Tekst źródłowy strony Forma kwadratowa

{{spis treści}}
'''Forma kwadratowa''' ('''funkcjonał kwadratowy''') – [[wielomian#Funkcje wielomianowe|wielomian]] [[funkcja jednorodna|jednorodny]] II stopnia <math>n</math> zmiennych określony na [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] <math>V</math> – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać<ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Forma kwadratowa |id = 3929539 |data dostępu = 2021-07-24}}</ref>:
: <math>Q(\mathbf x)\equiv Q(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}{x_i}{x_j},</math>

gdzie:
* <math>a_{ij}</math> – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone,
* <math>x_i, x_j, i,j = 1,\dots,n</math> – zmienne, współrzędne dowolnego wektora <math>\mathbf x</math> danej przestrzeni liniowej <math>V,</math> <math>\mathbf x=[x_1, \dots,x_n],</math>
* jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby <math>c \in K</math> zachodzi równość,
*: <math>Q(c\,\mathbf x) = c^2\, Q(\mathbf x).</math>

W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie:
: <math>Q(x) = a\,x^2\quad \textrm{(unarna)},</math>
: <math>Q(x,y) = a\,x^2 + b\,xy + c\,y^2\quad \textrm{(binarna)},</math>
: <math>Q(x,y,z) = a\,x^2 + b\,y^2 + c\,z^2 + d\,xy + e\,xz + f\,yz \quad\textrm{(ternarna)},</math>

gdzie <math>a,\dots,f</math> są stałymi współczynnikami<ref group="uwaga">Tradycja zapoczątkowana przez Gaussa każe używać parzystych współczynników przy iloczynach różnych zmiennych, tj. w postaci <math>2b</math> zamiast <math>b</math> w formach binarnych oraz <math>2d,\ 2e,\ 2f</math> zamiast <math>d,\ e,\ f</math> w formach ternarnych. Obie konwencje są stosowane w literaturze.</ref>.

Np.
: <math>Q(x,y,z) = 4x^2 + 2xy - 3y^2+z^2</math>

jest formą kwadratową trzech zmiennych <math>x,y,z.</math>

'''[[Funkcja kwadratowa|Funkcje kwadratowe]]''', jak np. <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że <math>b</math> oraz <math>c</math> są równe 0).

Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. [[teoria liczb]], [[algebra liniowa]], [[teoria grup]] (w tym teoria grup ortogonalnych), [[geometria różniczkowa]] ([[Rozmaitość riemannowska|metryka Riemanna]], druga forma fundamentalna), [[topologia różniczkowa]].

Uwaga: ''O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[charakterystyka (algebra)|charakterystyki]] różnej od 2''.

== Historia ==
Pytania, czy jakaś liczba całkowita spełnia zadaną formę kwadratową, zadawano wiele stuleci temu. Przykładem jest teoria Fermata o sumie dwóch kwadratów, która określa, kiedy istnieje liczba całkowita spełniająca formę <math>x^2 + y^2,</math> gdzie <math>x,</math> <math>y</math> – liczby całkowite. Problem ten jest analogiczny do znajdowania [[Trójki pitagorejskie|trójek pitagorejskich]], który pojawił się w drugim tysiącleciu p.n. Chr.<ref group="uwaga">[http://web.archive.org/web/20011124174901/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html Babylonian Pythagoras].</ref>

W 628, Hinduski matematyk [[Brahmagupta]] napisał dzieło ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' zawierające m.in. wyniki badań równań typu <math>1 = x^2 - ny^2 = c.</math> W szczególności znalazł rozwiązanie równania (zwanego dziś [[Równanie Pella|równaniem Pella]]) <math>1 = x^2 - ny^2 = 1</math><ref group="uwaga">[https://www.webcitation.org/6Jeq9449q?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html Brahmagupta biography].</ref>. W Europie problem ten badali Brouncker, [[Leonhard Euler|Euler]] i [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]].

