Tekst źródłowy strony Dynamiczne równanie ruchu

{{Dopracować|źródła=2018-03}}
{{Spis treści}}
'''Dynamiczne równanie ruchu''' (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. [[prędkość|prędkości]], [[położenie|położenia]]) jako [[funkcja|funkcję]] aktualnego [[stan]]u [[układ fizyczny|układu]]<ref name="Łojc">Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, ''Курс теоретическоой механики'', t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954</ref><ref name="Sus">G.K. Susłow, ''Mechanika teoretyczna'', PWN, Warszawa 1960</ref>. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy [[Zasady dynamiki Newtona#II zasada dynamiki|II zasadę dynamiki]] [[Isaac Newton|Newtona]], zapisaną w postaci [[równanie różniczkowe|równania różniczkowego]]. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:
:: <math>m \tfrac{\mathrm d^2 \boldsymbol r}{\mathrm dt^2}=\boldsymbol F(\boldsymbol r,\tfrac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt},t),</math>

gdzie funkcja wektorowa <math>\boldsymbol F</math> jest [[siła|siłą]] działającą na ciało w [[czas|chwili]] <math>t</math> w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący  <math>\boldsymbol r.</math> Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego [[potencjał|potencjału pola sił]].

Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych [[Zagadnienie brzegowe|warunkach brzegowych]] (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby [[Demon Laplace’a|istota]], która w danej chwili poznałaby położenie i [[Pęd (fizyka)|pęd]] wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami [[Mechanika klasyczna|mechaniki klasycznej]] mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.

== Dowolne współrzędne krzywoliniowe ==
Niech współrzędne krzywoliniowe <math>q_1(t),q_2(t),q_3(t)</math> tworzą układ współrzędnych w przestrzeni <math>R^3.</math> Oznaczmy przez <math>\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3</math> wersory kierunków stycznych do osi tego układu{{r|Sus}}.

Jeżeli <math>\boldsymbol a</math> jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:

<math>a_i=\boldsymbol a\boldsymbol e_i=\dot\boldsymbol v\mathbf e_i=\dot\boldsymbol v\frac{\partial \boldsymbol r/\partial q_i}
{|\partial \boldsymbol r/\partial q_i|}
,\quad i=1,2,3.</math>

Ponieważ

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\boldsymbol v\boldsymbol e_i)=\dot\boldsymbol v\boldsymbol e_i+\boldsymbol v\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\boldsymbol e_i\quad\longrightarrow\quad \dot\boldsymbol v\boldsymbol e_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\boldsymbol v\boldsymbol e_i)-\boldsymbol v\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\boldsymbol e_i</math>

zatem

(1) <math>a_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\boldsymbol v\boldsymbol e_i)-\boldsymbol v\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\boldsymbol e_i=\frac{1}{|\partial\boldsymbol r/\partial q_i|}\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\boldsymbol v\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_i}\right)-\boldsymbol v\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_i}\right].</math> 

Na podstawie wzoru dla prędkości

<math>\boldsymbol v=\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_1}\dot q_1+\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_2}\dot q_2+\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_3}\dot q_3</math>

mamy

(2) <math>\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_i}=\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial\dot q_i}</math>

i dzięki temu

<math>\boldsymbol v\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_i}=\boldsymbol v\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial\dot q_i}=\frac{\partial(v^2/2)}{\partial\dot q_i}.</math>

Mamy również

(3) <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial q_1}=\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q_1^2}\dot q_1+\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q_1\partial q_2}\dot q_2+\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q_1\partial q_3}\dot q_3</math>

oraz

(4) <math>\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial q_1}=\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q^2_1}\dot q_1+\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q_2 q_1}\dot q_2+\frac{\partial^2\boldsymbol r}{\partial q_3 q_1}\dot q_3.</math>

Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_i}=\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial q_i},\quad i=1,2,3.</math>

Mamy zatem

(5) <math>\boldsymbol v\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_i}=\boldsymbol v\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial q_i}=\frac{\partial(v^2/2)}{\partial q_i}.</math>

Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów  wektora przyspieszenia  na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

<math>a_i=\frac{1}{|\partial\boldsymbol r/\partial q_i|}\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial(v^2/2)}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial(v^2/2)}{\partial q_i}\right],\quad i=1,2,3.</math>

== Podstawowe równanie dynamiki ==
Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie <math>m</math> ma postać
::<math>m\boldsymbol a=\boldsymbol F</math>

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich
::<math>m\ddot x=F_x,\quad m\ddot y=F_y,\quad m\ddot z=F_z.</math>

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych [[Przyspieszenie|otrzymujemy]]{{r|Sus}}
::<math>\frac{m}{|\partial\boldsymbol r/\partial q_i|}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial(v^2/2)}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial(v^2/2)}{\partial q_i}\right]=F_i,\quad i=1,2,3,</math>
gdzie <math>F_i</math> jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych <math>q_i</math> wypadkowej <math>\boldsymbol F</math> sił działających na punkt materialny, a <math>\boldsymbol v</math> prędkością tego punktu.

== Zobacz też ==
* [[kinematyczne równanie ruchu]]
* [[Równania Hamiltona|Kanoniczne równania ruchu]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Dynamika]]
[[Kategoria:Równania w fizyce|Ruchu, dynamiczne]]