Tekst źródłowy strony Ciało rozkładu wielomianu

[[Plik:Complex numbers imaginary unit.svg|thumb|Wielomian <math>x^2 + 1</math> nie ma pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych. Ciało rozkładu tego wielomianu otrzymuje się, rozszerzając wyjściowe ciało o [[jednostka urojona|jednostkę urojoną]] <math>i,</math> ukazaną powyżej na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]]]]
'''Ciało rozkładu wielomianu''' – w teorii [[ciało (matematyka)|ciał]] [[rozszerzenie ciała]] o wszystkie pierwiastki pewnego [[wielomian]]u{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

== Definicja ==
Dla danego ciała <math>K</math> i dla wielomianu <math>f</math> dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do [[pierścień wielomianów|pierścienia wielomianów]] tego ciała, <math>f \in K[x]</math>), który rozkłada się w większym ciele <math>L</math> na iloczyn wielomianów liniowych <math>f = a_0 \prod_{i=1}^n (x - a_i)</math> ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała <math>K</math> o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu <math>a_i,</math> to znaczy <math>K(a_1, a_2,..., a_n).</math> Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu <math>f</math> jest podciałem <math>L{:}</math> <math>K(a_1, a_2,..., a_n) \subset L</math>{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

== Istnienie ==
[[Plik:Algebra2 diseq2 fig011 prbl.svg|thumb|[[Parabola (matematyka)|Parabola]] będąca wykresem wielomian <math>f(x) = x^2 - 2x + 5.</math> Wykres nie przecina osi <math>0x,</math> więc dla żadnej liczby rzeczywistej wielomian nie przyjmuje wartości <math>0</math> – nie ma on pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych i nie można go w nim rozłożyć na składowe. Można go natomiast rozłożyć w ciele [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] stanowiących rozszerzenie liczb rzeczywistych, wtedy pierwiastkami są <math>x = 1 \pm 2i.</math>]]
Dyskusję ciał rozkładu wielomianu [[Jerzy Browkin]] zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe. Dowieść można, że każdy wielomian <math>f</math> dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała <math>K[x]</math> nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci <math>ax + b</math>) w innym ciele <math>L</math> będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego <math>K.</math> By tego dowieźć, dowodzi się wpierw [[lemat]]u stanowiącego, że dla każdego wielomianu <math>f \in K[x]</math> dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie <math>L</math> ciała <math>K</math> takie, że wielomian <math>f</math> ma w tym ciele pierwiastek. A więc <math>\forall f \in K[x] st f > 0 \Rightarrow \exists L (K \subset L \and \exists a \in L f(a) = 0)</math>{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

Wielomian <math>f</math> może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele <math>K.</math> Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu <math>f.</math> Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów <math>K[x]</math> wielomian <math>f</math> tworzy [[Ideał (teoria pierścieni)|ideał]] <math>I,</math> który można oznaczyć także <math>(f).</math> W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie [[ideał maksymalny|maksymalny]]{{odn|Browkin|1977|s=104}} (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należy{{odn|Browkin|1977|s=51}}, w tym wypadku <math>K[x],</math>{{odn|Browkin|1977|s=104}}, ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniu{{odn|Browkin|1977|s=51}}). Dowodzi się, że [[pierścień ilorazowy]] utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałem{{odn|Browkin|1977|s=52}}. Wobec tego także pierścień ilorazowy <math>K[x]/I</math> powstały z podzielenia pierścienia wielomianów <math>K[x]</math> przez jego ideał maksymalny <math>I</math> będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie <math>L = K[x]/I.</math> Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem <math>K.</math> Należy dalej rozpatrzeć element <math>a = x + I</math> wzięty z <math>K[x]/I.</math> Po podstawieniu <math>a</math> do wielomianu <math>f</math> otrzymuje się <math>f(a) = f(x + I) = f(x) + I,</math> to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez <math>f.</math> Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała <math>L,</math> element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu <math>f</math>{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień <math>f</math> dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie <math>K,</math> które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki <math>f.</math> W takim wypadku wielomian <math>f</math> rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała <math>f = a_0 \prod_{i=1}^n (x - a_i).</math> Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu <math>f \in K[x]</math> o stopniu <math>n</math> istnieje rozszerzenie <math>L</math> ciała <math>K</math> obejmujące pierwiastek <math>a</math> tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele <math>L</math> wielomian <math>f</math> rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: <math>f(x) = (x - a)g(x),</math> przy czym <math>g \in L[x].</math> Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od <math>n,</math> co podpada po założenie indukcyjne. Stanowi ono, że ciało <math>L</math> (z tego bowiem ciała wzięto wielomian <math>g</math>) ma rozszerzenie, można je oznaczyć <math>M,</math> takie, że wielomian <math>g</math> stopnia poniżej <math>n</math> da się w nim rozłożyć na wielomiany liniowe. Ale także <math>a \in L,</math> a więc i <math>a \in M,</math> co oznacza, że wielomian liniowy <math>x - a \in M[x].</math> Oba czynniki wielomianu <math>f</math> należą do <math>M[x],</math> co oznacza, że wielomian <math>f</math> da się rozłożyć na czynniki liniowe, z których każdy należy do <math>M[x].</math> Dowodzi to, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia z danego ciała ciało to ma rozszerzenie, w którym da się ów wielomian rozłożyć na czynniki liniowe{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