W 1801 [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] opublikował dzieło ''Disquisitiones Arithmeticae'', w którym główną część poświęcił teorii binarnych form kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Jego idee zostały uogólnione i z czasem odkryto związki z [[Ciało kwadratowe|liczbowymi ciałami kwadratowymi]], z [[Grupa modularna|grupami modularnymi]] i innymi działami matematyki.

== Forma kwadratowa a forma dwuliniowa ==
'''Tw. 1''' Każdej formie kwadratowej<ref group="uwaga">Niektórzy autorzy terminy „forma” i „funkcjonał” bądź traktują synonimicznie, bądź stosują tylko jeden z nich, np. Komorowski (s. 104) i Więsław (s. 217) używają jedynie określenia „forma kwadratowa”, podając definicję odwzorowania przestrzeni liniowej w ciało skalarów. Inni, np. Gleichgewicht (s. 179–180) czy Newelski (rozdz. 14), odróżniają „funkcjonał” ([[Funkcja|przekształcenie]], [[Wielomian#Funkcje wielomianowe|funkcja wielomianowa]], przedstawienie niezależne od współrzędnych) od „formy” ([[Wyrażenie algebraiczne|wyrażenie formalne]], [[wielomian]], przedstawienie w [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazie]]). W tym podejściu „forma kwadratowa” jest przedstawieniem „funkcjonału kwadratowego” w ustalonej bazie, co wyjaśniono w definicji; w tym artykule nie stosuje się tej konwencji.</ref><ref group="uwaga">Poniższy warunek można przedstawić w dogodniejszej postaci <math>Q(\mathbf x + \mathbf y) = Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y) + 2B(\mathbf x, \mathbf y);</math> w szczególności <math>B(\mathbf x, \mathbf y) = 0</math> jest równoważne <math>Q(\mathbf x + \mathbf y) = Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y),</math> co czyni z <math>Q</math> [[Funkcja addytywna (algebra)|funkcję addytywną]] tej przestrzeni liniowej.</ref> <math>Q(\mathbf x)</math> odpowiada wzajemnie jednoznacznie [[Forma dwuliniowa|'''symetryczna''' forma dwuliniowa]] <math>B(\mathbf x, \mathbf x)</math> określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki
: <math>Q(\mathbf x) = B(\mathbf x, \mathbf x),</math>
: <math>B(\mathbf x, \mathbf y) = B(\mathbf y, \mathbf x) = \tfrac{1}{2} (Q(\mathbf {x+y}) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y)).</math>

Np.

'''(a) formą dwuliniową''' dodatnio określoną i symetryczną jest [[iloczyn skalarny]] wektorów <math>\langle \mathbf {x,y}\rangle</math>
: <math>B(\mathbf {x,y})\equiv \langle \mathbf x|\mathbf y\rangle \geqslant 0,</math>

'''(b)''' '''formą kwadratową''' odpowiadająca jednoznacznie iloczynowi skalarnemu jest iloczyn skalarny wektora przez samego siebie – definiuje on '''kwadrat [[przestrzeń unormowana|normy]]''', która określa długości wektorów przestrzeni liniowej:
: <math>\langle \mathbf x|\mathbf x\rangle = ||\mathbf x||^2.</math>

'''Df.''' Funkcję <math>B</math> nazywa się formą dwuliniową '''odpowiadającą''' formie <math>Q</math> ('''stowarzyszoną''' z formą <math>Q</math>).

Czynnik <math>\frac{1}{2}</math> jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których <math>2 = 0;</math> formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w [[#Ciała charakterystyki 2|oddzielnej sekcji]].

