Tekst źródłowy strony Element regularny półgrupy

'''Element regularny''' [[półgrupa|półgrupy]] – element półgrupy <math>(S, \cdot),</math> mający uogólnioną odwrotność, tj. taki element <math>x \in S,</math> że dla pewnego <math>y \in S</math> zachodzi warunek
: <math>xyx=x.</math>

Jeżeli <math>x</math> jest elementem regularnym <math>S,</math> czyli <math>xyx=x</math> dla pewnego <math>y\in S,</math> to <math>yxy</math> jest elementem odwrotnym do <math>x.</math>

[[Podzbiór]] półgrupy nazywany jest ''podzbiorem regularnym'', gdy każdy jego element jest regularny. ''Półgrupa regularna'' to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

== <math>\mathcal{D}</math>-klasy regularne ==
Regularność jest cechą <math>\mathcal{D}</math>-klas półgrupy (zob. [[relacje Greena]]), co pokazuje następujące twierdzenie.

'''Twierdzenie.''' Jeżeli pewna <math>\mathcal{D}</math>-klasa <math>\mathrm{D}</math> półgrupy <math>S</math> zawiera element regularny, to każdy element <math>\mathrm{D}</math> jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja <math>\mathcal{D}</math>-klas regularnych:

'''Twierdzenie.''' Niech <math>\mathrm{D}\in S/\mathcal{D}.</math> <math>\mathrm{D}</math> jest reglarna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych <math>\mathrm{L}\in S/\mathcal{L}</math> i <math>\mathrm{R}\in S/\mathcal{R}</math> takich, że <math>\mathrm{L}\subseteq\mathrm{D}</math> i <math>\mathrm{R}\subseteq\mathrm{D}</math> zarówno <math>\mathrm{L},</math> jak i <math>\mathrm{R}</math> zawiera przynajmniej jeden [[idempotentność|idempotent]].

== Bibliografia ==
* E.S. Ljapin, ''Semigroups'', Translations of Mathematical Monographs, vol. 3, [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]], 1963.

[[Kategoria:Teoria półgrup]]