Oznacza to, że w przypadku dowolnego wielomianu <math>f</math> dodatniego stopnia z pierścienia wielomianów dowolnego wyjściowego ciała <math>K</math> istnieje rozszerzenie <math>K</math> zawierające wszystkie jego pierwiastki. Rozszerzenie <math>K</math> o te pierwiastki nazywa się właśnie ciałem rozkładu wielomianu <math>f</math>{{odn|Browkin|1977|s=104}}.

Należy jeszcze rozpatrzyć przypadek, kiedy to wielomian <math>f</math> nie jest dodatniego, ale zerowego stopnia. Wielomian taki nie ma pierwiastków nienależących do ciała <math>K,</math> wobec tego już samo <math>K</math> stanowi ciało jego rozkładu{{odn|Browkin|1977|s=104–105}}.

== Jedyność ==
Po udowodnieniu istnienia ciał rozkładu wielomianu rozważa się następnie jedyność takich ciał. Oczywiście ciało rozkładu wielomianu <math>f</math> zależy nie tylko od postaci tegoż wielomianu, a więc od jego pierwiastków, przy których się on zeruje, ale również od wyjściowego ciała <math>K,</math> z którego wzięte zostały współczynniki <math>f.</math> Pojawia się jednak pytanie, czy po ustaleniu tego ciała <math>K</math> może ono mieć kilka różnych rozszerzeń będących ciałami rozkładu <math>f,</math> czy też może istnieć tylko jedno jedyne takie ciało{{odn|Browkin|1977|s=105}}.