== Wybór bazy a przedstawienie formy ==
Jeżeli <math>V</math> jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru <math>n,</math> to wybór bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia <math>Q</math> w postaci jednorodnego wielomianu kwadratowego<ref group="uwaga">Indukcja po liczbie wyrazów daje <math>Q(\mathbf x_1 + \ldots + \mathbf x_k) =  \sum_{i=1}^k Q(\mathbf x_i) + 2\sum_{i<j} B(\mathbf x_i, \mathbf x_j)</math> dla dowolnego <math>k \geqslant 2</math> i wektorów <math>x_i \in V.</math> Stąd jeżeli <math>\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\}</math> jest [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] tej przestrzeni, to <math>Q(x_1 \mathbf e_1 + \ldots + x_n \mathbf e_n) = \sum_{i=1}^n q_i x_i^2 + \sum_{i<j} q_{ij} x_i x_j,</math> gdzie <math>q_i = Q(\mathbf e_i)</math> oraz <math>q_{ij} = 2B(\mathbf e_i, \mathbf e_j).</math></ref>. Z drugiej strony dowolny jednorodny wielomian II stopnia <math>V \to K</math> zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na <math>V</math><ref group="uwaga">Jeśli <math>Q(x_1 \mathbf e_1 + \ldots + x_n \mathbf e_n)</math> jest postaci wielomianowej jak wyżej, to natychmiast otrzymuje się pierwszą część definicji, <math>Q(c \mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x)</math> dla dowolnego <math>c \in K,</math> z kolei dla <math>\mathbf x = x_1 \mathbf e_1 + \ldots + x_n \mathbf e_n</math> oraz <math>\mathbf y = y_1 \mathbf e_1 + \ldots + y_n \mathbf e_n</math> uzyskuje się drugą, <math>B(\mathbf x, \mathbf y) = \frac{1}{2} (Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y)) = \sum_{i=1}^n q_i x_i y_i + \frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} q_{ij}(x_i y_j + y_i x_j),</math> przy oznaczeniach <math>q_i = Q(\mathbf e_i)</math> oraz <math>q_{ij} = 2B(\mathbf e_i, \mathbf e_j).</math> W notacji macierzowej wzór ten można wyrazić jako <math>\mathbf x \,A \,\mathbf y,</math> gdzie kropka oznacza standardowy [[iloczyn skalarny]] [[Przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]] <math>K^n,</math> zaś <math>\mathbf x = [x_1\ \dots\ x_n],</math> <math>\mathbf y = [y_1\ \dots\ y_n]^\mathrm T</math> oraz
: <math>A = \left[\begin{smallmatrix}
q_1 & \frac{1}{2} q_{12} & \dots & \frac{1}{2} q_{1n} \\
\frac{1}{2} q_{12} & q_2 & \dots & \frac{1}{2} q_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{2} q_{1n} & \frac{1}{2} q_{2n} & \dots & q_n
\end{smallmatrix}\right]</math>

jest macierzą formy dwuliniowej na <math>V,</math> co czyni zadość definicji formy kwadratowej.</ref>.

== Własności ==
'''Tw.''' Forma dwuliniowa jest symetryczna.

'''Df.''' Formy kwadratowe nazywa się '''równoważnymi''', jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe<ref group="uwaga">Na mocy tożsamości polaryzacyjnej.</ref>.

'''Df.''' Przestrzeń <math>(V, Q)</math> nazywa się '''przestrzenią kwadratową'''.

'''Df.''' Przestrzenie <math>(V_1, Q_1)</math> i <math>(V_2, Q_2)</math> nazywa się '''izomorficznymi''', jeżeli istnieje taki [[izomorfizm]] liniowy <math>\mathrm A\colon V_1 \to V_2,</math> że
: <math>Q_2 (\mathrm A(\mathbf x)) = Q_1(\mathbf x),</math>
: dla wszystkich <math>\mathbf x \in V_1.</math>

'''Df.''' '''Ortogonalną sumą prostą''' <math>V_1 \perp V_2</math> przestrzeni <math>(V_1, Q_1)</math> i <math>(V_2, Q_2)</math> nazywa się [[Suma prosta przestrzeni liniowych|sumę prostą]] przestrzeni <math>V_1 \oplus V_2,</math> w której zdefiniowano formą kwadratową
: <math>Q(\mathbf x_1, \mathbf x_2) = Q_1(\mathbf x_1) + Q_2(\mathbf x_2).</math>

'''Oznaczenie:''' <math>V^{\perp n}</math> oznacza <math>n</math>-krotną ortogonalną sumę prostą przestrzeni kwadratowej <math>V</math> ze sobą.

