}^n</math> przestrzeni <math>V,</math> tzn. funkcje <math>e^i\colon V \to K</math> postaci
: <math>e^i(v)=e^i\left(\sum_{j=1}^n v_j e_j\right):=v_i.</math>

Rzutowania te są <math>1</math>-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny
: <math>e^{i_1}\otimes\ldots \otimes e^{i_k}</math>

dla pewnych indeksów <math>1 \leqslant i_1,\dots,i_k \leqslant n.</math> Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń <math>T^k(V).</math> W szczególności wynika z tego, że każdą <math>k</math>-formę na <math>V</math> można jednoznacznie przedstawić w postaci
: <math>F=\sum_{i_1,\dots,i_k =1}^n r_{i_1,\dots,i_k}e^{i_1}\otimes\ldots \otimes e^{i_k}</math>

dla pewnych skalarów <math>r_{i_1,\dots, i_k} \in K.</math>

== Cofnięcie formy ==
Rozpatrzmy przestrzeń <math>T^k(W).</math> Każde przekształcenie liniowe <math>L\colon V \to W</math> indukuje odwzorowanie <math>L^*\colon T^k(W)\to T^k(V)</math> dane wzorem
: <math>L^*F(v_1,\dots, v_k):=F(Lv_1,\dots, Lv_k),</math>

dla <math>F \in T^k(W),</math> które nazywamy ''cofnięciem formy''. <math>L^*F</math> jest już <math>k</math>-tensorem na <math>V.</math>

== Formy antysymetryczne ==
W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.
{{Zobacz też|Forma różniczkowa}}

=== Definicja ===
Niech <math>F \in T^k(v).</math> Niech <math>S_k</math> oznacza rodzinę permutacji zbioru <math>\{1,\dots,k\}.</math> Powiemy, że <math>F</math> jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji <math>\sigma \in S_k</math> zachodzi
: <math>F(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(k)})= \sgn(\sigma)F(v_1,v_2,\dots, v_k).</math>

=== Uwagi do definicji ===
(1) Innymi słowy <math>F</math> jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy <math>F</math> na przeciwny.

(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru <math>\{1\}</math> jest [[Funkcja tożsamościowa|identyczność]] i jej znak wynosi 1, to każda <math>1</math>-forma jest antysymetryczna.

(3) Zbiór <math>k</math>-form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej <math>V</math> oznaczamy <math>\Lambda^k(V).</math>

(4) <math>\Lambda^k(V)</math> tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

(5) Z powodu warunku antysymetryczności <math>\Lambda^k(V)</math> na <math>n</math>-wymiarowej przestrzeni liniowej <math>V</math> jest przestrzenią liniową <math>\binom{n}{k}</math>-wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni <math>\Lambda^k(V).</math> W szczególności dla <math>k > n</math> formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.

=== Antysymetryzacja ===
Dowolną formę <math>F \in T^k(V)</math> można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego ''antysymetryzacją'' albo ''alternacją'' <math>\mathrm{Alt}\colon T^k(V) \to \Lambda^k(V)</math> danego wzorem

<math>\mathrm{Alt}F(v_1,\dots, v_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k} \sgn(\sigma)F(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(k)}).</math>

Jeżeli <math>F\in T^k(V)</math> jest formą antysymetryczną to
: <math>\mathrm{Alt}F = F,</math>

czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.

=== Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych ===
Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy <math>\wedge: \Lambda^k(V)\times \Lambda^l(V)\to \Lambda^{k+l}(V)</math> tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem
: <math>F \wedge G:=\frac{(k+l)!}{k!l!}\mathrm{Alt}(F \otimes G).</math>

Nazywamy go ''iloczynem zewnętrznym'', albo ''alternującym''. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:
: <math>(F \wedge G) \wedge H = F \wedge (G \wedge H),</math>

rozdzielny względem dodawania:
: <math>(F+G)\wedge H = F\wedge H + G \wedge H,</math>
: <math>F \wedge (G + H)=F \wedge G + F \wedge H.</math>

