Tekst źródłowy strony Cyrkulacja

'''Cyrkulacja''' (krążenie) – operator wprowadzony początkowo w [[Dynamika płynów|dynamice płynów]] następnie uogólniony na wszystkie [[pole wektorowe|pola wektorowe]], dla danego pola definiuje wielkość [[Skalar (fizyka)|skalarną]]. Cyrkulacja oznaczana jest zwyczajowo przez <math>\mathbf \Gamma.</math>

Dla przepływającego płynu z prędkością <math>\mathbf{V}</math> wzdłuż zamkniętej krzywej <math>C</math> cyrkulacja określona jest wzorem:
:: <math>\Gamma=\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{ds},</math>

gdzie <math>\mathbf{ds}</math> oznacza [[Wektor styczny|wektor styczny do krzywej]] całkowania.

Niezerowa wartość cyrkulacji oznacza, że w analizowanym obszarze występuje zawirowanie płynu, przy wartości dodatniej w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem całkowania.

Według [[Efekt Magnusa|twierdzenia Kutty-Żukowskiego]] w przepływie laminarnym cyrkulacja [[płyn]]u (powietrza) wokół ciała poruszającego się w nim jest jednakowa dla każdej krzywej całkowania, a wytwarzana [[siła nośna]] jest proporcjonalna do cyrkulacji.

== Definicja uogólniona ==
[[Plik:Vector Circulation.svg|thumb|250px]]
Cyrkulacja dla danego pola wektorowego <math>\overline{F}(x,y,z)</math> wzdłuż krzywej L określa wzór:
:: <math>\Gamma = \oint\limits_L \overline{F} \cdot \overline{dl},</math>

gdzie <math>\overline{dl}</math> jest infinitezymalnym wektorem stycznym do krzywej w danym punkcie.

Jeżeli krzywa L ma parametryzację <math>\overline\varphi (t)</math> w przedziale <math>t \in [a,b],</math> to powyższy wzór można zapisać jako:
:: <math>\Gamma = \oint\limits_L \overline{F} \cdot \overline{dl} = \int\limits_a^b \left( \overline{F}(t) \cdot \frac{d \overline\varphi}{dt} \right) dt.</math>

== Związek cyrkulacji z rotacją ==
[[Plik:Vector Rotation.svg|thumb|300px]]
[[Twierdzenie Stokesa]] wiąże całkę po krzywej zamkniętej ze [[Strumień pola|strumieniem]] [[rotacja|rotacji]] przenikającym przez powierzchnię zamkniętą tą krzywą.
:: <math>\Gamma=\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{ds}=\int\!\!\!\int\limits_S(\nabla\times\mathbf{V})\cdot\mathbf{dS}.</math>

Ze związku powyższego wynika:
:: <math>\hat{n} \cdot \overline{rot F} = \lim_{S \to 0} \frac{\Gamma}{S} = \lim_{S \to 0} \frac{\oint\limits_L \overline{F} \cdot \overline{dl}}{S}.</math>

Równanie to oznacza, że dla danej krzywej L ograniczającej pewną powierzchnię S, która jest uznana za płaską, <math>\hat n</math> – jest [[Wektor jednostkowy|wersorem]] (wektor o długości 1) prostopadłym (normalnym) do tej powierzchni, [[iloczyn skalarny]] rotacji i wersora normalnego w wybranym punkcie pola jest równy granicy do której dąży iloraz cyrkulacji po krzywej zamkniętej otaczającej jeden raz wybrany punkt przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą.

[[Kategoria:Geometria różniczkowa]]
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]