'''Df.''' '''Wektorem izotropowym''' względem <math>Q</math> (bądź <math>V</math>) nazywa się niezerowy wektor <math>\mathbf x \in V,</math> dla którego
: <math>Q(\mathbf x) = 0.</math>

Innymi słowy: [[wektor]] izotropowy to wektor niezerowy, będący rozwiązaniem równania
: <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = 0,</math>
: czyli wektor niezerowy, który jest [[Ortogonalność|ortogonalny]] sam do siebie.

== Macierze odpowiadające formom ==
{{Zobacz też|forma dwuliniowa#Macierz formy|o1=macierz formy dwuliniowej}}
'''(1)''' Wybierając bazę w <math>V</math> formie kwadratowej <math>Q</math> zdefiniowanej na przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej, można przypisać macierz <math>A</math> symetryczną <math>n\times n</math> w następujący sposób:
: <math>Q(\mathbf x)\equiv Q(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}{x_i}{x_j} = \mathbf x^\text{T} A \,\mathbf x,</math>

gdzie <math>\mathbf x=[x_1, \dots,x_n]</math> jest dowolnym wektorem o <math>n</math> współrzędnych <math>x_1,\dots,x_n,</math> takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny <math>^\mathrm T</math> oznacza transpozycję.

Macierz <math>A</math> nazywaną '''macierzą formy kwadratowej''' względem ustalonej bazy<ref group="uwaga">Wynika to wprost z zapisania <math>Q</math> w postaci wielomianowej z macierzą <math>\mathbf M</math> o postaci jak w przypisie wyżej.</ref>.

'''(2)''' Symetrycznej formie dwuliniowej <math>B</math> stowarzyszonej z formą <math>Q</math> odpowiada identyczna macierz <math>A,</math> taka że
: <math>B(\mathbf x, \mathbf y)=\mathbf x^T A\,\mathbf y.</math>

'''(3)''' Zmiana bazy w <math>V</math> powoduje, że formie <math>Q</math> przyporządkowana zostaje inna macierz <math>A',</math> przy czym zachodzi związek
: <math>A'= C^T A \,C.</math>

gdzie <math>C</math> jest [[macierz przekształcenia liniowego|macierzą zamiany bazy]].

'''Df.''' Macierze danej formy kwadratowej, wyrażone w różnych bazach, nazywa się [[Macierz#Klasy macierzy a wybór bazy|macierzami przystającymi]].

'''Df. Wyróżnikiem''' formy kwadratowej <math>Q</math> reprezentowanej przez macierz <math>A</math> nazywa się liczbę
: <math>\Delta_Q = \det A</math> [[arytmetyka modularna|modulo]] niezerowe kwadraty,

gdzie <math>\det A</math> – [[wyznacznik]] macierzy <math>A.</math>

'''Df.''' Formę kwadratową nazywa się '''niezdegenerowaną''' ('''nieosobliwą'''), gdy jej [[Macierz odwrotna|macierz jest odwracalna]], tzn. ma niezerowy wyznacznik.

== Diagonalizacja ==
{{Zobacz też|diagonalizacja}}
'''Df.''' Forma kwadratowa <math>Q(\mathbf x)</math> jest w '''postaci diagonalnej''', jeśli zadana jest jako suma kwadratów współrzędnych wektora <math>\mathbf x,</math> tj.
: <math>Q(\mathbf x) \equiv Q(x_1,\dots,x_n) = a_1\, x_1^2 + \ldots + a_n \, x_n^2.</math>

'''Tw.''' Forma kwadratowa <math>Q</math> jest w postaci diagonalnej, jeżeli jej reprezentacja macierzowa jest [[macierz diagonalna|diagonalna]], tzn. wszystkie wyrazy macierzy poza główną przekątną są równe zeru.