Rozważania na ten temat opierają się na badaniu rozszerzeń [[izomorfizm]]ów. Okazuje się bowiem, że dowolny izomorfizm <math>\varphi</math> dwóch ciał, np. <math>K_1</math> i <math>K_2,</math> rozszerzyć można na izomorfizm <math>\overline \varphi</math> ich pierścieni wielomianów. Jeśli więc <math>K_1 \xrightarrow{\varphi} K_2,</math> to <math>K_1[x] \xrightarrow{\overline \varphi} K_2[x].</math> Wziąć należy wielomian nierozkładalny <math>f_1</math> z pierścienia <math>K[x]</math> o pierwiastku <math>a_1</math> należącym do rozszerzenia <math>L_1.</math> Izomorfizm <math>\overline \varphi</math> będzie przekształcał ten wielomian na wielomian <math>f_2 = \overline{\varphi} f_1.</math> Jak wynika z powyższych rozważań, i ten wielomian będzie miał pierwiastek, oznaczany przez <math>a_2</math> i należący do pewnego rozszerzenia <math>K,</math> oznaczanego przez <math>L_2.</math> Oznacza to w dalszym ciągu istnienie dwóch ciał powstałych przez rozszerzenie <math>K</math> o rzeczone dwa pierwiastki, mianowicie <math>K(a_1)</math> i <math>K(a_2).</math> Co więcej izomorfizm <math>\varphi</math> rozszerzyć można do kolejnego izomorfizmu <math>\varphi '</math> przekształcającego pierwsze z tych rozszerzeń w to drugie: <math>K(a_1) \xrightarrow{\varphi '} K(a_2).</math> Jako że izomorfizm zachowuje własności algebraiczne, przeto <math>f_2 = \overline \varphi f_1</math> będzie w <math>K</math> nierozkładalny. Dalej wziąć trzeba dwa <math>K_1</math>-izomorfizmy z pierścieni ilorazowych odpowiednich pierścieni wielomianów w odpowiednie rozszerzenia pojedyncze, mianowicie <math>\varphi_1</math> przekształcające <math>K_1[x]/(f_1)</math> w <math>K_1(a_1),</math> który dla <math>x + (f_1)</math> przyjmuje wartość <math>a_1,</math> oraz analogicznie <math>\varphi_2: K_2[x]/(f_2) \to K_2(a_2)</math> taki, że <math>\varphi_2 (x + (f_2)) = a_2.</math> Następnie z faktu, że <math>f_2 = \overline{\varphi} f_1,</math> wnosi się, że izomorfizmowi pierścieni wielomianów <math>\overline \varphi : K_1[x] \to K_2[x]</math> odpowiada izomorfizm ich pierścieni ilorazowych <math>\varphi^\sim : K_1[x]/(f_1) \to K_2[x]/(f_2).</math> Rzeczony izomorfizm <math>\varphi^\sim,</math> stanowiąc rozszerzenie <math>\varphi,</math> po podstawieniu doń <math>x + (f_1)</math> daje <math>x + (f_2).</math> W końcu izomorfizm <math>\varphi '</math> zdefiniowany jako <math>\varphi'  = \varphi_2 \varphi^\sim \varphi_1^-</math> przekształca <math>K_1(a_1)</math> w <math>K_2(a_2).</math> W szczególności, przy wzięciu za <math>K_1</math> i <math>K_2</math> wyjściowego ciała <math>K,</math> przekształca on jego rozszerzenia pojedyncze <math>K(a_1) \xrightarrow{\varphi '} K(a_2).</math> Wysnuć stąd można wniosek, że skoro pierwiastki rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu <math>f</math> można wzajemnie przekształcać w siebie izomorfizmami, pod względem właściwości algebraicznych nie różnią się one od siebie{{odn|Browkin|1977|s=105}}.

Następnie wykorzystuje się [[twierdzenie o rozszerzaniu izomorfizmu]]. Stanowi ono, że dla
* izomorfizmu <math>\varphi</math> przekształcającego ciało <math>K_1</math> w ciało <math>K_2</math>
* odpowiadającego mu izomorfizmu <math>\overline \varphi</math> pierścieni wielomianów <math>K_1[x]</math> w <math>K_2[x]</math>
* ciała <math>L_1</math> rozkładu wielomianu <math>f_1</math> z <math>K_1[x]</math>
* ciała <math>L_2</math> rozkładu wielomianu <math>f_2</math> z <math>K_2[x]</math> otrzymywanego poprzez zadziałanie izomorfizmem <math>\overline \varphi</math> na wielomian <math>f_1</math>
można rozszerzyć <math>\varphi</math> do izomorfizmu <math>\psi,</math> który przekształcał będzie ciało <math>L_1</math> w ciało <math>L_2</math>{{odn|Browkin|1977|s=105}}.