Ponadto zachodzi:
: <math>F \wedge G = (-1)^{kl}G \wedge F</math>

dla <math>F \in \Lambda^k (V), \ G \in \Lambda^l(V).</math>

=== Baza i przedstawienie ===
Niech <math>V</math> będzie <math>n</math>-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem <math>K.</math> Utwórzmy iloczyny
: <math>e^{i_1}\wedge \ldots \wedge e^{i_k}</math>

dla <math>1 \leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n.</math> Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni <math>\Lambda^k(V).</math> W szczególności wynika z tego, że każdą formę <math>F \in \Lambda^k(V)</math> można jednoznacznie przedstawić w postaci
: <math>F=\sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n}r_{i_1,\dots, i_k} e^{i_1}\wedge \ldots \wedge e^{i_k}</math>

dla pewnych skalarów <math>r_{i_1,\dots,i_k} \in K.</math>

== Przykłady ==
(1) Zdefiniujmy <math>F\colon \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> wzorem
: <math>F(x,y)=F((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=x_1y_1+2x_1y_2+3x_2y_1+4x_2y_2.</math>

<math>F</math> jest <math>2</math>-tensorem. Możemy go zapisać w postaci
: <math>\begin{align}
& F((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \\
={} & e^1(x)e^1(y)+2e^1(x)e^2(y)+3e^2(x)e^1(y)+4e^2(x)e^2(y) \\
={} & e^1 \otimes e^1 (x,y)+2e^1\otimes e^2(x,y)+3e^2\otimes e^1(x,y)+4e^2\otimes e^2(x,y),
\end{align}</math>

gdzie <math>e^1,e^2\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> to rzutowania zdefiniowane
: <math>e^1(x_1,x_2):=x_1, \quad e^2(x_1,x_2):=x_2.</math>

Widzimy, że <math>F</math> możemy zapisać
: <math>F=e^1 \otimes e^1 +2e^1\otimes e^2+3e^2\otimes e^1+4e^2\otimes e^2.</math>

(2) [[Przestrzeń unitarna|Iloczyn skalarny]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb R</math> to funkcja taka, że
: <math>\langle\alpha v_1+\beta v_2, v \rangle=\alpha \langle v_1, v \rangle+\beta \langle v_2, v \rangle,</math>
: <math>\langle v, \alpha v_1+\beta v_2 \rangle = \alpha \langle v, v_1 \rangle + \beta \langle v, v_2 \rangle.</math>

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest <math>2</math>-tensorem na <math>V.</math>

(3) Definicja aksjomatyczna [[wyznacznik]]a mówi, że wyznacznik to funkcja <math>\det\colon (\mathbb R^n)^n \to \mathbb R</math> taka, że
: <math>\det(v_1, \dots, v_i+v_i',\dots, v_n)= \det(v_1,\dots,v_i, \dots, v_n)+\det(v_1, \dots, v_i', \dots, v_n),</math>
: <math>\det(v_1, \dots, \alpha v_i, \dots, v_n)= \alpha \det(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n),</math>
: <math>\det(v_1, \dots, v_i, \dots, v_j, \dots, v_n)=- \det(v_1, \dots, v_j, \dots, v_i, \dots, v_n),</math>

Gdzie <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> oznaczają tutaj kolumny macierzy <math>(v_1,v_2 \dots, v_n).</math> Oznacza to, że wyznacznik jest <math>n</math>-tensorem na <math>\mathbb R^n.</math> Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.

(4) Niech <math>V</math> będzie przestrzenią liniową z pewną bazą <math>(e_i)_{i=1}^n.</math> Obliczmy <math>e^i \wedge e^j.</math> Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy
: <math>\begin{align}
&(e^i \wedge e^j)(v_1, v_2) \\
={}&\frac{2!}{1!1!} \mathrm{Alt}\left( e^i \otimes e^j \right)(v_1, v_2) \\
={}&2! \frac{1}{2!}\left( e^i \otimes e^j(v_1,v_2)-e^i\otimes e^j(v_2,v_1)\right) \\
={}&e^i \otimes e^j (v_1,v_2)-e^j \otimes e^i(v_1,v_2).
\end{align}</math>

Widzimy, że
: <math>e^i \wedge e^j=e^i \otimes e^j - e^j \otimes e^i.</math>

W szczególności wynikają z tego przydatne związki
: <math>e^i \wedge e^j = -e^j \wedge e^i, \quad e^i \wedge e^i =0.</math>

== Zobacz też ==
* [[forma różniczkowa]]
* [[iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych]]
* [[tensor]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Górniewicz |imię = L |nazwisko2 = Ingarden |imię2 = R.S. |tytuł = Analiza matematyczna dla fizyków |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UMK}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Spivak |imię = M. |tytuł = Analiza matematyczna na rozmaitościach}}

{{Formy na przestrzeniach liniowych}}

[[Kategoria:Formy na przestrzeniach liniowych]]