; Twierdzenie Lagrange’a: Dla każdej formy kwadratowej istnieje baza, w której forma ma postać diagonalną
'''Tw.''' Wyznacznik formy kwadratowej w postaci diagonalnej wynosi
: <math>a_1 \dots a_n \bmod (K^*)^2</math><ref group="uwaga">Niech <math>\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\}</math> będzie bazą ortogonalną stowarzyszonej z <math>Q</math> symetrycznej formy dwuliniowej <math>B</math> (istnieje zawsze dla ciał charakterystyki różnej od 2); w bazie tej wyrazy mieszane znikają, a więc <math>Q</math> jest w postaci diagonalnej; macierz <math>A</math> jest wówczas diagonalna, a więc jej wyróżnik jest wymaganej postaci.</ref>

'''Konstrukcja bazy ortogonalnej'''

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej jej formy dwuliniowej:
# należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora <math>\mathbf e_1,</math> dla którego <math>Q(\mathbf e_1) \ne 0,</math>
# trzeba wybrać z podprzestrzeni <math>\mathbf e_1^\perp</math> wektor <math>\mathbf e_2,</math> taki że <math>Q(\mathbf e_2) \ne 0;</math> wektory <math>\mathbf e_1</math> i <math>\mathbf e_2</math> są ortogonalne i liniowo niezależne,
# należy przejść do <math>\mathbf e_1^\perp \cap \mathbf e_2^\perp</math> i wskazać w niej wektor <math>\mathbf e_3,</math> taki że <math>Q(\mathbf e_3) \ne 0</math> itd.,
# proces kończy się na podprzestrzeni, na której <math>Q</math> zeruje się tożsamościowo:
## jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której <math>Q</math> ma postać diagonalną,
## w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą <math>Q</math> na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

'''Twierdzenia'''

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające [[liczby podwójne]]. Dla formy kwadratowej <math>Q</math> określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne:

(a) ma ona postać <math>x^2 - y^2</math> w pewnej bazie,

(b) jej wyróżnik jest równy <math>-1,</math>

(c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

== Klasyfikacja ==
: ''W tej sekcji <math>Q</math> będzie niezdegenerowana, zaś <math>K</math> oznaczać będzie [[liczby rzeczywiste]] <math>\mathbb R,</math> [[liczby zespolone]] <math>\mathbb C</math> lub dowolne [[ciało skończone]] <math>\mathbb F</math> nieparzystej charakterystyki.''

=== Sygnatura ===
{{osobny artykuł|twierdzenie o bezwładności form kwadratowych}}
; Twierdzenie<ref group="uwaga">Twierdzenie to można uogólnić na zdegenerowane formy kwadratowe – nazywa się je wtedy [[twierdzenie o bezwładności form kwadratowych|twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych]].</ref>: Każda forma kwadratowa na <math>\mathbb C^n</math> jest równoważna z formą diagonalną <math>\mathbf x_1^2 + \ldots + \mathbf x_n^2.</math>

'''Twierdzenie'''
: Dowolna forma kwadratowa na <math>\mathbb R^n</math> jest równoważna z formą diagonalną postaci
: <math>\mathbf x_1^2 + \ldots + \mathbf x_p^2 - \mathbf x_{p+1}^2 - \ldots - \mathbf x_n^2,</math>

gdzie: <math>p \in [0, n].</math>

Jeśli <math>p + q = p' + q',</math> to formy
: <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_{p, q}</math> oraz <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_{p', q'}</math>

są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>p = p'</math> i <math>q = q'.</math>

'''Wniosek:'''

Dana forma kwadratowa na <math>\mathbb R^n</math> jest wyznaczona z dokładnością do równoważności przez parę liczb <math>(p, q),</math> którą można uzyskać z [[Diagonalizacja|diagonalizacji]] formy:
: <math>p</math> jest liczbą znaków dodatnich,
: <math>q = n - p</math> to liczba znaków ujemnych.

'''Df.''' Parę liczb <math>(p, q)</math> nazywa się '''sygnaturą''' formy kwadratowej.

