Tekst źródłowy strony Dywizor

{{Spis treści}}

== Algebraiczna teoria liczb ==
'''Dywizor''' – uogólnienie pojęcia dzielnika elementu pierścienia przemiennego. Pojecie to pojawiło się po raz pierwszy, pod nazwą ''dzielnika idealnego'', w pracach [[Ernst Eduard Kummer|E. Kummera]] o arytmetyce ciał podziału koła.

Teoria dywizorów dla [[pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]] z jedynką <math>P</math> bez [[dzielnik zera|dzielników zera]] polega na konstrukcji homomorfizmu <math>\varphi\colon P^* \to \mathcal{D}</math> multiplikatywnej [[półgrupa|półgrupy]] <math>P^*</math> niezerowych elementów <math>P</math> w pewną półgrupę <math>\mathcal{D}</math> z jednoznacznością [[rozkład na czynniki|rozkładu na czynniki]], której elementy nazywają się (całkowitymi) dywizorami pierścienia <math>P.</math> Pozwala to na sprowadzenie problemów związanych z rozkładem na czynniki elementów pierścienia <math>P</math> do rozkładu na czynniki w <math>\mathcal{D}.</math> Obraz <math>\varphi(a),</math> gdzie <math>a \in P,</math> oznaczany jest przez <math>(a)</math> i nazywany '''dywizorem głównym''' elementu <math>a.</math> Element <math>a \in P^*</math> jest z definicji podzielny przez <math>\mathfrak{a} \in \mathcal{D},</math> jeśli <math>\mathfrak{a}</math> dzieli <math>(a)</math> w <math>\mathcal{D}.</math>

=== Definicja ===
Niech <math>\mathcal{D}</math> będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się '''dywizorami pierwszymi''', i niech będzie dany homomorfizm <math>\varphi\colon P^* \to \mathcal{D}.</math> Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu <math>P,</math> jeśli spełnione są następujące warunki:
# Dla <math>\varphi: a, b \in P^*</math> element <math>a</math> dzieli element <math>b</math> w pierścieniu <math>P</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>(a)</math> dzieli <math>(b)</math> w <math>\mathcal{D}.</math>
# Dla dowolnego <math>\mathfrak{a} \in \mathcal{D}</math> zbiór <math>[\mathfrak{a}] = \{0\} \cup \{a \in P^*: \mathfrak{a} | (a)\}</math> jest ideałem pierścienia <math>P.</math>
# Jeśli <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \in \mathcal{D}</math> i dla dowolnego <math>a \in P^*</math> element <math>(a)</math> jest podzielny przez <math>\mathfrak{a}</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>(a)</math> jest podzielny <math>\mathfrak{b},</math> to <math>\mathfrak{a} = \mathfrak{b}</math><ref>{{cytuj książkę |autor = И.М. Виноградов |autor link = |tytuł =Математическая Энциклопедия |url = |część = 2 Д - Коо| wydanie =1 |wydawca = Советская Энциклопедия |miejsce =Москва |rok =1979 |język =ru |strony =129}}</ref>.

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia <math>P,</math> jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do [[izomorfizm]]u<ref>{{cytuj książkę |autor =Боревич З.И. |autor2 =Шафаревич И.Р. |autor link = |tytuł =Теория чисел |url =https://archive.org/details/libgen_00130553|wydanie =3 |wydawca = Наука |miejsce =Москва |rok =1985 |język =ru |strony =[https://archive.org/details/libgen_00130553/page/n187 185]–186}}</ref>.

Powyższa definicja jest równoważna następującej<ref>{{cytuj książkę |autor = М.М. Постников |autor link = |tytuł =Введение в теорию алгебраических чисел |wydanie =1 |wydawca = Наука |miejsce =Москва |rok =1982 |język =ru |strony =96–97}}</ref>:
# Dla <math>\varphi: a, b \in P^*</math> element <math>a</math> dzieli element <math>b</math> w pierścieniu <math>P</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>(a)</math> dzieli <math>(b)</math> w <math>\mathcal{D}.</math>
# Niech <math>[\mathfrak{a}] = \{0\} \cup \{a \in P^*: \mathfrak{a} | (a)\}.</math> Jeśli <math>\alpha, \beta \in [\mathfrak{a}],</math> to <math>\alpha \pm \beta \in [\mathfrak{a}].</math>
# Jeśli <math>[\mathfrak{a}] = [\mathfrak{b}],</math> to <math>\mathfrak{a} = \mathfrak{b}</math> i dla dowolnego <math>\mathfrak a</math> zbiór <math>[\mathfrak{a}]</math> zawiera elementy niezerowe.

=== Własności ===
# Każdy pierścień, w którym spełnione jest [[podstawowe twierdzenie arytmetyki]] ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
# Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

== Powierzchnie Riemanna ==
Odwzorowanie <math>\mathfrak{D}\colon X \to \mathbb(Z),</math> gdzie <math>X</math> jest [[powierzchnia Riemanna|powierzchnią Riemanna]], a <math>\mathbb{Z}</math> – [[Pierścień liczb całkowitych|pierścieniem liczb całkowitych]] jest nazywane '''dywizorem''' na <math>X,</math> jeśli dla każdego [[przestrzeń zwarta|zwartego]] podzbioru <math>K \subset X</math> zbiór <math>\{x \in K: \mathfrak{D} (x) \ne 0\}</math> jest [[zbiór skończony|zbiorem skończonym]]<ref name=for>{{cytuj książkę |autor =Otto Forster |tytuł =Римановы поверхности (tłum. ros.)| wydawca = Миp |rok = 1980 |miejsce = Mocквa|strony = 132–133 |język = ru}}</ref>.