Browkin dowodzi tego twierdzenia, wykorzystując indukcję matematyczną po stopniu wielomianu <math>f.</math> Mianowicie dla wielomianów stopnia zerowego ciała ich rozkładu są wyjściowymi ciałami, wobec czego szukanym izomorfizmem będzie po prostu wyjściowy izomorfizm <math>\varphi.</math> Sytuacja komplikuje się, gdy w grę wchodzą wielomiany wyższego stopnia. Założenie indukcyjne przyjmować będzie, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopnia mniejszego od <math>n,</math> wyprowadzić je zaś należy dla tegoż właśnie stopnia{{odn|Browkin|1977|s=105}}. Przyjmując rozkład wielomianów <math>f_1 = a_0 \prod_{i=1}^n (x - a_1)</math> i analogicznie <math>f_2 = b_0 \prod_{i=1}^n (x - b_1)</math>{{odn|Browkin|1977|s=106}} (są tego samego stopnia, gdyż <math>f_2 = \overline \varphi f_2</math>{{odn|Browkin|1977|s=106}}), definiuje się <math>L_1</math> jako <math>K_1</math> rozszerzone o wszystkie <math>a_i</math> od <math>1</math> do <math>n</math> z powyższego iloczynu, analogicznie definiuje się <math>L_2</math> jako rozszerzenie <math>K_2</math> o odpowiednie <math>b_i.</math> Jednym z pierwiastków wielomianu <math>f_1</math> jest <math>a_1.</math> Wobec tego w rozkładzie <math>f_1</math> występuje taki nierozkładalny wielomian <math>g_1,</math> że znika on dla <math>a_1.</math> Poddając tenże wielomian <math>g_1</math> działaniu wcześniej określonego izomorfizmu <math>\overline \varphi</math> otrzymuje się wielomian <math>g_2,</math> także nierozkładalny, i z kolei występujący w rozkładzie wielomianu <math>f_2.</math> Ma on wobec tego swój pierwiastek wśrod <math>b_i</math> od <math>1</math> do <math>n,</math> pierwiastek ten można oznaczyć dowolnie, dla prostoty na przykład <math>b_1.</math> Wtedy dzięki rozumowaniu przedstawionemu wcześniej wnosi się o istnieniu izomorfizmu <math>\varphi ',</math> zdefiniowanego jak wyżej, a więc stanowiącego rozszerzenie wyjściowego izomorfizmu <math>\varphi</math> i takiego, że <math>K_1(a_1) \xrightarrow{\varphi '} K_2(b_1),</math> a więc przyporządkowującemu pierwiastkowi <math>a_i</math> pierwiastek <math>b_i.</math> Pozwala to na rozłożenie wielomianów <math>f_1</math> i <math>f_2</math> na wielomian liniowy o pierwiastku <math>a_1</math> czy <math>b_1</math> oraz inny wielomian z pierścienia <math>K_1(a_1)[x]</math> czy <math>K_2(b_1)[x]</math> o stopniu mniejszym od <math>n</math> (a więc do którego będzie się stosowało założenie indukcyjne), oznaczany na przykład odpowiednio <math>h_1</math> i <math>h_2.</math> Ponieważ <math>f_1</math> jest izomorficzny do <math>f_2</math> i jego czynnik <math>x - a_1</math> jest izomorficzny do czynnika <math>x - b_1</math> wielomianu <math>f_2,</math> izomorficzne są również występujące w obu rozkładach wielomiany <math>h_1</math> i <math>h_2.</math> Wobec tego ciało <math>L_1</math> traktować można jako ciało <math>K_1(a_1)</math> rozszerzone następnie o wszystkie <math>a_i</math> począwszy od <math>2</math> aż do <math>n</math> i tak samo ciało <math>L_2</math> jako <math>(K_2(b_1))(b_2,...,b_n).</math> W obu przypadkach są to ciała rozkładu wielomianów <math>h_i,</math> a więc o stopniu od <math>n</math> mniejszym. Dotyczy ich założenie indukcyjne, istnieje więc izomorfizm <math>\psi</math> przekształcający pierwsze w drugie. Izomorficzne są też wyjściowe ciała <math>K_1(a_i)</math> i <math>K_2(b_1).</math> Wynika z tego, że izomorficzne muszą być w końcu także <math>L_1</math> i <math>L_2.</math> Dowodzi to twierdzenia o rozszerzaniu izomorfizmu{{odn|Browkin|1977|s=106}}.

Nic jednak w powyższym rozumowaniu nie wskazuje, jakoby ciała <math>K_1</math> i <math>K_2</math> musiały różnić się od siebie. Wprost przeciwnie, muszą być one izomorficzne. Każde wszak ciało jest izomorficzne ze sobą samym. Podstawić do twierdzenia można więc dwukrotnie to samo wyjściowe ciało <math>K.</math> Nie wymaga również rzeczone rozumowanie, by <math>f_2</math> i <math>f_1</math> nie były tym samym wielomianem. Przyjąć bowiem można, że wiążący je izomorfizm jest identycznością. Po wprowadzeniu powyższych dwóch założeń otrzymuje się z dowiedzionego twierdzenia, że każde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianu <math>f</math> z pierścienia wielomianów tego samego ciała <math>K</math> są <math>K</math>-izomorficzne. Inaczej mówiąc, są tożsame z dokładnością do izomorfizmu{{odn|Browkin|1977|s=106}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Browkin |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Browkin |tytuł = Teoria ciał |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |tom = 49 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1977 |wydanie = 1 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Splitting_field_of_a_polynomial Splitting field of a polynomial]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[[Kategoria:Teoria ciał]]