(czasem sygnaturą nazywa się tylko liczbę <math>p,</math> gdyż <math>q</math> jest jednoznacznie wyznaczone przy danym <math>n</math>).

== Formy kwadratowe a geometria ==
Formy kwadratowe wprowadzają na zbiorze <math>\mathbb R^n</math>
* najogólniejsze [[Tensor metryczny|metryki]] różniczkowe zwane [[Rozmaitość pseudoriemannowska|metrykami pseudoriemannowskimi]],
* przez to generują najogólniejsze [[Rozmaitość|rozmaitości]] – [[Rozmaitość pseudoriemannowska|rozmaitości pseudoriemannowskie]] <math>\mathbb R^{p,q},</math> gdzie <math>n = p + q,</math>
* metryki zaś umożliwiają definicję innych wielkości geometrycznych rozmaitości

– mówimy, że formy kwadratowe generują [[Rozmaitość pseudoriemannowska|geometrie pseudoriemannowskie]] (w szczególnym przypadku formy – [[Geometria euklidesowa|geometrię euklidesową]]). Z tego względu formy kwadratowe mają fundamentalne znaczenie dla [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]].

=== Określoność formy ===
{{Zobacz też|określoność formy}}
'''Df.''' Formę kwadratową <math>Q</math> na przestrzeni liniowej nad <math>\mathbb R</math> nazywa się ''dodatnio określoną'' (lub ''dodatnią''), jeżeli <math>Q(\mathbf x) > 0</math> i ''ujemnie określoną'' (lub ''ujemną''), gdy <math>Q(\mathbf x) < 0</math> dla wszystkich <math>\mathbf x \ne \mathbf 0</math><ref group="uwaga">Niezdegenerowane formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się ''nieokreślonymi''. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach ''określonych niedodatnio'' i ''nieujemnie'' (bądź ''półokreślonych dodatnio'' i ''ujemnie'').</ref>

'''Tw.''' Każda dodatnio określona forma na przestrzeni wymiaru <math>n</math> jest równoważna sumie <math>n</math> kwadratów. Podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie.

Własności te nie zależą od wyboru współrzędnych w przestrzeni.

=== Uniwersalność ===
Jeśli <math>Q</math> jest określona na przestrzeni <math>V</math> co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym <math>K,</math> to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to ''uniwersalność'' formy <math>Q,</math> tzn. <math>Q(V) = K</math><ref group="uwaga">Niech <math>\mathbf x \ne \mathbf 0</math> będzie wektorem, dla którego <math>Q(\mathbf x) = 0;</math> ponieważ <math>Q(c\mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x) = 0,</math> a <math>Q \not\equiv 0</math> (z niezdegenerowania), to <math>\dim V \geqslant 2;</math> z niezdegenerowania formy istnieje <math>\mathbf y \in V,</math> dla którego stowarzyszona forma dwuliniowa <math>B(\mathbf x, \mathbf y) \ne 0.</math> Wówczas dla dowolnego <math>c \in K</math> zachodzi <math>Q(c\mathbf x + \mathbf y) = Q(c\mathbf x) + Q(\mathbf y) + 2B(c\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf y) + 2B(\mathbf x, \mathbf y)c,</math> czyli jest to funkcja liniowa zmiennej <math>c,</math> która przyjmuje wszystkie wartości z <math>K.</math></ref><ref group="uwaga">Twierdzenie jest fałszywe, gdy <math>Q</math> jest zdegenerowana, np. <math>Q(x, y) = x^2</math> na <math>\mathbb R^2,</math> gdzie <math>Q(0, 1) = 0.</math></ref>. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna<ref group="uwaga">Po przedstawieniu formy w postaci diagonalnej wystarczy dowieść, iż wielomian postaci <math>ax^2 + by^2</math> przyjmuje wszystkie wartości z <math>K</math> dla <math>a, b \in K^*;</math> otóż forma <math>x^2 - cy^2,</math> gdzie <math>c \in K^*</math> jest niekwadratem, przyjmuje zero wyłącznie dla <math>x = y = 0,</math> co dowodzi różnowartościowości tej funkcji liniowej zmiennej <math>c.</math> Wynik ten tłumaczy też dlaczego ograniczenie <math>\dim V \geqslant 3</math> w pierwszym twierdzeniu jest ostre.</ref>.

