Tekst źródłowy strony Dynamika światów Robertsona-Walkera

{{dopracować|źródła=2009-03}}
{{Integracja|Metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera}}
Opisuje zachowanie się światów czasu-przestrzeni (zależność czasową) na bazie [[Równanie Einsteina|równań Einsteina]]. W [[Kosmologia|kosmologii]] rozważa się dwa interesujące przypadki:
* Era zdominowana przez materię: gęstość energii pochodzi od materii zawartej w galaktykach. Stosujemy tutaj przybliżenie pyłowe <math>p=0</math> (<math>p</math> – ciśnienie), ponieważ materia ma prędkości chaotyczne o małych wartościach. Matematycznie możemy to zapisać jako:
:: <math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}(\rho a^3)=0,</math>

gdzie:
: <math>\rho</math> – gęstość materii,
: <math>a</math> – [[czynnik skali]].

* Era zdominowana przez promieniowanie: większość gęstości energii pochodzi od cząstek relatywistycznych i promieniowania, w tym przypadku jako [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] przyjmujemy <math>p=\frac{1}{3}\rho.</math> Możemy wtedy zapisać następującą zależność:
:: <math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}(\rho a^4)=0.</math>

Przyjmując dodatkowe założenie przestrzennej jednorodności oraz że świat jest wypełniony [[Płyn idealny|płynem doskonałym]], przy czym <math>\rho=\rho(t),\ p=p(t)</math> możemy zapisać tensor Einsteina dla [[Metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera|metryki Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera]] dla składowej czasowej:
:: <math>G_{tt}=3\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2+\frac{3k}{a^2}=8\pi T_{tt},</math>

gdzie <math>k</math> jest [[Stała kosmologiczna|stałą kosmologiczną]].

Równania na pozostałe składowe <math>(G_{rr},G_{\Theta \Theta},G_{\Phi \Phi})</math> są proporcjonalne do <math>G_{tt},</math> a więc nie dostarczają nam żadnej dodatkowej informacji.

Dla światów zdominowanych przez materię z początkowych założeń otrzymujemy, że <math>\rho=\frac{C}{a^3},\ C</math> jest stałą całkowania.

Wtedy możemy napisać następującą równość:
:: <math>{\dot a}^2= -k-V_{\mathrm{eff}}(a),\qquad V_{\mathrm{eff}}= -\frac{8\pi C}{3a}.</math>

Świat może istnieć w obszarach, w których <math>-k> V_{\mathrm{eff}},</math> implikuje to warunek <math>\dot a^2>0.</math>

Ponieważ obecnie wiemy, że <math>\dot a>0</math> (Wszechświat rozszerza się), możliwe są trzy scenariusze przyszłości:
* <math>k= -1</math> – świat rozszerza się do nieskończonego promienia ze skończoną prędkością końcową,
* <math>k=0</math> – świat rozszerza się do nieskończonego promienia, ale ze stale zmniejszającą się prędkością,
* <math>k=+1</math> – świat osiąga maksimum dla <math>a=\frac{8}{3}\pi C.</math> Jest to równocześnie punkt zwrotu, Wszechświat w dalszej ewolucji zapada się.

Wspólną cechą wszystkich trzech przypadków jest to, że zaczynają się one od <math>a=0,</math> nie mają punktów zwrotu dla małych <math>a</math> i jest to tzw. [[Wielki Wybuch]]. Ma to poważne implikacje fizyczne, ponieważ oznacza to, że w przeszłości Wszechświat musiał być mniejszy, a co za tym idzie mieć większą gęstość <math>\rho</math> i temperaturę <math>T.</math>

Taki sam wynik rozważań uzyskamy dla Wszechświata zdominowanego przez promieniowanie. Wtedy można napisać <math>\rho=\frac{B}{a^4}.</math> Oznacza to, że
:: <math>\dot a^2=\frac{8\pi B}{3a^2}-k.</math>

Jakościowo nie różni się to od równania dla Wszechświata zdominowanego przez materię (początkowym punktem jest <math>a=0</math>).

[[Stephen Hawking|Hawking]] i [[Roger Penrose|Penrose]] pokazali, że można osłabić założenia powyższych wyprowadzeń, rezygnując z [[Izotropowość|izotropii]] i [[Jednorodność|jednorodności]]. Mówią o tym twierdzenia o osobliwościach, które pokazują, że Wszechświat posiadał osobliwość bez względu na wielkość asymetrii. Twierdzenia te jednak nie wyjaśniają natury tej osobliwości.

{{Kosmologia fizyczna}}

[[Kategoria:Kosmologia fizyczna]]