Tekst źródłowy strony Dziedzina całkowitości

{{spis treści}}
'''Dziedzina całkowitości''', '''pierścień całkowity'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3917511 | tytuł = jednoznaczność rozkładu | data dostępu = 2022-03-25 }}</ref> – [[pierścień (matematyka)|pierścień]] spełniający cztery warunki – jest:
* [[pierścień zerowy|niezerowy]],
* [[pierścień przemienny|przemienny]],
* [[pierścień z jedynką|z jedynką]],
* pozbawiony (właściwych) [[dzielnik zera|dzielników zera]].

Pierścienie te są uogólnieniem [[pierścień liczb całkowitych|pierścienia liczb całkowitych]] i stanowią one naturalny kontekst do badania [[Dzielnik|podzielności]] ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. ''prawo skracania''.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się '''[[dziedzina (teoria pierścieni)|dziedzinami]]''', wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również ''dziedzinami''. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od [[Serge Lang|Langa]]{{fakt|data=2022-02}}, jest ''pierścień całkowity''.

== Własności ==
* Niech <math>R</math> będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli <math>a, b, c \in R,</math> przy czym <math>c \ne 0,</math> to zachodzi [[własność skracania]]:
:: jeśli <math>ac = bc,</math> to <math>a = b.</math>
: '''Dowód''': Niech <math>c\neq 0.</math> Jeśli <math>ac=bc,</math> to <math>ac-bc=0,</math> czyli <math>(a-b)c=0.</math> Ale w pierścieniu <math>R</math> nie ma dzielników zera, więc <math>a-b=0.</math> Stąd <math>a=b.</math>

* Każde [[ciało (matematyka)|ciało]] jest dziedziną całkowitości.<br />'''Dowód''': Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
* Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.<br />'''Dowód''': Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu <math>a\neq 0</math> jego iloczyny ze wszystkimi <math>n</math> elementami pierścienia: <math>a a_1, a a_2, \dots, a a_n.</math> Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. <math>aa_i=aa_j</math> dla pewnych <math>i\neq j.</math> Ale z własności skracania wynika <math>a_i=a_j</math> wbrew temu, że <math>a_i,\ a_j</math> są różnymi elementami.

== Zobacz też ==
* [[dziedzina Euklidesa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* [[Jerzy Browkin]], ''Teoria ciał'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1977.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integral_domain Integral domain]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje pierścieni]]