; Twierdzenie: Niech <math>c \in K^*</math> będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru <math>n \geqslant 1</math> nad ciałem skończonym <math>K</math> jest równoważna z dokładnie jedną formą na <math>K^n,</math> mianowicie: <math>x_1^2 + \ldots + x_n^2</math> lub
: <math>x_1^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + cx_n^2.</math>

W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

== Reguła równoległoboku i polaryzacja ==
{{Zobacz też|reguła równoległoboku|tożsamość polaryzacyjna}}
'''Tw. 1''' Dla dowolnej formy kwadratowej <math>Q</math> zachodzi wzór nazywany ''regułą równoległoboku''<ref group="uwaga">Wzór ten łatwo wyprowadzić z alternatywnej postaci drugiego wzoru definiującego: wystarczy dodać go do siebie, przy czym jeden z nich z podstawieniem <math>\mathbf y = -\mathbf y.</math> Odjęcie ze wspomnianym podstawieniem daje kolejny.</ref>
: <math>Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2\big(Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y)\big).</math>

'''Tw. 2''' Podobny wzór
: <math>Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y) = 4B(\mathbf x, \mathbf y)</math>

znany również jako ''tożsamość polaryzacyjna'', wyraża formę dwuliniową <math>B</math> za pomocą formy kwadratowej <math>Q,</math> jednak w inny sposób niż podany w definicji.

Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się [[John von Neumann]] i [[Pascual Jordan]], którzy dowiedli

; Tw. 3 (Jordana-von Neumanna)
Założenia:

(1) <math>Q\colon V \to K</math> spełnia tożsamość
: <math>Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2Q(\mathbf x) + 2Q(\mathbf y).</math>

(2) <math>B\colon V \times V \to K</math> jest określona wzorem
: <math>4B(\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y).</math>

Teza:
: <math>B</math> jest symetryczna, dwuaddytywna oraz
: <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = Q(\mathbf x).</math>

Dwuaddytywność pociąga <math>\mathbb Z</math>-dwuliniowość. Stąd <math>B</math> z powyższego twierdzenia jest <math>\mathbb Q</math>-dwuliniowa, jeśli <math>K</math> jest charakterystyki zero lub <math>\mathbb F</math>-dwuliniowa, jeśli <math>K</math> jest charakterystyki <math>p.</math> Oznacza to, że jeśli <math>K = \mathbb Q</math> lub <math>\mathbb F,</math> to forma <math>Q</math> jest kwadratowa. Jeżeli <math>K = \mathbb R,</math> to forma <math>Q</math> jest kwadratowa, o ile <math>V</math> jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: [[przestrzeń zupełna|zupełna]]), przy dodatkowym założeniu, że <math>Q</math> jest [[funkcja ciągła|ciągła]] (co pociąga ciągłość <math>B,</math> a stąd jej <math>\mathbb R</math>-dwuliniowość).

Przy oznaczeniach <math>\|\cdot\| = Q(\cdot)</math> oraz <math>\langle \cdot, \cdot \rangle = B(\cdot, \cdot)</math> i przyjęciu <math>K = \mathbb R, \mathbb C</math> powyższe twierdzenie mówi, że:
* w dowolnej [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] <math>X</math> z normą <math>\|\cdot\|,</math> w której spełniona jest [[Reguła równoległoboku|tożsamość równoległoboku]], można wprowadzić [[przestrzeń unitarna|iloczyn skalarny]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> za pomocą [[Tożsamość polaryzacyjna|tożsamości polaryzacyjnej]],
* wprowadzenie to czyni z <math>X</math> [[przestrzeń Hilberta]].

== Ciała charakterystyki 2 ==
: ''O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[charakterystyka (algebra)|charakterystyki]] 2.''