Zbiór wszystkich dywizorów tworzy grupę abelową <math>Div (X)</math> ze względu na dodawanie przekształceń. Jest on również [[częściowy porządek|uporządkowany częściowo]] relacją:
: <math>\mathfrak{D}_1 \leqslant \mathfrak{D}_2 \Leftrightarrow \forall_{x \in X} \mathfrak{D}_1 (x) \leqslant \mathfrak{D}_2 (x)</math>{{r|for}}.

=== Dywizor funkcji meromorficznej ===
Jeśli <math>V</math> jest [[Podzbiór|podzbiorem]] otwartym powierzchni Riemanna <math>X,</math> to dla dowolnej funkcji meromorficznej <math>f\colon V \to \bar{\mathbb{C}}</math> oraz punktu <math>a \in V</math> można określić funkcję <math>\operatorname{ord}_a(f),</math> która jest równa:
# 0, jeśli funkcja <math>f</math> jest holomorficzna i różna od zera w <math>a,</math>
# <math>k,</math> jeśli funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>a</math> zero rzędu <math>k,</math>
# <math>-k,</math> jeśli funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>a</math> biegun rzędu <math>k,</math>
# <math>\infty,</math> jeśli <math>f \equiv 0</math> w pewnym otoczeniu punktu <math>a.</math>

Odwzorowanie <math>x \mapsto \operatorname{ord}_x(f)</math> jest dywizorem na <math>X,</math> nazywane jest '''dywizorem funkcji''' <math>f</math> i oznaczane przez <math>(f).</math>

Funkcja <math>f</math> jest podzielna przez dywizor <math>\mathfrak{D},</math> jeśli <math>\mathfrak{D} \leqslant (f),</math> a holomorficzna, jeśli <math>0 \leqslant (f).</math>

== Geometria algebraiczna ==
W [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]], dywizor można interpretować jako uogólnienie pojęcia [[podrozmaitość|podrozmaitości]] [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitości algebraicznych]]. Rozważa się wtedy dwa rodzaje dywizorów: dywizory [[Pierre Cartier|Cartiera]] i dywizory [[André Weil|Weila]]. Te dwie definicje pokrywają się w przypadku nieosobliwych rozmaitości nad [[ciało (matematyka)|ciałami]] [[domknięcie algebraiczne|domkniętymi algebraicznie]], w ogólności jednak są różne.

=== Dywizory Weila ===
'''Dywizor Weila''' to lokalnie skończona [[kombinacja liniowa]] nierozkładalnych podrozmaitości [[Podprzestrzeń liniowa|kowymiaru]] 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy [[Grupa przemienna|grupę abelową]] z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] <math>n</math> to po prostu [[Grupa abelowa wolna|wolna grupa abelowa]] nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru <math>n-1.</math> Na przykład dywizor na [[krzywa algebraiczna|krzywej algebraicznej]] to [[suma formalna]] (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku [[krzywa eliptyczna|krzywej eliptycznej]] <math>E</math> sytuacja jest jeszcze prostsza – każdy dywizor <math>D</math> jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi <math>D_0 = [P]-[O],</math> tzn. <math>D=k D_0</math> dla pewnego <math>k\in\mathbb Z,</math> gdzie <math>P</math> jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na <math>E,</math> zaś <math>O</math> jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej [[Wyrażenie algebraiczne|postaci algebraicznej]] działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości <math>V</math> oznacza się przez <math>Div(V).</math>

'''Dywizor efektywny Weila''' to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.

== Zobacz też ==
* [[dywizor pierwszy]]
* [[krzywa hipereliptyczna]]
* [[rozmaitość algebraiczna]]
* [[teoria przecięcia]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura ==
* {{cytuj książkę |autor = И.М. Виноградов |autor link = |tytuł =Математическая Энциклопедия |url = |część = 2 Д - Коо| wydanie =1 |wydawca = Советская Энциклопедия |miejsce =Москва |rok =1979 |język =ru |strony =}}
* {{cytuj książkę |autor =Боревич З.И. |autor2 =Шафаревич И.Р. |autor link = |tytuł =Теория чисел |url = |wydanie =3 |wydawca = Наука |miejsce =Москва |rok =1985 |język =ru}}
* {{cytuj książkę |autor = M.М. Постников |autor link = |tytuł =Введение в теорию алгебраических чисел |wydanie =1 |wydawca = Наука |miejsce =Москва |rok =1982 |język =ru}}
* J.S. Milne, [http://www.jmilne.org/math/ Algebraic Geometry course notes]

[[Kategoria:Geometria algebraiczna]]
[[Kategoria:Geometria arytmetyczna]]
[[Kategoria:Algebraiczna teoria liczb]]