Tekst źródłowy strony Dwumian Newtona

'''Dwumian Newtona''', '''wzór dwumianowy''', '''wzór dwumienny''', '''wzór Newtona''' – tożsamość [[algebra]]iczna opisująca [[potęgowanie|potęgę]] [[dwumian]]u <math>(x+y)^n</math> jako sumę [[jednomian]]ów postaci <math>a x^k y^l.</math> Jeśli wykładnik <math>n</math> jest [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]], to w każdym z tych jednomianów:
* wykładniki przy <math>x</math> oraz <math>y</math> sumują się do <math>n;</math>
* współczynniki <math>a</math> są dodatnimi liczbami naturalnymi, znanymi jako '''współczynniki dwumianowe''' i opisane '''[[Symbol Newtona|symbolami Newtona]]'''.

Nazwa wzoru pochodzi od nazwiska [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]], który w 1676 roku uogólnił go na wykładniki [[Znak liczby|ujemne]] i [[Ułamek|ułamkowe]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3947023 | tytuł = dwumian Newtona | data dostępu = 2023-12-07 }}</ref>. Poprawność tego uogólnienia udowodnił w XIX wieku [[Niels Henrik Abel]]<ref>{{Pismo Delta | url = /media/articles/2022/01/delta-2022-01-baruch-spinoza-i-matematyka.pdf | autor = Grzegorz Łukaszewicz | tytuł = Baruch Spinoza i matematyka | data = styczeń 2022 | data dostępu = 2023-12-10 }}</ref>.

== Wykładnik naturalny ==
=== Twierdzenie ===
[[Plik:Pascal's triangle 5.svg|thumb|200px|[[Symbol Newtona|Współczynniki dwumianowe]] pojawiają się jako elementy [[trójkąt Pascala|trójkąta Pascala]]]]

Jeśli <math>x,y</math> są dowolnymi elementami dowolnego [[pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]]<ref group="uwaga">W ogólności [[łączność (matematyka)|łączność]] pierścienia można zastąpić [[alternatywność|alternatywnością]].</ref> (np. [[liczby całkowite]], [[liczby wymierne|wymierne]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], [[liczby zespolone|zespolone]]), to każdą naturalną potęgę dwumianu <math>x + y</math> można rozłożyć na sumę postaci
:: <math>(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \ldots + \binom{n}{n}y^n,</math>

gdzie <math>\tbinom nk</math> oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując <math>x^0 = y^0 = 1</math> (także w przypadku, gdy <math>x = 0</math> lub <math>y = 0</math>), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej
:: <math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.</math>

; Uwagi:
# W szczególności dla <math>x = 1</math> lub <math>y = 1</math> dostaniemy wzór na tzw. [[szereg Newtona]] <math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \; {n \choose k} \; x^k.</math>
# Współczynniki dwumianowe są elementami <math>n+1</math> wiersza w [[trójkąt Pascala|trójkącie Pascala]].

; Przykłady:
:: <math>(x+y)^1 = x+y</math>
:: <math>(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2</math>
:: <math>(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math>

=== Dowód ===
Dowód na zasadzie [[Indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]].

Dla <math>n = 1</math> jest
:: <math>(x+y)^1 = x + y = \binom{1}{0} x y^0 + \binom{1}{1} x^0 y = \sum_{k=0}^1 \binom{1}{k} x^{1-k} y^k.</math>

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego <math>n.</math> Wtedy dla <math>n + 1</math> mamy
:: <math>\begin{align}
(x+y)^{n+1} &= (x+y)(x + y)^n \\
&= (x+y)\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k+1} y^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^{k+1} \\
&= \binom{n}{0} x^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] x^{n-k+1} y^k + \binom{n}{n} y^{n+1} \\
&= \binom{n+1}{0} x^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} x^{(n+1)-k} y^k + \binom{n+1}{n+1} y^{n+1} \\
&= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{(n+1)-k} y^k,
\end{align}</math>

co kończy dowód.

== Uogólnienie ==
Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy <math>x+y,</math> gdzie <math>x,y</math> są rzeczywiste, <math>y>0</math> oraz <math>|\tfrac{x}{y}|<1,</math> a wykładnik <math>r</math> jest rzeczywisty lub [[Liczby zespolone|zespolony]]. Wzór ten zawiera [[Symbol Newtona#Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone|uogólniony symbol Newtona]]{{fakt|data=2023-12}}:
: <math>(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}.</math>

== Historia ==
Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często [[Blaise Pascal|Blaise’owi Pascalowi]], który opisał je w XVII wieku, ale były one znane  matematykom żyjącym przed nim:
* w IV w. p.n.e. [[matematyka grecka|grecki matematyk]] [[Euklides]] znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2<ref>{{MathWorld|adres=BinomialTheorem |tytuł=Binomial Theorem |data dostępu=13 grudnia 2020}}</ref><ref>J. L. Coolidge, ''[https://www.jstor.org/stable/2305028 The Story of the Binomial Theorem]'', The American Mathematical Monthly '''56''':3 (1949), s. 147–157.</ref>;
* w III w. p.n.e. [[matematyka hinduska|hinduski matematyk]] [[Pingala]] znał to twierdzenie dla wyższych wykładników{{fakt|data=2023-12}}.

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i [[trójkąt Pascala]] znali<ref>{{cytuj stronę |url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html |tytuł = Historia Matematica Mailing List Archive: Re: <nowiki>[HM]</nowiki> Pascal’s Triangle |nazwisko = Landau |imię = James A. |praca = Archives of Historia Matematica |data = 1999-05-08 |data dostępu = 2007-04-13}}</ref>:
* indyjski matematyk [[Halajuda]] w X w.;
* [[matematyka islamska|perski matematyk]] [[Omar Chajjam]] w XI w.;
* [[matematyka chińska|chiński matematyk]] [[Yang Hui]] w XIII w.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Tożsamości algebraiczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Potęgowanie]]
[[Kategoria:Tożsamości algebraiczne]]
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Isaac Newton]]