Niech <math>V</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]]. Przekształcenie <math>Q\colon V \to K</math> nazywa się '''formą kwadratową''' albo ''funkcjonałem kwadratowym'' na <math>V,</math> jeżeli:
* jest [[funkcja jednorodna|jednorodne II stopnia]],
*: <math>Q(c\mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x),</math>
* następująca funkcja jest [[forma dwuliniowa|dwuliniowa]]:
*: <math>B(\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y).</math>

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: ''forma kwadratowa'' to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz <math>\mathbf N</math> formy kwadratowej <math>Q</math> jest [[macierz trójkątna|górnotrójkątna]], nie zaś [[macierz symetryczna|symetryczna]]; macierz <math>\mathbf B = \mathbf N + \mathbf N^\mathrm T</math> odpowiadającej jej formy dwuliniowej <math>B</math> jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej<ref group="uwaga">Formalnie jest to macierz <math>\mathbf M</math> pomnożona przez 2.</ref>. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki<ref group="uwaga">Wówczas związek między formą kwadratową <math>Q</math> a odpowiadającą jej symetryczną formą dwuliniową wyraża się wzorem <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = 2Q(\mathbf x).</math></ref>, jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest <math>B = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy <math>\mathbf B</math> spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie: <math>B = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>Q</math> jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w <math>Q</math> są ''potrzebne'' w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest [[funkcja różnowartościowa|iniektywna]], ani [[Surjekcja|surjektywna]]: różne formy kwadratowe (np. <math>(\mathbf x, \mathbf y) \mapsto x_1^2 + x_1x_2</math> oraz <math>(\mathbf x, \mathbf y) \mapsto x_1x_2</math>) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np. <math>(\mathbf x, \mathbf y) \mapsto x_1y_1 + x_2y_2</math>) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako <math>\mathbf X \cdot \mathbf{MX},</math> gdzie <math>\mathbf M</math> jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy <math>\mathbf N</math> formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci <math>\mathbf B</math> jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest [[forma dwuliniowa#Definicja|alternująca]]:
: <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = Q(2\mathbf x) - 2Q(\mathbf x) = Q(\mathbf 0) - 0 = 0.</math>

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać <math>Q</math> z <math>B,</math> gdyż <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = Q(\mathbf x),</math> ale dla charakterystyki 2 jest <math>B(\mathbf x, \mathbf x) = 0.</math> Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z <math>Q</math> do <math>B</math> w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o <math>B</math> nie wystarcza do odzyskania informacji o <math>Q.</math> Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

== Zobacz też ==
'''Typy form'''
* [[funkcjonał|forma]]
* [[forma liniowa]]
* [[forma półtoraliniowa]]
* [[forma dwuliniowa]]
'''Własności'''
* [[określoność formy]]
'''Przykłady form w geometrii'''
* [[Przestrzeń euklidesowa|metryka euklidesowa]]
* [[Rozmaitość pseudoriemannowska|metryka pseudoriemannowska]]
* [[Rozmaitość riemannowska|metryka riemannowska]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* H. Guściora, M. Sadowski, ''Repetytorium z algebry liniowej'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1979, s. 123–138.
* T. Trajdos, ''Matematyka dla inżynierów'', PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.
* [[Witold Więsław|Więsław, Witold]]: ''Algebra geometryczna''. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974.
* Komorowski, Jacek: ''Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
* [[Bolesław Gleichgewicht|Gleichgewicht, Bolesław]]: ''Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. {{ISBN|83-01-03903-5}}.
* [[Ludomir Newelski|Newelski, Ludomir]]: ''Algebra liniowa II'', [http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/alglin2A/skrypt2/skrypt/node15.html Rozdział 14]. W przygotowaniu.

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = QuadraticForm | tytuł = Quadratic Form }} [dostęp 2024-03-07].
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quadratic_form Encyklopedia Mathematica] (j. ang.)

{{Formy na przestrzeniach liniowych}}
{{Krzywe stożkowe}}
{{Kwadryki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Formy kwadratowe| ]]