Tekst źródłowy strony Ciąg Mayera-Vietorisa

W [[Topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]] '''ciąg Mayera-Vietorisa''' – [[ciąg dokładny]] wiążący ze sobą grupy [[Homologia singularna|homologii singularnej]] dwu przestrzeni, ich sumy oraz części wspólnej. Ciąg Mayera-Vietorisa jest narzędziem pozwalającym m.in. obliczać grupy homologii przestrzeni będących sumą innych przestrzeni, których grupy homologii znamy.

== Twierdzenie ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią topologiczną taką, że <math>A,B\subseteq X</math> oraz wnętrza <math>A</math> i <math>B</math> pokrywają <math>X.</math> Można wtedy utworzyć następujący ciąg dokładny:
: <math>\cdots\to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow{\partial_*}\,H_n(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_n(A)\oplus H_n(B) \, \xrightarrow{k_* - l_*}\, H_n(X)\, \xrightarrow{\partial_*}\, H_{n-1} (A\cap B)\to \cdots\to H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\to 0,</math>

gdzie ''i'': ''A''∩''B'' ↪ ''A'', ''j'': ''A''∩''B'' ↪ ''B'', ''k'': ''A'' ↪ ''X'', and ''l'': ''B'' ↪ ''X'' są włożeniami a <math>\oplus</math> oznacza [[Iloczyny grup|sumę prostą]] grup abelowych.

=== Homologia zredukowana ===
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zredukowanych grup homologii pod warunkiem że przecięcie <math>A \cap B</math> jest niepuste.

== Podstawowe zastosowania ==
=== ''n''-sfera ===
[[Plik:SphereCoverStriped.png|thumb|250px|Przykładowy rozkład <math>\mathbb S^2</math> na sumę dwu podprzestrzeni homeomorficznych z <math>\mathbb D^2</math>]]
Niech <math>X =\mathbb S^n</math> i niech <math>A, B</math> będą dowolnymi podzbiorami <math>\mathbb S^n</math> homeomorficznymi z <math>\mathbb D^{n+1}</math> takimi, że część wspólna jest homotopijnie równoważna <math>\mathbb S^{n-1}</math> (np. <math>A=\mathbb S^n\setminus\{p\}, B=\mathbb S^n\setminus\{q\}</math>), gdzie <math>p,q\in\mathbb S^n</math> oraz <math>p\neq q.</math> Wtedy <math>A</math> oraz <math>B</math> mają trywialne zredukowane grupy homologii, dodatkowo przekrój <math>A \cap B</math> jest homotopijnie równoważny z <math>S^{n-1}.</math> W takim razie nietrywialna część ciągu Meyersa-Vietorisa daje:
: <math>
\cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow
\tilde{H}_n\!\left(S^k\right)\, \xrightarrow{\overset{}{\partial_*}}\,\tilde{H}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)
\longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots
</math>

Z dokładności ciągu natychmiast otrzymujemy, że ∂<sub>*</sub> jest [[izomorfizm]]em grup przy użyciu [[Indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] i znajomości zredukowanej homologii S<sup>0</sup> pozwala obliczyć:
: <math>\tilde{H}_n\!\left(S^k\right)\cong\delta_{kn}\,\mathbb{Z}=\begin{cases}
\mathbb{Z} & \mbox{if } n=k \\
0 & \mbox{if } n \ne k
\end{cases}.</math>

=== Butelka Kleina ===
[[Plik:KleinBottle2D covered by Möbius strips.svg|thumb|200px|Rozkład butelki Kleina na dwie wstęgi Möbiusa: <math>A</math> (niebieska część) oraz <math>B</math> (czerwona część).]]
Bardziej zaawansowanym przykładem zastosowania ciągu Mayeraa-Vietorisa jest wyznaczenie grup homologii [[Butelka Kleina|butelki Kleina]] <math>X.</math> Można rozbić butelkę Kleina na dwa podzbiory homeomorficzne ze [[Wstęga Möbiusa|wstęgą Möbiusa]], a w takim razie homotopijnie równoważne okręgowi. Okazuje się, że także ich część wspólna jest homotopijnie równoważna okręgowi. W takim razie nietrywialna część ciągu Mayera-Vietorisa daje:
: <math>0 \to H_2(X) \to
\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\overset{}{\alpha}} \ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}
\to \, H_1(X) \to 0.</math>

Trywialna część ciągu pokazuje trywialne homologie dla wymiarów wyższych niż 2. Mapa <math>\alpha</math> (dla zwyczajnych baz pętli na wstęgach Möbiusa) wysyła 1 do (2, −2) (okrąg będący krawędzią wstęgi zawija się dwukrotnie dookoła wstęgi). W takim razie <math>\alpha</math> jest iniekcją co wymusza <math>H_2(X) = 0.</math> Finalnie, wybierając (1, 0) i (1, −1) jako bazę '''Z'''<sup>2</sup>, otrzymujemy:
: <math>\tilde{H}_n(X)\cong\delta_{1n}\,(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2)=\begin{cases}
\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2 & \mbox{if } n=1\\
0 & \mbox{if } n\ne1 \end{cases}.</math>

=== Bukiet dwóch przestrzeni ===
[[Plik:WedgeSumSpheres.png|thumb|300px|Rozkład bukietu dwóch sfer <math>X</math>]]
Niech <math>X</math> będzie [[Bukiet (topologia)|bukietem]] dwóch przestrzeni <math>K</math> oraz <math>L</math> oraz że punkt bazowy bukietu jest retraktem otwartych otoczeń leżących odpowiednio w <math>K</math> oraz <math>L.</math> Przyjmując <math>A=K\cup V</math> oraz <math>B=U\cup L</math> (patrz rysunek) mamy <math>A\cup B=X.</math> Przestrzeń <math>A\cap B=U\cup V</math> jest ściągalna.

Wówczas otrzymujemy:
: <math>\tilde{H}_n(K\vee L)\cong \tilde{H}_n(K)\oplus\tilde{H}_n(L)</math>

dla wszystkich <math>n.</math> Wynik ten jest ogólniejszą wersją [[Twierdzenie Seiferta-van Kampena|twierdzenia Seiferta-van Kampena]] (a dla <math>n=0</math> jest abelianizacją tego twierdzenia). W szczególnym przypadku dwóch sfer, korzystając z homologii sfer, otrzymujemy:
: <math>\tilde{H}_n\left(S^2\vee S^2\right)\cong\delta_{2n}\,(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z})=\left\{\begin{matrix}
\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} & \mbox{if } n=2 \\
0 & \mbox{if } n \ne 2
\end{matrix}\right..</math>

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |autor = R. Duda |tytuł = Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna |wydawca = PWN |rok = 1986}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Hatcher |imię = Allen |tytuł = Algebraic Topology |url = https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |rok = 2002 |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn = 978-0-521-79540-1}}
* {{Cytuj książkę |autor = E.H. Spanier |tytuł = Topologia algebraiczna |wydawca = PWN |rok = 1972}}

[[Kategoria:Topologia algebraiczna]]