Tekst źródłowy strony Cylinder przekształcenia

'''Cylinder przekształcenia''' ({{ang.|mapping cylinder}}) – pewna [[przestrzeń ilorazowa]] przypisana każdemu [[funkcja ciągła|przekształceniu]] między dwiema [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]].

== Definicja ==
Niech <math>X, Y</math> będą przestrzeniami topologicznymi, a <math>f\colon X \to Y</math> będzie [[funkcja ciągła|przekształceniem]] (ciągłym) między nimi. '''Cylindrem''' przekształcenia <math>f,</math> oznaczanym czasem <math>Z(f),</math> nazywa się przestrzeń
: <math>M_f = \Big(\big(X \times [0,1]\big) \amalg Y\Big)\,/\,\sim,</math>

gdzie suma jest [[suma rozłączna|rozłączna]], a relacja <math>\sim</math> jest dana jako
: <math>(x, 0) \sim f(x) \quad \mbox{ dla każdego } x \in X.</math>

Intuicyjnie cylinder powstaje poprzez „przyklejenie” przestrzeni <math>X \times [0, 1]</math> do przestrzeni <math>Y</math> wzdłuż przekształcenia <math>f.</math> Z punktu widzenia [[teoria kategorii|teorii kategorii]] jest to [[koprodukt włóknisty]] (''pushout'') [[diagram (teoria kategorii)|diagramu]] złożonego z przekształcenia <math>f</math> i [[Zanurzenie (matematyka)|włożenia]] <math>i_0\colon X \to X \times [0, 1].</math>

== Własności ==
[[Plik:Mapping cylinder.png|thumb|200px|Przedstawienie przekształcenia jako złożenie korozwłóknienia z homotopijną równoważnością]]
Dla każdego <math>f\colon X \to Y</math> istnieje retrakcja <math>r_0\colon Z(f) \to Y</math> cylindra na podstawę, określona wzorem <math>r_0(x, t) = f(x), r_0(y) = y.</math> Retrakcja ta jest w istocie [[retrakt deformacyjny|retrakcją deformacyjną]], co oznacza, że przestrzenie <math>Z(f)</math> i <math>Y</math> są [[homotopia|homotopijnie równoważne]]. Wynik ten pozwala nam zamienić dowolne przekształcenie na [[korozwłóknienie]], w następującym sensie: ponieważ włożenie <math>i_1\colon X \to Z(f), i_1(x) = (x, 1)</math> jest korozwłóknieniem (o czym można się przekonać zauważając na przykład, że <math>\big(Z(f), X \times \{1\}\big)</math> jest [[para NDR|parą NDR]]), <math>r_0</math> jest homotopijną równoważnością, a <math>f = r_0 \circ i_1,</math> zatem każde przekształcenie da się zapisać jako złożenie homotopijnej równoważności i korozwłóknienia. Wynik ten odgrywa dość istotną rolę przy definiowaniu [[homotopijne kowłókno|homotopijnego kowłókna]].

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = May |imię = J.Peter |autor link = |tytuł = A Concise Course in Algebraic Topology |wydawca = The [[University of Chicago Press]] |miejsce = Chicago and London |rok = 1999 |strony = 41–43 |isbn = 0-226-51183-9}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Hatcher |imię = Allen |tytuł = Algebraic Topology |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn = 0-521-79540-0}}

[[Kategoria:Topologia algebraiczna]]