Tekst źródłowy strony Filtr Czebyszewa

[[Plik:Przykladowe chki filtrow czebyszewa.PNG|thumb|400px|Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu]]
'''Filtr Czebyszewa''' – rodzaj [[filtr (elektronika)|filtru elektrycznego]], którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie [[wielomiany Czebyszewa|wielomianów Czebyszewa]] do [[Aproksymacja|aproksymacji]] [[Charakterystyka częstotliwościowa|charakterystyki częstotliwościowej]] amplitudowej. Optymalizacja przebiegu [[charakterystyka filtru|charakterystyki]] częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

== Typy filtrów Czebyszewa ==
Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:
* filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w [[Pasmo przepustowe filtru|paśmie przepustowym]], oraz płaski przebieg charakterystyki w [[Pasmo zaporowe filtru|paśmie zaporowym]],
* filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

=== Typ II (inwersyjny) ===
'''Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu)''' w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w [[pasmo zaporowe filtru|paśmie zaporowym]] oraz płaski przebieg charakterystyki w [[pasmo przepustowe filtru|paśmie przepustowym]].
[[Plik:Ch ka amplitudowa wzmocnienia tlumienia filtru.PNG|thumb|400px|Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD]]
Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):
* operowanie częstotliwością znormalizowaną <math>\Omega,</math>
* konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora <math>s</math> dla otrzymanych transmitancji <math>K(s).</math>

==== Oznaczenia charakterystyk [[Charakterystyka częstotliwościowa|amplitudowych częstotliwościowych]] FDP ====
Kwadrat modułu [[Transmitancja operatorowa|transmitancji]] <math>K(s)</math> filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym <math>(s = j\omega),</math> dany jest następującym wzorem:
:: <math>|K(\Omega)|^2=K(S)\cdot K(-S)=\frac{1}{1+\epsilon^2\cdot \frac{T_N^2\cdot \left(\frac{\Omega_{zap}}{\Omega_c}\right)}{T_N^2 \left(\frac{\Omega_{zap}}{\Omega}\right)}},</math>

gdzie:
: <math>A_{max}</math> – przyjmuje się wartość 3 dB,
: <math>\epsilon</math> – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym, <math>\epsilon =\sqrt{10^{0{,}1A_{max}} - 1},</math> stąd: <math>\epsilon =1,</math>
: <math>\Omega_{zap}</math> – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,
: <math>\Omega_c = 1,</math>
: <math>T_N</math> – wielomian Czebyszewa rzędu <math>N.</math>

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji <math>K(s){:}</math>
:: <math>s_v = \frac{\Omega_{zap}}{\sigma \cdot \sin\left(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi}{2}\right)\pm j\cdot \omega_{HA}\cdot \cos\left(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi}{2}\right)},</math>

gdzie:
: <math>v_{max}=1,2,\dots,N,</math>
: <math>A_{min}</math> – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,
: <math>\omega_{HA}=\cosh\left(\frac{1}{N}\cdot \sinh^{-1}\sqrt{10^{0,1\cdot A_{min}}-1}\right),</math>
: <math>\sigma_{HA}=\sqrt{\omega_{HA}^2 -1}</math>

oraz zera transmitancji <math>K(s){:}</math>
:: <math>\omega_{0\mu} =\pm\frac{\Omega {zap}}{\cos(\frac{2\mu -1}{N}\cdot \frac{\Pi}{2})},</math>

gdzie:
: <math>\mu_{max} = \begin{Bmatrix}
\frac{N-1}{2} \quad \text{dla N-nieparzystych} \\
\frac{N}{2} \quad \text{dla N-parzystych}
\end{Bmatrix}.</math>

Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części <math>Re < 0</math> !) do wzoru na transmitancję <math>K(s){:}</math>
:: <math>K(s)= \frac{\prod_{\mu =1}^{\mu=max}\cdot (s^2+\omega^2_{o\mu})}{\prod_{v =1}^{v=max}\cdot (s-s_v)},</math>

gdzie:
: <math>\mu_{max} = \begin{Bmatrix}
\frac{N-1}{2} \quad \text{dla N-nieparzystych} \\
\frac{N}{2} \quad \text{dla N-parzystych}
\end{Bmatrix},</math>
: <math>v_{max}=1,2,\dots,N.</math>

==== Przykład ====
Przykładowa transmitancja <math>K(s)</math> dla filtru FDP rzędu 3 <math>(N = 3)</math> o parametrach <math>\Omega_{zap} = 1{,}15,</math> <math>A_{min} = 9\ \text{dB}{:}</math>
:: <math>K(s) = \frac{s^2+1{,}3279^2}{(s^2 + 0{,}6199\cdot s + 1{,}1974)\cdot (s+1{,}9315)}.</math>

[[Plik:Chka modulu transmitancji filtru p1.PNG|thumb|600px|Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3|centre]]

==== Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu) ====
[[Plik:Rodzina chyk amin omega filtr n3.PNG|thumb|400px|Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3]]
Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: <math>A_{max}</math> = 3 dB @ <math>\Omega_c</math> = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:
* przy stałym rzędzie <math>N</math> filtru, istotna jest zależność pomiędzy <math>A_{min}</math> a <math>\Omega_{zap},</math>
* gdy wartości <math>\Omega_{zap}</math> bliskie <math>\Omega_c</math> = 1 – powodują zmniejszanie wartości <math>A_{min}</math> (zjawisko niekorzystne),
* gdy <math>\Omega_{zap} \ll 1,</math> wtedy zwiększa się wartość <math>A_{min}</math> (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

== Bibliografia ==
* Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: ''Teoria sygnałów'', Helion, Gliwice 1999.
* G. Fritzsche, ''Entwurf linearer Schaltungen'', VEB Verlag Technik, 1962.

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę | url = http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalowcyfrowych | tytuł = Materiały dydaktyczne DSP AGH | opublikowany = dsp.agh.edu.pl | archiwum = https://web.archive.org/web/20131203003552/http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalowcyfrowych | zarchiwizowano = 2013-12-03}}

{{Filtry elektryczne}}

[[Kategoria:Filtry|Czebyszew]]